KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > MATEMAATTISIA PÄHKINÖITÄ

9664. Matemaattisia pähkinöitä

eol23.4.2021 klo 11:01
Aloitetaan vaatimattomasti (vaan ei ehkä kivuttomasti!) ja otetaan esimerkki nykyisestä koulumatematiikasta (valtakunnallisesta 6. luokan kokeesta):

Pohdi ja päättele: Alla olevassa tienviitassa on kesäolympialaisten viimeisimpiä isäntäkaupunkeja. Päättele puuttuva etäisyys seuraavaan isäntäkaupunkiin Tokioon.
Sydney 1 500 km
Ateena 1 400 km
Peking 1 600 km
Lontoo 1 500 km
Rio de Janeiro 2 900 km
Tokio ? km

Haettu oikea vastaus löytyy IS:n nettiversiosta:
"Tämä 6. luokan valta­kunnallisen kokeen matematiikan tehtävä ällistyttää – olisitko itse osannut?"
https://www.is.fi/kotimaa/art-2000007936187.html
2. Jaska23.4.2021 klo 12:52
Konsonantti 300 km, vokaali 200 km. Päässälaskutehtävä.
3. eol23.4.2021 klo 14:51
Kyllä, 300 km ja 200 km juuri noin, joten pähkinän haetuksi vastaukseksi saadaan 1200 km.

Eri asia sitten on, onko tällainen pähkinä - ainakaan juuri tällaisenaan - sovelias peruskoulun matematiikan koetehtäväksi. Mielestäni ehdottomasti ei ole. Kymmeniä mielipiteitä, valtaosin kielteisiä, tästä tehtävästä löytyy ylle linkatun artikkelin jäljestä.
4. iso S23.4.2021 klo 15:13
Ei tuollainen kompakysymys todellakaan ole matematiikan tehtävä. Jos luetellaan todellisia kaupunkeja ja etäisyyksiä niihin, niin silloin etäisyyksien pitää olla todellisia ja Tokion etäisyyden jollakin tavalla laskettavissa ilman mitään vokaalisointuja.

Minä päättelin näin: jos Sydney ja Lontoo ovat tienviitasta 1500 kilometrin päässä, on näiden kaupunkien välinen etäisyys enintään 3000 kilometriä. Siitä on pääteltävissä että maapallo on kammottavalla tavalla rysähtänyt kasaan eikä ihmiskunta ole mitenkään voinut selvitä tuon suuruusluokan katastrofista. Tokion etäisyydellä ei ole enää mitään väliä. Ainoat eloonjääneet ovat avaruusasemalla ja heidänkin elinaikaodotteensa kutistui dramaattisesti.

Etäisyydet on epäilemättä pystytty mittaamaan avaruudesta (tosin mahtvien pölypivien vuoksi vain 100 kilometrin tarkkuudella), mutta todellinen mysteeri on se, miten astronautit saivat tienviitan pystytetyksi? Turvallisia ja terveellisiä laskeutumispaikkoja ei varmaan ollut tarjolla.
5. eol24.4.2021 klo 23:10
Jatketaan huomattavasti matemaattisemmalla pähkinällä:

Susanna on syntymäpäiväkseen ostanut suorakulmion muotoisen pähkinäsuklaalevyn, jonka pitemmän sivun pituus on P palaa ja lyhemmän sivun Q palaa, joten levyssä on yhteensä P*Q palaa. Susannalla sattuu olemaan yhteensä P*Q luokkatoveria, ja hän haluaakin tarjota kullekin heistä yhden suklaapalan. Niinpä Susanna aikoo ryhtyä taittelemaan levyä pienempiin osasiin, siten että hän valitsee senhetkisistä osasista aina yhden ja taittaa sen kahdeksi pienemmäksi osaseksi jotakin valitsemaansa "taittosuoraa" pitkin (niin että kaikki osasen sisältämät yksittäiset palat säilyvät kokonaisina). Susanna haluaa minimoida tarvittavien taittokertojen määrän.

Mikä on optimaalinen taittelustrategia, ja kuinka monta taittokertaa se vaatii?

Pyydän toistaiseksi pelkkiä hepityksiä. - Voi myös jo heti vastata "paljoakaan paljastamatta" vaikkapa ottamalla jotkin 5:tä suuremmat luvut P ja Q, etsimällä niille haetun minimin M, ja ilmoittamalla vastaukseksi kokonaislukukolmikon P, Q, D, missä D on M:n neliöjuuren likiarvon desimaaliosan 3. desimaali.
6. iso S25.4.2021 klo 11:19
P=6
Q=10
D=1

Tuohon minimitulokseen voi päästä toinen toistaan useammalla tavalla taittelemalla.Helposti mieleen tulevalla tavalla mahdoillisia (ja tietyssä mielessä loogisia) tapoja on nähdäkseni 270, mutta vaihtelunhaluinen taittelija löytää tapoja paljon enemmän. Seuraavaksi mieleen tuleva vaihtoehtojen määrä on 43545600, mutta todellista erilaisten minimiin johtavien taittelujen määrää en jaksa miettiä. Jos jollakin on paljon joutilasta aikaa, mielikuvitusta ja järjestelmällisyyttä, saa kokeilla sen käytännössä...
7. eol25.4.2021 klo 12:10
P=6, Q=10, D=1 on oikeanlainen kolmikko, eli iso S:n vastaus on oikein.

Minimi on todellakin saavutettavissa useammallakin erilaisella tavalla. Eniten vaihtoehtoisia "taittosekvenssejä" luonnollisesti löytyy, jos numeroidaan kokonaisen levyn kaikki palat yksikäsitteisesti, ja tulkitaan kaksi "taittoinstanssia" samoiksi jos ja vain jos ne jakavat täsmälleen saman palajoukon täsmälleen samalla tavoin kahdeksi osajoukoksi. Minunkaan tiedossani ei ole yleistä ratkaisua tähän iso S:n esille ottamaan jatkokysymykseen.
8. eol25.4.2021 klo 12:21
P.S. Vielä tuosta kolmikosta P=6, Q=10, D=1. Se on tietysti ymmärrettävä niin, että pitemmän sivun pituus on 10 ja lyhyemmän 6.
9. Matti28.4.2021 klo 01:37
P=202
Q=41
D=0
10. eol28.4.2021 klo 08:28
Myös P=202, Q=41, D=0 on oikeanlainen kolmikko, joten Matillekin täydet pisteet.

Annetaan muille mahdollisille vastaajille vielä tämä ja huominen päivä aikaa. Tässä vaiheessa he voivat niin halutessaan hyvin jo paljastaa myös tehtävän ratkaisun yleisen (tietysti P:stä ja Q:sta riippuvan) lausekkeen - jota tehtävän jo selättäneiden iso S:n ja Matin sen sijaan ei toivota paljastavan.

Vinkki: Säikeen ensimmäinen tehtävä oli tarkoitettu peruskoulun kuudesluokkalaisille, ja peruskoulun matematiikka - jopa pelkkä kuuden ensimmäisen vuoden matematiikka - kyllä periaatteessa hyvin riittää tämän toisenkin tehtävän ratkaisemiseen.
11. Jaska28.4.2021 klo 12:53
Peruskoulun kuudetta vastannee vanhan ajan opparin toinen luokka. En muista, oliko sillä tuon tyyppistä tehtävää. Eli minulle on nyt tarjolla ennen nauttimaton pähkinäateria puhtaalta pöydältä. Silloin tokalla luokalla olisin kaiketi saanut saman tuloksen tapauksessa 10/6 kuin nytkin: 45 taittokertaa. iso S:n tulos voisi olla desimaalin perusteella 28. En tajua, miten. Minun hammaskalustoni ei ole Jawsin luokkaa niin kuin isoS:llä ja Matilla. Tämä lounas jää siis lautaselle.
12. Jaska28.4.2021 klo 13:10
No tarkemmin funtsien pitää taitella aluksi isompia kimpaleita kerralla. Koklaan lenkillä, pääsenkö siten iso S:n lukemaan.
13. eol28.4.2021 klo 13:57
Tapauksessa P=10 ja Q=6 tarvitaan kyllä itse asiassa enemmän kuin 45 taittokertaa. (Huomaa, että kukin yksittäinen taitto siis kohdistuu levyn senhetkisistä "osasista" aina vain yhteen, eli osasia ei saa millään tavoin "niputtaa yhteen" taittoa varten.)

Vaikka yllä totesin, että koulumatematiikkansa hallitseva kuudesluokkalainenkin on periaatteessa kykenevä ratkaisemaan tehtävän, niin toisaalta lähteessäni muistaakseni kerrottiin, ettei tehtävä välttämättä ole helppo akateemisesti kaikkein ansioituneimmillekaan.
14. Jaska28.4.2021 klo 17:38
Huhtikuun hyytävässä hapessa tajusin kirjoittaneeni läpiä päähäni. Katsotaan, ennätänkö päästä jyvälle (palalle) ennen Vermoa. Tuskin.
15. ++juh28.4.2021 klo 17:52
Keskikouluminäni ratkaisi tehtävän hankkimalla eri kokoisia suklaalevyjä. Aloittamalla paloittelun pienimmästä (1 x 2 palaa) ja siirtymällä aina vain isompiin yleinen kaava kävi ilmeiseksi jo muutaman levyn paloittelun jälkeen.

Esimerkiksi 12 x 8 -levy vaati ei enempää eikä vähempää kuin 95 taittokertaa.

Todistusta en esitä, koska keskikouluminäni hävitti todistusaineiston. Totesi kuitenkin tehtävän olleen hyvin herkullinen.
16. eol28.4.2021 klo 18:38
Kyllä, noinhan se on: jos P=12 ja Q=8, niin M=95.
17. Ari28.4.2021 klo 20:17
Jos levy on kokoa 3*11 palaa, on ihan sama miten taittelet, ensin pitkää sivua vai ensin lyhyitä sivuja pitkin niin aina tulee sama tulos 32 taittokertaa.
18. eol28.4.2021 klo 21:57
Myös Arin lausuma pitää paikkansa. Siten jos P=11 ja Q=3, niin M=32.
19. Jaska29.4.2021 klo 13:52
Kun 10/6 minimin neliöjuuren kolmas desimaali on 1, on minimi joko 50 (7,071, 51 (7,141) tai 52 (7,211). Uskottavimmin 52, jonka kekkaamiseen rahkeeni eivät riitä. Ilmeistä on, että taittelutekniikka perustuu "ilmaispaloihin" eli tavallaan nollalla taitolla syntyviin paloihin. Itse pääsin tällä tavalla tulokseen 54, jonka neliöjuuri on 7,348.
20. Jaska29.4.2021 klo 13:59
Taisi tulla sittenkin joku fiba, täytyy laskea uudelleen.
21. eol29.4.2021 klo 16:04
Juu, kyllä siinä on täytynyt jonkinmoinen fiba käydä, sillä tapauksessa P=10 ja Q=6 haettu minimi M on vielä 54:ääkin suurempi.
22. iso S29.4.2021 klo 16:16
Jaska, miksi juuri nuo kolme vaihtoehtoa? Välillä 1-200 on 16 sellasta lukua, joiden neliöjuuren kolmas desmaali on 1. Pienin niistä on 14 ja suurin 198. Tällä ei tietenkään ole mitään tekemistä alkuperäisen ongelman kanssa.

Mitä pienemmistä luvuista on kysymys, sitä suuremmalla syyllä kannattaa arvata että kolmas desimaali on 0, jos ei tiedä. Näinhän on aina silloin kun luvun juuri on kokonaisluku. Muissa luvuissa kaikki numerot lienevät yhtä todennäköisiä kolmantena desimaalina. Tällaisia juureksia esiintyy sitä harvemmassa mitä suurempiin lukuihin mennään, jolloin nollan etulyöntiasema heikkenee. Tälläkään ei ole mitään tekemistä alkuperäisen ongelman kanssa.
Kyllä, olin huolimaton ja sotkin P:n ja Q:n keskenään. Tosin sillä ei ole mitään merkitystä: tulos on sama riippumatta siitä kumpi on pitempi sivu.
23. Matias-Myyrä29.4.2021 klo 16:52
Ostin äsken 4 suklaalevyä, joissa on kussakin 6x4 palaa. En ole niitä vielä paloitellut, mutta tiedän montako naksausta vaatii saada ne yksittäisiksi paloiksi.
P=6, Q=4, M=23.
24. Jaska29.4.2021 klo 16:55
Juttu on niin, että tsekkasin neliöjuuret 59:stä alaspäin, ja 1 kolmantena desimaalin eka oli 52. isoS:n ilmoitus oli siis virheellinen.

Lenkillä hoksasin taas ed. oman virheeni, taittelin siinä kahdesta palasta yht'aikaa. Pölhö mikä pölhö. Varmuudella oikea tulos on 58, mutta kolmas desimaali on 5. Siinä taitetaan levy kahdeksi palaksi, isompi maksimi 6x9, pienempi 1x6. Siis reunarivi pois. Saadaan 53 + 5 = 58.

Jotenkin tuntuu, että tuosta ei alemmas ole mahkuja. Koetan saunassa keksiä todistuksen.
25. ++juh29.4.2021 klo 17:06
M = minimi = maksimi = P×Q–1.

Todistus yleistajuisesti:
0 naksausta: suklaapaloja on 1 eli kokonainen levy.
1 naksaus: suklaapaloja on 2.
2 naksausta: suklaapaloja on 3.
3 naksausta: suklaapaloja on 4.
:
P×Q–2 naksausta: suklaapaloja on P×Q–1.
P×Q–1 naksausta: suklaapaloja on P×Q eli haluttu määrä.
26. Jaska29.4.2021 klo 17:25
Saunasta ei muuta seuraamusta kuin kylmä suihku. Unohtui ynnätä eka taitto. Siis 59 sekin, hah.
27. Ari29.4.2021 klo 17:44
6x4 levyn saa katkaistua paloiksi 21 naksautuksella.
28. eol29.4.2021 klo 17:52
++juh siis esitti (17:06) tuon periaatteessa 6-luokkalaisenkin hoksattavissa olevan todistuksen tarvittavien taittokertojen yleiselle määrälle P*Q-1, joka tosiaan on valitusta taittelustrategiasta täysin riippumaton. Kukin taittokerta lisää toisistaan irrallisten "osasten" (++juhin termein "suklaapalojen") määrää täsmälleen yhdellä, joten 1 osasesta päästään P*Q osaseen kun suoritetaan P*Q-1 taittokertaa.

Erikoistapauksia:
10*6: 59 (iso S)
202*41: 8281 (Matti)
12*8: 95 (++juh)
11*3: 32 (Ari)
6*4: 23 (Matias-Myyrä)
29. Ari29.4.2021 klo 17:55
Saako tuohon viestin 5 tehtävään muuten jo vastata?
30. eol29.4.2021 klo 17:55
Lainaus: 27. Ari 29.4.2021 klo 17:44
6x4 levyn saa katkaistua paloiksi 21 naksautuksella.

Jotkin noista 21 naksautuksesta eivät ilmeisesti ole yllä annetun speksin mukaisia.
31. Ari29.4.2021 klo 18:01
Kuinka niin? Täytyy katkaista oikeassa järjestyksessä. Jos katkaisee ensin pitkän sivun suuntaisesti ja sitten pätkii neljän osan pätkät niin pääsee tuohon. Jos taas katkoo ensin lyhyen sivun suuntaisesti, saa vastaukseksi 25. Eli sinun lukemasi on näiden keskiarvo.
32. eol29.4.2021 klo 18:04
Lainaus: 29. Ari 29.4.2021 klo 17:55
Saako tuohon viestin 5 tehtävään muuten jo vastata?

Juu, yleistä ratkaisua ryhdyin itse asiassa pyytelemään jo yllä 28.4. klo 08:28.
33. eol29.4.2021 klo 18:11
Lainaus: 31. Ari 29.4.2021 klo 18:01
Kuinka niin?

3 + 4*5 = 23
5 + 6*3 = 23
34. Ari29.4.2021 klo 18:34
3+3*6=21
Piirrä vaikka paperille niin huomaat.
35. iso S29.4.2021 klo 18:37
Lainaus: 31. Ari 29.4.2021 klo 18:01
Kuinka niin?

Laskepa vielä. Pitkä sivu kuusi palaa, lyhyt sivu neljä palaa. Pitkällä sivulla on siis viisi (p-1) taittokohtaa, lyhyellä 4 (Q-1).

Kun taitetaan pitkän sivun suuntaisesti, saadaan minun järkeni mukaan neljä kuuden palan pätkää ja taittoja tulee tässä vaiheessa kolme. Sitten taitetaan ne neljä pätkää, joista tulee 4*5 taittoa. Yhteensä 23 taittoa.

Kun taitetaan lyhyen sivun suuntaisesti, saadaan edellä käytetyn jrjen (joka ei käytöstä kulunut pois) mukaan kuusi neljän palan pätkää ja taittoja tulee tässä vaiheessa viisi. Sitten taitetaan ne kuusi pätkää, joista tulee 6*3 taittoa. Yhteensä 23 taittoa. Sama se sille, Jussi tai Ville, yhteinen tulos on taitteleville.

Voi olla että ymmärrämme "sivun P/Q suuntaisesti" taittamisen eri tavalla, mutta kuten sanottu ja c todisti, molemmilla tavoilla tulee sama tulos.

Itse päädyin välituloksena samaan yksinkertaiseen kaavaan, kun halusin todistaa itselleni että järjestyksellä ei ole väliä. Lähtökohtana oli kaava (ymmärtäkää pitkät ja lyhyet haluamallanne tavalla):

(P-1) + P*(Q-1)
Poistetaan sulut:
P-1+P*Q-P
P ja -P kumoavat toisensa:
-1+P*Q
Vaihdetaan järjestys silmää miellyttävämmäksi, ei vaikuta tulokseen
P*Q-1 (hei, tuntuu tutulta: !)
Arvo ei muutu, jos lisätään -Q ja +Q
P*Q-Q+Q-1
Lisätään sulut ja vaihdetaan järjestystä
(Q-1)+(P*Q-Q)
Kerrotaan ja jaetaan jälkimmäinen osa Q:lla (eli siirretään yhteinen tekijä sulkujen ulkopuolelle
(Q-1)+Q*(P-1)
Ihan sama kaava kuin alussa, mutta Q ja P vaihtoivat paikkaa. Levy kääntyi pystyasennosta vaaka-asentoon tai päinvastoin.
36. Ari29.4.2021 klo 18:41
Eikun joo, olet oikeassa, sekosin taittelujärjestyksessä, sori
37. eol29.4.2021 klo 18:58
Näin ollen tehtävä on ratkaistu, kiitokset keskusteluun osallistujille.
38. Jaska29.4.2021 klo 18:58
Sanoin tsekanneeni desimaalit 59:stä lähtien alaspäin. Miksen 59 mukaan luettuna. Olisin välttynyt hölmöilyiltäni. Kolmas desimaali on tosiaan 1. Ja Matilla aivan oikein kolmas on 0. Ja ensimmäinen sekä toinen. Ynnä miljoonas. Tosiaan erikoistapaus, heh. Mutta niin kuin Spats Colombo henkihieverissään: Good joke!
39. Ari29.4.2021 klo 19:02
Siinähän oli tavallaan kompa kun Susannan suklaalevyn taittelujärjestyksellä ei ollutkaan väliä lopputulosta ajatellen.
40. Jaska6.5.2021 klo 14:07
Tiistaina sattui niin somasti, että kenomylly pyöräytti ilta-arvonnassa kymmenen samaa numeroa kuin edellisessä eli päiväarvonnassa. Näin käy keskimäärin noin kerran kahdessasadassa vuodessa nykyarvontatahdilla kolme arvontaa joka päivä.

Oletetaan, että kymppitasoa pelaava kenottaja Kenonen sai päiväarvonnan tuloksesta etiäisen, että ilta-arvonnasta tulee 10 samaa numeroa. Kenonen on ohjelmointitaitoinen miljonääri, jolla ei siis olisi ongelmaa täydelisen järjestelmän 10/20 rahoituksessa eikä sen syöttämisessä Veikkauksen onlinejärjestelmään.

1. Kannattiko Kenosen uhkapeli, eli tuliko nettovoittoa vai pelin hinnan verran takkiin.
2. Mikä on ko. olettamuksen toteutuessa minimirivimäärä, jolla kymppitason pelaaja tietää varmasti jäävänsä plussan puolelle?
41. eol6.5.2021 klo 20:05
Selvitinpä Jaskan tehtävää varten ensin Veikkauksen (ja Wikipedian) sivuilta Kenon sääntöjä, kun ei ole tullut sitä pelattua:
https://www.veikkaus.fi/fi/keno/peruspeli
https://fi.m.wikipedia.org/wiki/Keno

Eli siis: Kenossa arvotaan 20 numeroa 70:stä. Kymppitasoa (Keno-10) pelatessaan Keno-pelaaja laatii ennen arvontaa rivin, johon hän valitsee 10 numeroa kyseisistä 70:stä. Pelaajalle palautuva voitto on pelipanos kerrottuna voittokertoimella, ja tämä voittokerroin määräytyy seuraavasti sen mukaan, kuinka monta arvottua numeroa pelaajan rivissä on oikein.

10 oikein: voittokerroin on 200 000
9: 5 000
8: 200
7: 20
6: 4
5: 1
4, 3, 2 tai 1: 0
0: 1

Pyrin palaamaan asiaan eli itse Jaskan tehtävään hieman myöhemmin.
42. eol6.5.2021 klo 22:45
Seuraavasssa Jaskan tehtävän kummastakin kohdasta - tässä vaiheessa laskelmat ja todistukset sivuuttaen:

1. Jos Kenonen pelaa etiäisensä mukaisella täydellä eli 10 oikein -tuloksen takaavalla hajarivijärjestelmällä ja jos tuo etiäinen toteutuu, niin Kenonen jää voitolle (ja paljon!).

2. Kun edelleen oletetaan, että etiäinen toteutuu, niin Kenonen pystyy tekemään sellaisen 6 rivin hajarivijärjestelmän, jolla hän jää varmasti voitolle. (Ainakaan vielä en kuitenkaan ole onnistunut ?sulkemaan pois sitä mahdollisuutta, etteikö samanlainen varmuus olisi saavutettavissa pienemmälläkin rivimäärällä.)
43. Jaska6.5.2021 klo 23:48
Molemmat vastaukset (tietysti) oikein. Varman 10 oikein saa pelaamalla kaikki erilaiset 184756 riviä, ja sen kerroin Veikkauksella on 200000. Valtava määrä ns. alavoittoja nostaa euron rivipanoksella nettovoitom lukemaaan 1448149 euroa.

Kuusi riviä on siis minimi, minkä todistaminen ei ole kovin vaikeaa. eolin laatiman haravan takaama minimitulos on 6 + 4 kpl 5 oikein, voittosumma euron rivipanoksella 8 euroa = 2 euroa netto.
44. Jaska9.5.2021 klo 12:30
Ko. harava ja todistus. Kuusi haravariviä ovat vaakasuorassa.

XXXXXXXXXX0000000000
XXXXX00000XXXXX00000
XXXXX0000000000XXXXX
00000XXXXXXXXXX00000
00000XXXXX00000XXXXX
0000000000XXXXXXXXXX

Kuudessa haravarivissä on kymmenen rastia eli kahtena lohkona 5 + 5 rastia. Nollat huomioon ottaen koknaisuudessa on siis neljä lohkoa, eli numeroituna 1-5, 6-10, 11-15, 16-20. Rastit kuvaavat rivissä pelattavia kymmentä eri kenoriviä ja nollat kymmentä muuta 20:stä. Olkoon kukin rastilohko 1 ja nolla lohko 0. Nyt voidaan haravarivit kuvata suppeammin vain neljä merkkiä käsittävillä riveillä:

1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1

Kuudessa rivissä ovat siis kaikki permutaatiot 4/2 (tässä / = yli) eli kuinka monessa järjestyksessä kaksi eri alkiota voivat kaikiaan olla.

Määritetään seuraavaksi kymmenen rastin eri jakaumat lohkoittain.

5, 5, 0, 0
5, 4, 1, 0
5, 3, 2, 0
5, 3, 1, 1
5, 2, 2, 1
4, 4. 2, 0
4, 4, 1, 1
4, 3, 3, 0
4, 3, 2, 1
4, 2, 2, 2
3, 3, 3, 1
3, 3, 2, 2

Havaitaan, että alimmaisessa eli eli rastien tasaisimmassa lohkojakaumassa on minimitulokseen vaadittavat 3 + 3 rastia. Koska alkiojakauma 4/2 on täydellinen ja siis symmetrinen, minimitakuu on voimassa myös järjestyksille 3, 2, 3, 2 jne. Kokeilemalla samalla neljän lohkon jakaumalla todetaan, että sama takuu on mahdoton pienemmällä rivimäärällä kuin 6. Jokaisen numeron 1-20 kohdalla on oltava kolme rastia. Viidellä rivillä se ei ole mahdollista.
KOMMENTOI

Pakolliset kentät merkitty tähdellä *