KESKUSTELUT > RISTIKOT > MUURAHAISET
387. Muurahaiset
Matti14.10.2003 klo 12:39
Kokeillaanpa tällaisen suosiota. Onko liian koulumainen?Metrin levyisen neliön kulmissa seisoo kussakin muurahainen ja katsoo neliön keskelle. Kukin lähtee kävelemään suoraan kohti etuoikealla olevaa muurahaista. Pikkuhiljaa radat kaartuvat ja muurahaiset ajautuvat keskemmälle.
Kuinka pitkän matkan muurahaiset kulkevat ennen kohtaamistaan neliön keskipisteessä?
Kuinka monta kertaa (pistemäisiksi ja massattomiksi) oletetut muurahaiset kiertävät neliön keskipisteen ennen kohtaamistaan?
2. PatrikM14.10.2003 klo 16:10
Muurahaiset lienevät lähteneen "viimeiselle" matkalleen?
3. Helge14.10.2003 klo 16:41
Vaikuttaa äärettömän vaikealta!
4. Matti14.10.2003 klo 17:43
Ei tarvita kynää eikä paperia, on ihan hoksaamisjuttu, ainakin ensimmäinen kysymys.
5. Helge14.10.2003 klo 21:01
Kun nyt olen näitä spiraaleita piirrellyt ja mittanauhaa taivutellut, ja näyttää, että millimetripaperini kuluu kohta puhki neliön keskipaikkeilta. Vaikuttaa edelleen ÄÄRETTÖMÄN vaikealta!
6. Hui hai15.10.2003 klo 09:57
Matilla taisi jäädä kertomatta kuinka pikkuhiljaa muurahaisten radat kaareutuvat. T.s. kulkevatko muurahaiset aina kohti sitä pistettä, jossa ne näkevät sen muurahaisen, jota kohti lähtivät. Vai tiukentavatko ne käännöstään omia aikojaan, kuitenkin niin etteivät koskaan käänny poispäin keskipisteestä.Ensimmäisessä tapaksessahan ratkaisu löytyy helposti kun miettii, koska muurahainen saavuttaa pisteen, jossa sen nenä osoittaa kohti keskipistettä ja jäljellä n pätkä suoraa pikamarssia.
7. Matti15.10.2003 klo 15:29
Kukin muurahainen kulkee koko ajan kohti omaa kohdemuurahaistaan, missä tämä sitten milloinkin onkin.Myös toinen kysymys on ratkottavissa ilman kynää ja paperia, tilannetta "sielun silmin" tarkastelemalla.
Voi ratkaisun myös laskea. Koulumatematiikka ei ihan riitä, tarvitaan differentiaaliyhtälöitä.
8. Matti16.10.2003 klo 15:39
Ratkaisu:Ajatellaan vierekkäiset muurahaiset yhdistetyn viivalla. Symmetriasyistä saadaan neliö, jolla on sama keskipiste kuin alkuperäiselläkin neliöllä, ja joka pienenee ja kiertyy samalla vastapäivään. Jos muurahainen A kulkee kohti muurahaista B, niin jälkimmäinen kulkee aina edellisen reittiä vastaan kohtisuoraan. Se ei siis loittone A:sta eikä myöskään lähesty sitä. A puolestaan ottaa jokaisen askeleen suoraan kohti B:tä. Siitä seuraa että A kulkee kaikkiaan A:n ja B:n alkuperäistä etäisyyttä vastaavan matkan, siis yhden metrin.
Pysäytetään tilanne siinä vaiheessa kun neliö on pyörinyt tasan yhden kierroksen. Skaalataan neliö alkuperäiseen kokoonsa. Nyt ollaan takaisin alkupisteessä sillä erotuksella että muurahaisten vauhti on koventunut. Odotetaan taas että neliö pyörii yhden kierroksen ja skaalataan. Todetaan että neliö pyörii äärettömän monta kierrosta ennenkuin muurahaiset kohtaavat neliön keskipisteessä.
Jos muurahaisten vauhti pysyy vakiona, neliö pyörii sitä vinhempaa vauhtia mitä pienemmäksi se tulee, ja lopulta pyörimisnopeus kasvaa äärettömiin samalla kun muurahaiset kohtaavat.
Menee siis muurahaisraukoilta pää sekaisin. Jos niillä olisi massa, niin jossakin vaiheessa keskipakovoimat kävisivät niin suuriksi, että jalat alkaisivat sutia tyhjää ,ja homma menisi piirileikiksi.
Muurahaisten kulkema reitti on siitä jännä, että vaikka sillä on äärellinen pituus, yksi metri, se onnistuu silti kiertämään keskipisteensä äärettömän monta kertaa. Tämä on mahdollista siksi, että spiraalin säde pienenee riittävän nopeasti.
9. iso S17.10.2003 klo 08:45
Pienen miettimisen jälkeen uskon, että matkaksi tulee tosiaan metri. Pienenevän neliön käsite oli hyvin valaiseva. Enpä olisi osannut itse päätellä.Selityksen ymmärtäminen vaatii kyllä joko suurpiirteistä ajattelua tai differentiaalilaskennan tuntemusta (ei aktiivista osaamista). Viittaan väitteeseen, että kohtisuoraan kulkeva ei lähene eikä loittone. Pysäytetäänpä muurahaiset A ja B. A katsoo suoraan eteensä paikkaan, missä B on. B lähtee liikkeelle A:n katseen suuntaan nähden kohtisuoraan. Kyllä vain loittonee! Todellisessa tilanteessa molemmat liikkuvat ja B ikäänkuin kiertää A:n ympäri kehää, minkä säde koko ajan pienenee. Siis B lähenee, tosin A:n liikkeestä johtuen, mutta läheneepä kuitenkin! Loittonemattomuus pätee vain, kun ajatellaan etenemistä per aikayksikkö ja kutistetaan aikayksikkö "äärettömän pieneksi" (matemaatikot pörhistelevät niskavillojaan, joten sanotaan, että aikayksikkö lähestyy rajattomasti nollaa).
Sikäli jänniä muurahaisia, että niiden vauhti kasvaa, kun niiden sijainnista piirrettyä kuvaa skaalataan isommaksi. Ei olisi luullut, että moinen temppu vaikuttaisi ötököiden todellisiin liikkeisiin!
10. Matti17.10.2003 klo 12:04
Joo, ei tuohon iso S:n kommenttiin ole mitään poikkipuolista sanottavaa.
11. ile17.10.2003 klo 22:30
Missä lienee luontoillassa tai vastaavassa joku asiantuntija esitti kerran faktana sellaisen muurahaisia koskevan väitteen, että kekomuurahainen ei koskaan poistu kolmeasataa metriä kauemmas pesästään! En usko!
Muurahainen ei voi millään tietää, milloin etäisyys pesään on tasan kolmesataa metriä! Joku yksilö käy taatusti kauempana, enkä nyt tarkoita sellaista vapaamatkustajaa, joka löytyy auton takaboksista, kun palaa maalta.
Näiden Tiaisten, Kasvien ja muidenkin asiantuntijoiden pitäisi välillä harkita, mitä suustaan ulos totuuksina laskevat. Eivät kuulijat sentään ihan kaikkea ole valmiita nielemään, vaikk'ei heidän suunsa tuohesta olekaan.
12. Helge19.10.2003 klo 00:55
Erimieltä.Muurahaiset kiertävät äärettömän monta kertaa ja maksimimatkaksi tulisi 1 metri, mutta sitä ne eivät koskaan saavuta. Se on kyllä matematiikan limit-käsite niillle.
Ne kiertää yhä, mutta alta metrin matkaa tehneenä.
13. Helge19.10.2003 klo 09:45
Pelkistän edellä esittämäni väitteeksi:Muurahaiset kiertävät keskipistettä äärettömän monta kertaa ts. ei ole kierrosta, jolloin siirtyisivät keskipisteeseen.
Tällöin ei 1 metrikään tule kokonaan kuljetuksi.
Tämä väite pitäisi kumota, ennenkuin teoria olisi "kaunis".
Matkan ja nopeuden perusteella ne ovat kyllä jo perillä.
KOMMENTOI