KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > LUKUJONO 12
7547. Lukujono 12
Olavi Kivalo21.7.2013 klo 08:27
A-matriisi on1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 2 2
1 1 2 2 2 4
1 2 2 4 8 8
2 4 4 4 8 8
ja v-vektori on [11 13 19 37 41]-vektorin transpoosi ja Antin v:n muunnos.
Ratkaise matriisiyhtälö Ax=v.
2. Olavi Kivalo24.7.2013 klo 20:14
x={11/2, -(5/2), 7/4, 17/20, 2, 17/10}
3. Olavi Kivalo30.7.2013 klo 10:29
Kuinka jatkuu1, 2, 4, 8,16, 32, 49, 72, 98, 126, 158, 199, 247, 297, 356, 423
4. Antti30.7.2013 klo 12:16
En löytänyt parempaa ehdokasta kuin 497, mutta se lienee väärin.
5. Olavi Kivalo30.7.2013 klo 17:03
Seuraava on 491.Tapa, jolla lainalaisuutta tulee hakea, on aivan tavanomainen.
6. Olavi Kivalo31.7.2013 klo 13:08
Eli otetaan differenssit. Ja sitten toiset. Ja jos ei auta, voi ottaa pienet.
7. Matti31.7.2013 klo 19:56
Ei auttanut, vaikka otin pienetkin. Olavi, anna kolmen pisteen vihje!
8. Olavi Kivalo1.8.2013 klo 11:47
Haettu lukujono generoituu siitä muodostettujen toisten differenssien lukujonon avulla. Tarvitsee oivaltaa näiden lukujonojen yhteys. Se tapahtuu pällistelemällä. Tuo yhteys on se lainalaisuus, jolla alkuperäisen lukujonon lisätermejä voidaan tuottaa. Loppusilaus on kaavan tuottaminen tuolle yhteydelle. En ole työstänyt sellaista vielä.
9. Jaska1.8.2013 klo 15:02
Totesin niiden olevan alle 10. Ehkä siinä on se juju.
10. Olavi Kivalo1.8.2013 klo 15:09
Joo, toiset differenssit ovat yksinumeroisia 1...9, josta seuraa...
11. Olavi Kivalo2.8.2013 klo 09:34
Rautalankaväännös:Alkuperäinen jono on a = a1, a2, a3, ... (kasvava)
Toinen differenssi on b(n) = a(n+2)-2a(n+1)+a(n)
Toisten differenssien jono on b = b1, b2, b3, ...
Jonossa a on aina kaksi termiä enemmän kuin jonossa b.
Vertaa toisiinsa jonoja a ja b.
Päättele.
Tuota lisää termejä jonoon a jonon b avulla.
Jos sanon lisää, olen ratkaissut ongelman.
12. Olavi Kivalo3.8.2013 klo 11:21
Koska Neil Sloane julkaisi jonon OEIS:sa seuraavana päivänä, kun lanseerasin sen täällä (A226930), kerrottakoon ratkaisu.a = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 49, 72, 98, 126, 158, ...
b = 1, 2, 4, 8, 1, 6, 3, 2, 4, 9, 7, 2, 9, 8, 1, 2, 6, 1, 5, 8, ...
Jonojen yhdenmukaisuus näkyy selvästi. Kun poistetaan pilkut ja kirjoitetaan numerot yhteen, jonot ovat identtiset. Nähdään, että jonon b luvuilla voidaan generoida lisää termejä jonoon a, jotka taas antavat lisää termejä jonoon b.
Ainoastaan ylläoleva jono on OEIS:ssa, mutta olen osoittanut, että jonoja, joilla on tämä sama ominaisuus, on ääretön määrä. Olen myös ehdottanut, ettei OEIS:n tulisi julkaista (kuten se tekee) tietyn jonoluokan yksittäisiä instansseja aina sitä mukaa, kun joku sellaisen löytää. Lukujonoinstanssien lukumäärä on usein ääretön, joka tarkoittaa, että järjestelmä räjähtää jossain vaiheessa. OEIS:n tulisi pyrkiä kehittämään taksonomiaa, jonka avulla instanssit voidaan tuottaa äärellisestä joukosta lukujonoluokkia niille ominaisten algoritmien avulla.
13. Jaska3.8.2013 klo 23:41
Ohhoh, olipas maailman ovelampi (ovelin kylläkin tässä ketjussa) juju, onnittelut. En eilen tiukankaan tiirailun jälkeen älynnyt ratkaisua, vaikka se oli näkyvillä nokan edessä. Huomenna oli tarkoitus taas vilkaista, kaiketi tuloksetta sekin olisi päättynyt. Tyhmä mikä tyhmä.
14. Olavi Kivalo5.8.2013 klo 09:45
Edelliseen liittyen: kuinka jatkuu (ei ole OEIS:ssa)?1, 10, 20, 31, 42, 55, 68, 84, ...
15. Antti5.8.2013 klo 10:27
Jos voitaisiin jättää aivan ensimmäiset huomiotta, jatko olisi100, 120, 140, 165 ...
16. Olavi Kivalo5.8.2013 klo 16:12
Sinne päin, mutta kaikki termit on otettava huomioon. Tietysti. Soorii.
17. Antti7.8.2013 klo 06:58
Olavin viimeinen tehtävä vaikuttaa OEIS:ssä julkaistun edeltävän ongelman veroiselta pulmallisuudessaan ja näyttää tarvitsevan esittäjänsä antamaa ratkaisua.
18. Olavi Kivalo7.8.2013 klo 09:31
Pikemminkin tämä on läpihuutojuttu, jos oivalsi, kuinka edellinen ratkeaa. Laitoin sen tänne lähinnä osoittaakseni, että noita lukujonoja, joilla on sama ominaisuus kuin ensin esitetyllä, on vaikka kuinka paljon.
19. Jaska9.8.2013 klo 22:07
Pehmishän tuo tosiaan on, siis 101. Antti ei siis huomannut samaa rakennustapaa. Luepa Antti aatoksella Olavi Kivalon selitys.1, 2, 5, 11, 22, 40, 69, 110, 169, 247, ?
20. Jaska9.8.2013 klo 23:04
Äääähh, päässälaskukömmähdys 69:n jälkeen. Jatkuu tietysti 111, 170, 248...
21. Olavi Kivalo10.8.2013 klo 12:09
Omani jatkuu:..., 101, 122, 145, 173, ...
Jaskan jatkuu:
..., 248, 349, 479, 640, 838, 1077, ...
Eipä ole tätäkään OEIS:ssa.
22. Olavi Kivalo10.8.2013 klo 15:29
Osoita, että päättymättömästä lukujonosta4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, ...,
jonka jakso on siis (4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6), voidaan konstruoida kaikki alkuluvut p(4)...p(n), jossa n on ääretön. (Jaskan heiniä)
23. Jaska12.8.2013 klo 10:00
Täytyy syventyä paremmin ehtiessään. Onhan se aika maagista, jos kaikki väliluvut ovat seitsemällä jaollisia.
24. Olavi Kivalo12.8.2013 klo 12:19
Tulisi osoittaa yleisesti, että alkulukujen 1.differenssit eli peräkkäisten alkulukujen erotukset ovat tuon antamani jaksollisen jonon peräkkäisten osajonojen termien summia.Olen esittänyt tämän OEIS:ssa laiskuuttani pelkkänä konjektuurina (A215719), mutta uskon, että sen todistaminen olisi pikku juttu.
25. Jaska13.8.2013 klo 00:39
Syvennyin paremmin, eikä mitään magiikkaa löytynyt. Jaollisten lukujen osajonossa ovat tietysti kaikki seitsemällä ja sitä suuremmilla alkuluvuilla jaolliset luvut.OK:n jakson rytmi 4-2-4-2-4-6-2-6 on seurausta siitä. että alkulukujen jonossa on kaksi osajonoa. Ne ovat muotoa p+1 ja p-1. Ne on puolestaan poimittu jonoista 6n+1 ja 6n-1, jotka alkavat seuraavasti:
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65...
7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67...
Näissä jonoissa ei siis voi olla kolmella jaollisia lukuja. Kummankin erotusjono on 6-6-6-6-6.... Poistetaan jonoista viidellä jaolliset, jolloin jäljelle jäävät alkuluvut sekä seitsemällä ja sitä suuremmilla alkuluvuilla jaolliset luvut. Kummassakin jonossa joka viides luku on viidellä jaollinen, joten poiston jälkeen syntyy myös erotus 12. Kun jonot yhdistetään, kahdesta erotusjonosta yhdistyy OK:n jaksoja sisältävä jono.
Täyttänee OK:n pikku jutun kriteerit?
26. Olavi Kivalo14.8.2013 klo 09:56
Pikku juttu, mutta ihan elegantisti käsitelty. Itse asiassa johdin tuon jaksollisen jonon juuri poistamalla luonnollisten lukujen jonosta 2, 3, 4, ... ne, jotka ovat jaolliset luvuilla 2, 3 ja 5. Tällöin saadaan jono, jossa peräkkäisten alkulukujen erotukset noudattavat tuota jaksoa.Miksi juuri 2, 3 ja 5? Jos poistetaan kaikki ne, jotka ovat jaolliset luvuilla 2, 3, 5, 7, ... ei synny enää jaksoa.
Itse asiassa konjektuurini koskee neljän peräkkäisen alkuluvun muodostamia nelikkoja. Väitän, että jokaista antamastani jaksollisesta jonosta muodostettua kolmen termin pituista osajonoa {a, b, c} vastaa päättymätön jono, joka koostuu neljän peräkkäisen alkuluvun muodostamista nelikoista {p(n), p(n+1), p(n+2), p(n+3)}, joiden termien keskinäiset erotukset ovat tuo osajono.
Kukaan ei ole rientänyt kyseenalaistaman eikä liioin todistamaan tätä konjektuuria.
Itse kukin voi testata konjektuurin paikkansapitävyyttä valitsemalla mielivaltaisen osajonon {a, b, c}, esimerkiksi {{4, 2}, {4, 2, 4, 6, 2}, {6, 4, 2}} = {6, 18, 12} ja hakemalla peräkkäiset alkuluvut, joihin tämä istuu.
27. Jaska14.8.2013 klo 11:05
Vaikuttaa uskottavalta ilman todistustakin. Sekään ei välttämättä ole kovin komplisoitu. Kyseiset nelikot koostuvat siis samaa muotoa olevista alkuluvuista, joko 6n+1 tai 6n-1. Päättymättömyyskonjektuurin voi siis eriyttää koskemaan kumpaakin muotoa. Testaamista helpottaisi, jos netissä olisi niiden jonot erikseen, mutta ei taida olla.Tältä pohjalta voi lähestyä myös kaksoskonjektuurin todistamista. Pitää siis osoittaa, että kuudella jaollisten "tasapelien" erotuksia on ääretön määrä. Pohtii, jos ehtii.
28. Olavi Kivalo17.8.2013 klo 11:43
Nelikoiden alkuluvut voivat olla kumpaa tahansa muotoa. OEIS:ssa antamani esimerkin peräkkäisten alkulukujen nelikko {17929, 17939, 17957, 17959} on muotoa {6n+1, 6n-1, 6n-1, 6n+1}, jossa n:t ovat {2988, 2990, 2993, 2993}.Toisin sanoen nelikot tuosa esimerkissä ovat muotoa
{6n+1, 6n-1, 6n-1, 6n+1} ja yleisesti siis
{6n(1)+/-1, 6n(2)+/-1, 6n(3)+/-1, 6n(4)+/-1},
jossa n(k+1)>=n(k), k=1,2,3.
Erotukset ovat siis yleisesti 6[n(k+1)-n(k)] - 0, 2 tai -2.
Jos n(k+1)-n(k) = 0, erotus on 2
Jos n(k+1)-n(k) = 1, erotus on 6, 4 tai 8
Jos n(k+1)-n(k) = 2, erotus on 12, 10 tai 14
Jos n(k+1)-n(k) = 3, erotus on 18, 16 tai 20
jne.
Irtoisiko todistus tästä?
29. Olavi Kivalo19.8.2013 klo 10:18
Ylläoleva yhtälöryhmä on ratkaistavissa aika helposti. Ratkaisuista suurin osa on kuitenkin ei-sallittuja, johtuen siitä, että kaikki muotoa 6n+/-1 olevat luvut eivät ole alkulukuja, ja mikä hankalampaa, ratkaisuista suurin osa koostuu nelikoista, jotka eivät ole PERÄKKÄISIÄ alkulukuja. Ja mikä vieläkin hankalampaa, kun on löydetty peräkkäisten alkulukujen nelikko, tulisi todistaa, että tälläisiä nelikoita löytyy loputtomiin, kun parametria n(1) muutetaan.Esim. triplalla {6,6,6} saadaan helposti ratkaisuksi nelikko {5, 11, 17, 23}, kun n(1)=1, mutta nämä eivät ole peräkkäisiä alkulukuja.
Ensimmäinen oikea ratkaisu saadaan vasta kun n(1)=42, jolloin nelikoksi tulee {251, 257, 263, 269}. Numeerisesti saadaan kyllä lisää termejä jonoon, mutta tällä ei todisteta kyseistä konjektuuria.
Haasteelliselta näyttää.
30. Jaska19.8.2013 klo 18:06
Kappas, olinpa lukusokea 5.3. 18:53, kun em. nelikko jäi noteeraamatta. Väitin ensimmäisen olevan 3301, 3307, 3313, 3319. Se on nyt siis pudotettava hopealle.
31. Olavi Kivalo19.8.2013 klo 20:17
Pahoittelen, mutta pronssille jää.Nelikoiden pienimipien jono on seuraava:
251, 1741, 3301, 5101, 5381, 6311, 6361, ...
32. Jaska19.8.2013 klo 23:32
No ei olisi tarvinnut pahoitella..
33. Olavi Kivalo20.8.2013 klo 22:35
a(1)=1Jonon kutakin termiä a(n) seuraava termi a(n+1) on pienin sellainen kokonaisluku, joka ei vielä esiinny jonossa ja joka liitettynä termin a(n) eteen tai taakse on alkuluku.
Esim.
a(2)=3, koska 13 (ja 31) on alkuluku.
a(3)=2, koska 23 on alkuluku jne.
a) kuinka jatkuu? (helppo)
b) osoita, että jono on kaikkien luonnollisten lukujen permutaatio. (vaikea)
34. Jaska21.8.2013 klo 10:56
Jos oikein ymmärsin, lienee jatko 4, 7, 6, 9, 5, 11, 8, 23....Osoitus jääköön ainakin tältä erää.
35. Jukkis21.8.2013 klo 11:18
Eihän 2:n jälkeen voi 4 tulla, kun 24 ja 42 ei ole alkulukuja.Minä ehdotan jatkoksi 9, 5, 21, 4, 7, 6, 13, 10, 19, 16, 27, 8, 11, 15, ...
36. Olavi Kivalo21.8.2013 klo 12:10
Noin se menee. Osoituksen voi unohtaa.Toisaalta olisi kiinnostavaa, jos löytyisi luku, joka ei voi esiintyä jonossa. Vaikka 14 (tai luultavammin joku tosi iso)?
Voi myös kysyä, onko alkulukuja >13, jotka eivät muodostu tällä tavalla.
37. Jaska21.8.2013 klo 12:28
Joo mokasin. Eihän pakittaminen edellisen taakse ollut sallittua.
38. Olavi Kivalo22.8.2013 klo 10:02
Laskin tämän jonon 1000 ensimmäistä termiä. Sen 643 ensimmäistä termiä ovat lukujen 1...643 permutatio. Voi hyvin odottaa, että koko jono on kaikkien luonnollisten lukujen permutaatio.On helppo osoittaa, että on alkulukuja>13, jotka eivät muodostu tästä jonosta. Esim. 17 on sellainen. Voi tietysti kysyä, mikä on niiden alkulukujen jono, jotka eivät muodostu tästä jonosta, mutta sillä ei liene kiinnostavuutta.
39. Jaska23.8.2013 klo 12:59
Välähti mieleen yksinkertaisuudessaan melkeinpä pelottava aatos. Täytyy lähteä lenkille pohtimaan, johtaako se mihinkään.
40. Olavi Kivalo25.8.2013 klo 09:31
Seuraava jono nousee varsin suoraviivaisesti alkulukujen erotusten jonosta. Mikähän lainalaisuus niitä yhdistää?1, 3, 5, 7, 7, 9, 13, 13, 13, 15, 15, 19, 19, 19, 19, 19, 21, 21, 27, 29, 31, ...
Tätä ei löydä (ihan vielä) OEIS:stä.
41. Olavi Kivalo26.8.2013 klo 09:54
Tämän kanssa olisi pitänyt olla nopea, koska nyt kun se on OEIS:ssä kuvaus on luettavissa sieltä (A228543). Editorit toimivat siellä hämmästyttävän ripeästi.Lyhyesti, jono a(n) muodostuu niistä vierekkäisten alkulukujen p(1)...p(k(n)) erotusten keskiarvoista, jotka ovat kokonaislukuja.
42. Jaska26.8.2013 klo 11:51
Vai olisi pitänyt olla lyhyesti nopea:)Toisin sanoen jono käsittää kokonaislukuosamäärät jaosta (p-2)/(pj-1): 1/1 = 1, 27/9 = 3, 575/105 = 5, 651/93 = 7, 707/101 = 7 jne.
Tämä todennäköisesti tietokoneella laskettu jono oli tietysti manuaalisesti operoivalle ylivoimainen hoksattava. Mielenkiintoinen se toki on. Jono on kaiketi ääretön, ovatko myös peräkkäisten lukujen sarjat, ja kasvaako niiden pituus äärettömärti?
43. Olavi Kivalo26.8.2013 klo 19:16
Tämän jonon kiinnostavuus perustuu paljolti siihen, ettei siihen ole helppo lisätä termejä enää tuon 31:n jälkeen. Näinollen se kuinka jono käyttäytyy jatkossa, kuten ilmaantuuko lisää tautologisia pätkiä, on ainakin tällä hetkellä hämärän peitossa. Nuo osamäärät menevät seuraavasti:
1/1=1, 27/9=3, 335/67=5, 3059/437=7, 3087/441=7, jne.
Sekä osoittaja että nimittäjä kasvavat.
Ajattelin, että ainakin tuohon saakka pärjää aika primitiivisillä välineillä ja että lainalaisuus olisi siitä jo nähtävissä.
44. Jaska26.8.2013 klo 22:39
Hemmetti, tuli tupeksittua urakalla. Yksi jako ja kaksi ynnäystä pieleen, oikean vitosen törkeästi ohittaen. Puolustus lyhyesti ja nopeasti toimiminen suosituksen mukaan ei tuota armahdusta, arvosana i.
45. Olavi Kivalo27.8.2013 klo 08:21
Itse asiassa a(n):n lainalaisuus pilkottaa jo 10 ensimmäisen alkuluvun jälkeen:1, 3/2, 5/3, 9/4, 11/5, 5/2, 17/7, 21/8, 3, 29/10, ...
Laskennallisena apuna on Jaskankin käyttämä kaava erotusten keskiarvolle (p-2)/(pj-1), jossa p on alkuluku ja pj on monesko. Jaskalle a niinkuin armahdus hyvästä yrityksestä.
46. Olavi Kivalo30.8.2013 klo 21:00
Klassinen:Kuinka jatkuu
91, 128, 172, 227, 300, 401, 543, 742, ...
47. Jaska30.8.2013 klo 21:28
1017
48. Olavi Kivalo30.8.2013 klo 23:46
Kyllä. Tämä jono ei ole OEIS:ssä, koska sen ei kuulukaan olla siellä. Se on lineaarin homogeenisen 5. asteen differenssiyhtälön numeerinen ratkaisu annetuilla reunaehdoilla, eikä sillä ole yleistä kiinnostavuutta. Mutta kelpaa kevyeksi välipalaksi.
49. Wexi30.8.2013 klo 23:49
Pienenä kevennyksenä: Eipähän noilla millään ole yleistä kiinnostavuutta. Asianharrastajien kesken kiinnostavuutta tietenkin piisaa...
50. Olavi Kivalo31.8.2013 klo 08:32
Ilmaisu "yleinen kiinnostavuus" on vain suora suomennos OEIS:n sivustolta "If your sequence is of general interest, please submit it".
51. Jaska31.8.2013 klo 11:29
Seuraavan arvioin joko erittäin helpoksi (arvattavaksi) tai erittäin vaikeaksi:1, 1, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 19, 19, 10, 10, 19, 10, 10, 19, 10, 10, 19, 10, 19, 19, 10, 19, 10, 10, 19, 19, 19, 19, 19, 10, 19, 19, ?
52. Olavi Kivalo31.8.2013 klo 22:36
Tämä on erään yksitoikkoisen kolmen sävelen valssin melodia, joka alkaa nousutahdilla. Jono jatkuu joko toistaen itseään tai jollain muulla tavalla. Soitin sen pianolla yhdellä sormella. Ei ole hääppöinen.
53. Antti1.9.2013 klo 08:17
0, -2, -3, -4, 5, 6, 21, 24, 45, 90, ?
54. Jaska1.9.2013 klo 16:41
Toisin kuin omassani Antin jono ei tarjoa mahdollisuutta edes loogiseen arvaukseen jatkosta, päättelystä puhumattakaan. Luovutin puolen tunnin pähkäilyn jälkeen.Jononi seuraava numero on 28. Olisi pitänyt mainita, että seuraava luku on ennen esiintymätön, jolloin siihen saakka esiintyneiden lukujen 1, 10 ja 19 erotus 9 olisi helpottanut arvausta.
Kyseessä on osajono seuraavasta:
1, 3, 6, 1, 6, 3, 10, 9, 9, 10, 12, 15, 10, 6, 3, 10, 9, 9, 10, 3, 6, 10, 15, 3, 10, 9, 18, 10, 12, 15, 19, 15, 12, 19, 9, 18, 10...
Tästä on alkuperäiseen jonoon poimittu luvut, jotka eivät ole kolmella jaollisia. Alku antanee osviittaa jonon ideasta.
55. Antti2.9.2013 klo 10:20
Jaskan huomautuksen johdosta helpotan asetelmaa jakamalla jonon i:nen jäsenen i:lä:0, -1, -1, -1, 1, 1, 3, 3, 5, 9, 9, 13, ?
56. Jaska2.9.2013 klo 11:55
Merkittävä helpotus, jota en huomannut kokeilla ennen luovutusta. Olenhan tätä kikkaa käyttänyt itsekin. Jono jatkuu siis 99, 156, 195, 210, 255, 336...
57. Antti2.9.2013 klo 12:04
Oikein, Jaska. Eihän asetelmani ihan mahdoton ollutkaan.
58. Matias-Myyrä2.9.2013 klo 12:59
Miten tämä jatkuu?45458555559898555955555559559855599548945858859545
59. Jaska2.9.2013 klo 14:00
Äkkiseltään vaikuttaa irrationaaliselta.
60. Antti2.9.2013 klo 19:12
Matias-Myyrä, teetkö numerojonosta lukujonon?
61. Matias-Myyrä2.9.2013 klo 19:33
Muistaakseni kaikki tässä ketjussa aikaisemmin olleet tehtävät eivät ole olleet puhtaasti lukujonoja. Jos numerojonotehtävä ei tähän ketjuun kelpaa, niin unohtakaa koko edellinen viestini.
62. Antti2.9.2013 klo 19:40
Kelpaa puolestani. Pyysin vain helpotusta.
63. Matias-Myyrä2.9.2013 klo 19:44
Itseasiassa lopputuloksen kannalta ei ole mitään merkitystä esittääkö sen alkuperäisessä vai tässä muodossa:4, 5, 4, 5, 8, 5, 5, 5, 5, 5, 9, 8, 9, 8, 5, 5, 5, 9, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 9, 5, 5, 9, 8, 5, 5, 5, 9, 9, 5, 4, 8, 9, 4, 5, 8, 5, 8, 8, 5, 9, 5, 4, 5
64. Matias-Myyrä2.9.2013 klo 19:52
Voisin vielä mainita vihjeenä, että tämän ratkaisemiseen ei tarvita laskutikkuja, laskimia, tai matematiikan taulukkokirjoja. Kyseessä on enemmänkin oivallustehtävä.
65. Matias-Myyrä2.9.2013 klo 20:28
Otin jonosta noin monta numeroa alkupäästä siksi, että hoksaisitte jonossa olevan vain tiettyjä numeroita. Se, miksi muita numeroita ei esiinny on tehtävän kannalta hyvin olennaista.
66. Jaska3.9.2013 klo 11:20
Joten jatkuu 59558...
67. Matias-Myyrä3.9.2013 klo 16:42
Joo, noinhan se jatkuu. Jos joku toinenkin haluaa todistaa keksineensä numerojonon arvoituksen, kertokoon 5 seuraavaa numeroa.
68. Olavi Kivalo4.9.2013 klo 19:04
Kuinka e löytyy Pascalin kolmiosta?
69. Tiio4.9.2013 klo 19:09
Tuo Matiaksen jonon alku muistuttaa minun koulutotistusta, mutta kasi tyrmää sen ajatuksen.
70. Jaska4.9.2013 klo 22:20
Olavi Kivalon kysymykseen eräs oikea vastaus on huipulta alaspäin räknäilemällä, mutta se tuskin no OK:n tarkoittama.
71. Olavi Kivalo4.9.2013 klo 22:54
Tarkoitin juuri tuota. Pitäisi vain keksiä räknyy.
72. Jukkis4.9.2013 klo 23:10
"Kuinka e löytyy Pascalin kolmiosta?"Aika hankalasti. Pitää tehdä kolme tolkutonta kertolaskua ja sitten pari kertolaskua lisää ja sitten vielä jakolasku jotta pääsee edes jotenkuten lähelle e:tä, mutta ei sitä e:tä ihan silloinkaan löydy. Sitä lähemmäksi pääsee mitä tolkuttomampia laskuja viitsii laskea.
73. Tiio5.9.2013 klo 07:25
Neperin luku Pascalin kolmiosta. Tehään summa:Ensimmäinen termi on ylimmän rivin ykkönen.
Toinen termi on 1/(ylimmän rivin ykkönen)
Kolmas termi on 1/(ylimmän rivin ykkönen * toisen rivin toiseksi reunimmainen eli kakkonen).
Neljäs termi on 1/(ylimmän rivin ykkönen * toisen rivin toiseksi reunimmainen eli kakkonen * kolmannen rivin toiseksi reunimmainen termi eli kolmonen).
Aina seuraavaksi termiksi edellinen lisättynä jakajassa olevan tulon tekijäksi rivin toiseksi reunimmainen luku. Näin menetellen summaa jatketaan niin kauan kuin kolmiossa rivejä riittää ja nehän eivät lopu ihan heti.
"Rivin toiseksi reunimmaisen luvun" sijasta voi käyttää myös rivin järjestysnumeroa tuloon kirjoitettavana lukuna.
Ei se Olavi tietysti tätä tarkoita, vaan jotain paljon hienompaa, mutta näin se saadaan.
74. Olavi Kivalo5.9.2013 klo 09:24
Muodostetaan lukujono edellä esitetyn mukaisesti riveittäin binomikertoimien tulona:1, 1*1, 1*2*1, 1*3*1, 1*4*6*4*1, ...
ja muodostetaan yleinen termi a(n), n=0,1,2,3, ...
Osoitetaan, että lausekkeen a(n)*a(n+2)/a(n+1)^2 raja-arvo on e, kun n lähestyy ääretöntä.
75. Jaska5.9.2013 klo 11:32
Miten 1.9. 16:41 jono 1, 3, 6, 1, 6, 3, 10, 9... saadaan Pascalin kolmiosta?
76. Jukkis5.9.2013 klo 12:49
Tuohon Olavi Kivalon klo 09:24 (jossa on painovirhe, pitää tietysti olla 1*3*3*1)Juuri tuota tarkoitin. Esimerkki tolkuttomista kertolaskuista:
a(99) = 1.1930*10^2032
a(100) = 1.2783*10^2074
a(101) = 3.7047*10^2116
Joista e:n likiarvoksi 2.7048.
Tarkka arvohan on 2.7183...
77. Olavi Kivalo5.9.2013 klo 14:53
Tolkuttomuus viittaa probleeman numeeriseen ratkaisuun. Sillä on myös aivan tolkullinen analyyttinen ratkaisu.
78. Jukkis5.9.2013 klo 21:49
Jep, näköjään sieventyy muotoonlim[(1+1/n)^n], n -> ääretön
Joka tosiaan = e.
Että siellä se e luuraa täydellisen eli äärettömän ison Pascalin kolmion alarivin tuntumassa.
Ja kyllähän tuo Tiionkin esittämä tietysti paikkansa pitää. Sopivasti kun tolleen poimii numerot, niin saa aikaan eksponenttifunktion Taylorin kehitelmän argumentilla 1. Joka = e.
79. Jaska22.9.2013 klo 11:43
Näkyy vain huopatossuja tuotetun reissussa ollessani. Rikottakoon hiljaisuus Jascal-tehtävän ratkaisulla: kolmannen viistorivin lukujen numeroiden summat, joista siis alkuperäiseen jonoon poimittu muut kuin kolmella jaolliset.
80. Antti30.9.2013 klo 16:02
1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, ?
81. Jaska30.9.2013 klo 17:35
Pehmis, jos jatkuu 945, 3830, muuten mulle aukeamaton kovis.
82. Antti30.9.2013 klo 19:29
Hyvä, Jaska.Entä seuraava?
5, 6, 21, 8, 45, 30, 77, 24, 117, ?
83. Antti30.9.2013 klo 19:34
Anteeksi, Jaska, pitää olla 3840, ei 3830.
84. Jaska30.9.2013 klo 21:28
Pahus, lyöntivirhe. Lyön itseäni virheettömästi ohimolohkoon. Uusi näyttääkin paljon vaikeammalta, mikä oli odotettavissa.
85. Antti2.10.2013 klo 14:00
Ratkaisu: a(j) = PIENIN.YHT.JAETTAVA(j,j+4)
86. Jaska2.10.2013 klo 22:57
Siis p.y.j. (j, j+4). Yksinkertaista nyt kun sen tietää. Alkutekijät noteerasin, mutta +4 jäi huomaamatta. Olisi vain pitänyt sitkeästi kokeilla. Lisävaikeus piili siinä, että parillisten jono oli "tolkuton" verrattuna parittomiin, jonka erotukset kasvavat aritmeettisessa sarjassa.En tullut ajatelleeksi, että parillisten jonoja voisikin olla kaksi, kyseessä siis kolmen kolmen jonon yhdelmä ratkaisua erotustekniikalla yritettäessä. Triplajonon oivaltaminen olisi kohtuuden nimessä edellyttänyt lisätermejä toisen mokoman. Antti ei puolestaan liene tullut tällaista helpotusta ajatelleeksi mielestäni turhan kiireisen (2 vrk) ratkaisun julkistamisen sijaan.
87. Antti3.10.2013 klo 08:49
Seuraavassa päätän olla ratkaisun julkistamisessa kiireetön:2, 5, 2, 1, 2, 1, 10, 1, 2, ?
88. Olavi Kivalo3.10.2013 klo 09:26
Tämä lienee näitä suurin-yhteinen-tekijä-jonoja, joissa jatko ja jaksollisuus riippuu mitä lukuja verrataan.Esim. (4,5,6,7,8,....) ja 10 antavat
2, 5, 2, 1, 2, 1, 10, 1, 2, 1, 2, 5, 2, 1, 2, 1, 10, 1, 2, 1, ...
89. Antti3.10.2013 klo 12:35
Hyvä, Olavi. Rakensin jonon seuraavasti:a(j) = suurin.yht.tekijä(j+3;j^2+1)
90. Jaska6.10.2013 klo 17:34
4, 16, 30, 70, 72, 84, 105, 150, 180, 220, 240, ?
91. Jaska6.10.2013 klo 17:46
Hupsista taas. 27 putosi 16:n ja 30:n välistä.
92. Jaska6.10.2013 klo 18:19
Lanseerasin näämmä keskeneräisen tuotteen, myös 60 puuttuu. Näistä kuitenkin selvinnee, mistä on kyse.
93. Jaska8.10.2013 klo 18:30
Esim. 256, 3000, 19683, 65536, 500000, 4294967296 kuuluvat jonoon.
94. Olavi Kivalo10.10.2013 klo 11:54
Ja 231 lienee pudonnut 220:n ja 240:n välistä.
95. Jaska10.10.2013 klo 12:19
Näin pääsi ei-yllättäen käymään. 231 siis = 3*7*11.
96. Olavi Kivalo11.10.2013 klo 19:21
1, 7, 28, 61, 144, 233, 396, 517, 724, 1061, 1366, ...?
97. Olavi Kivalo11.10.2013 klo 19:29
Alkuluvuilla leikkiminen on loputonta. Moni on OEIS:ssa. Edellinen ei.
98. Olavi Kivalo12.10.2013 klo 18:52
Hassua. Esitin tämän jonon lukujonofanaatikkojen keskustelupalstalla lähinnä kritisoidakseni, että tämän kaltaisia ei tulisi julkaista OEIS:ssa, koska niitä voi luoda loputtomiin. Mitä vastasi Neil Sloane, OEIS:n luoja. Interesting! Please submit it!Eli siitä vaan ratkomaan. Se on tieteellisestikin kiinnostava!
99. Olavi Kivalo13.10.2013 klo 08:46
Ei näytä ottavan tuulta tämä pikku tehtävä. Jono (olkoon a) muodostuu kahdesta osajonosta b ja c. Sen termit ovat simppeli kombinaatio osajonojen termeistä a(n) = f(b(n),c(n)). Toinen osajonoista, c, on yksinkertaisesti kaikkien alkulukujen p(n) jono eli c=p. Toinen, b, on tiettyjen alkulukujen jono.
100. Jaska13.10.2013 klo 12:45
Eihän purjekaan voi ottaa tuulta, jos on tyyntä. OK siihen nyt hentoisesti puhalsi saadakseen paatin liikkeelle. Joka hieman nytkähti, mutta ei varsinaisesti matkaan lähtenyt. Kombinaatioiden täytyy siis sisältää reduseerausta ja/tai divideerausta, koska eka termi on 1. Tästä onkin hyvä jatkaa:-§
101. Olavi Kivalo14.10.2013 klo 10:35
Kyllä. Kombinaatio on mahdollisimman simppeli. Nyt c on jo annettu ja a osittain, joten b:n löytämisen ei pitäisi olla kovin vaikeaa.
102. Olavi Kivalo14.10.2013 klo 23:00
a = n*p(g(n)) - p(n)Nyt ei tarvitse enää kuin löytää g.
103. Olavi Kivalo15.10.2013 klo 20:25
Loput löytyy nyt OEIS:stä, jos kiinnostaa.A230285
104. Matti16.10.2013 klo 00:39
Haku PSSP tuo osin mielenkiintoisiakin osumia.
105. Jukkis16.10.2013 klo 07:59
No välillä joku kiinnostavakin pähkinä täällä. Nimittäin tuo Matin viesti. Mitä ihmettä se tarkoittaa ja mihin se liittyy? "Haku PSSP"? Philippine Society of Safety Practitioners
Prostitutes' Safe Sex Project
Penicillin Susceptible Streptococcus Pneumoniae
Jne.
Jännittävää.
106. Olavi Kivalo16.10.2013 klo 08:39
Minusta PSSP on kiinnostavuudessaan ja jännittävydessään ihan toisesta maailmasta kuin OEIS. Muutama linkki tai viittaus siihen oikeaan PSSP:hen (joka oli aikanaan suojattu tavaramerkki) löytyy myös RANSDEUX:sta.
107. Jukkis16.10.2013 klo 09:06
Niin että mikä tämä PSSP siis on?
108. Olavi Kivalo16.10.2013 klo 10:01
Asiaan.Olkoon kokonaisluku n.
a(n) on pienin kokonaisluku k>0 niin, että joukon 1...k ainakin jonkun osajoukon lukujen summa on jaollinen n:llä.
Esim.
n=1 -> k=1
n=2 -> k=2
n=3 -> k=1+2=3 -> k=2
n=4 -> k=1+3=4 -> k=3
n=5 -> k=2+3 ja 1+4 -> k=3
a = 1, 2, 2, 3, 3, ...?
109. Antti16.10.2013 klo 10:23
a(6)=3, a(7)=4, a(8)=4, a(9)=4, a(10) = ... = a(15) =5
a(16)=6, ...
110. Olavi Kivalo16.10.2013 klo 10:34
Löytyisikö lauseketta termille a(n)? En ole kokeillut.
111. Jaska16.10.2013 klo 10:57
Haku ransdeux tuotti neljä osumaa. Ontoloogikko OK:n mukaan PSSP = purpose, structure, state, performance. Somasti sattuu PSSP olemaan olevaisuudessa myös palindromi.
112. Jaska16.10.2013 klo 10:57
Haku oli siis ransdeux pssp
113. Jaska16.10.2013 klo 12:02
Yleislauseke tuntuisi olevan kovasti mahdollinen. Ainakin k:n laskeminen mille tahansa luvulle näyttää yksinkertaisehkolta, jos olen oikein ymmärtänyt. Tai sitten en ole.
114. Jaska16.10.2013 klo 22:09
Seuraavassa muuan peräkkäisjono, jonka pSsp lienee pääteltävissä:) Minua vaivaa tässä toistaiseksi kaksi tiettyä peräkkäistä termiä. Ovat ikään kuin muukalaisia tässä joukossa. Niinpä jatkan ehtiessäni jonoa päästäkseni vaivasta eroon. Huomannet, mitä ne ovat. Muita mahd. huomioita?
1, 7, 11, 5, 23, 11, 35, 17, 43, 59, 59, 35, 83, 41, 91, 103, 119, 119, 65, 143, 143, 77, 163, 77, 95, 203, 101, ?
115. Jaska21.10.2013 klo 11:57
Jakojäännöksistä siis kyse, mikä lienee ollut helposti arvattavissa tässä peräkkäisten alkulukuparien tehtävässä. Ekaa lukuunottamatta ne ovat muotoa 6n+1 tai sitä jonon alkupäässä taajemmin esiintyvä 6n-1. Jatkossa löytyivät myös "kaksoset" 299 ja 1199. Näyttäisi siis liittyvän +1 jaollisuuteen 30:lla: 60, 120, 300, 1200.
116. Antti24.10.2013 klo 20:17
1, 6, 24, 16, 25, 36, 336, 504, 81, 100, 121, ?
117. Jukkis25.10.2013 klo 11:02
Jonkinlaisella säännöllä tuon saa jatkettua että... 1716, 2184, 196, 225, 256, 4896, ....
Tokkopa tuo kuitenkaan on haettu?
118. Jaska25.10.2013 klo 12:21
Minä uskon, että Jukkiksen ratkaisu on Antin tarkoittama. Ei siihen muuten tolkkua saa.1*2*3 = 6, 2*3*4 = 24, 6*7*8 = 336, 7*8*9 = 504, 11*12*13 = 1716, 12*13*14 = 4896, 16*17*18 = 4896, 17*18*19 = 5184...
Siis jos välineliöitä on jatkossakin kolme peräkkäistä. Muutenko vain, vai johonkin jostakin johdettavaan ideaan perustuen?
119. Jaska25.10.2013 klo 12:28
Äh, korjaan. 12*13*14 = 2184.
120. Antti25.10.2013 klo 13:32
Oikeita tuloksia!Kaavani on
a(j) = jos(jakoj(j^2;5)=4;j^3-j;j^2).
121. Antti5.11.2013 klo 00:53
9, 2, 1, 12, 1, 2, 3, 8, 1, 18, 1, 4, 3, 2, ?
122. Antti6.11.2013 klo 13:28
Vihje; a(j) = suurin.yht.tekijä(b(j);c(j))
123. Antti8.11.2013 klo 06:22
Vihjeen jatkoa: c(j)=j^2+8
124. Jaska8.11.2013 klo 11:45
Vihjeen jatko = ratkaisu. Jatkuu 1, koska 233 on alkuluku. +8 ilmeisesti mielivaltainen valinta, jonka ekan vihjeen jälkeen saattoi tietysti löytää kokeilemalla. Jos siis intoa piisasi.
125. Antti8.11.2013 klo 15:04
1 on tosiaan ratkaisu.Ja b(j) = j+8.
126. Jaska9.11.2013 klo 12:14
3, 5, 19, 13, 43, 103, 67, 113, 137, 173,?Rinnakkaisjono?
127. Olavi Kivalo9.11.2013 klo 19:24
Seuraava sopii käsin pyöriteltäväksi.Konstruoi lukujono aloittamalla termistä a(1)=0. Jokainen seuraava termi on toiseksi pienin sellainen luku, joka ei vielä esiinny jonossa ja jonka numerot muodostavat palindromin edellisen termin numeroiden kanssa.
Opastusta alkuun: Pienin luku, jonka numerot muodostavat palindromin 0:n kanssa on 11 -> 101. Toiseksi pienin sellainen on kai 22 -> 202, joten a(2)=22.
Kuinka jono a = 0, 22, ... jatkuu? Mikä on ensimmäinen termi, jossa esiintyy numero 3?
128. Olavi Kivalo9.11.2013 klo 22:31
Pienin luku, jonka numerot muodostavat palindromin luvun 22 numeroiden kanssa on 0 -> 202. Toiseksi pienin sellainen on 1 -> 212, joten a(3)=1.Pienin luku, jonka numerot muodostavat palindromin 1:n kanssa on 1 -> 11. Toiseksi pienin sellainen on 10 -> 101, joten a(3)=10.
Lukujono on nyt a = 0, 22, 1, 10, ...
129. Jaska10.11.2013 klo 00:11
Jos nyt oikea on ymmärrys yön sitä hämärtäessä, niin vastaus kysymykseen on: ei mikään.
130. Olavi Kivalo10.11.2013 klo 00:25
Höh, kun laskin illan hämärtäessä, niin sain a(17)=13.
131. Olavi Kivalo10.11.2013 klo 11:58
Nyt päivän hieman valjetessa sain a(13)=23. Koskahan nelonen ilmaantuu.
132. Jaska10.11.2013 klo 12:34
Joo, olin yössä. Mutta nyt se on mielestäni a(12)=3:0, 22, 1, 10, 122, 21, 2, 12, 211, 112, 11, 131.
133. Olavi Kivalo10.11.2013 klo 12:53
Minulla on a(5)=100.
134. Jaska10.11.2013 klo 13:23
No niin, sekoilu jatkui myös päivähämärässä. Minulta putosi 111 välistä 10-122, ja laskin vain mekaanisesti kahteentoista. Tulokseni oli siis a(13) = 3.a(5) = 100 ei mene jakeluun.
135. Jaska10.11.2013 klo 13:32
Ai juu, palindromim pitikin olla summa 1+100 = 101. Sattumoisin väärä laskentani tuotti oikean a(13).
136. Jaska10.11.2013 klo 22:56
Nyt en taas käsitä yhtään edellistä korjaustani. Uusiksi. Ensinnäkin 10 on a(4) eikä a(3) niin kuin OK:lta lipsahti. a(5) syntyy yhdistettäessä 10 toiseksi pienimmän sen kanssa palindromin muodostavan luvun kanssa. Pienin on 1 -> 101. Toiseksi pienin ei voi olla OK:n esittämä 100, koska 10 ei muodosta sen kanssa palindromia. Paitsi tietysti siinä tapauksessa, että luvun numeromerkit 1 ja 0 saadaan sijoittaa vapaassa järjestyksessä: 10001. Tätä OK ei kuitenkaan maininnut.
137. Olavi Kivalo10.11.2013 klo 23:59
Kun käsitellään pelkästään lukuja, numerot ovat 0,1,2,...,9, eikä ole tarpeen käyttää termiä numeromerkki erotuksena esim kirjainmerkeistä. Luku on siis numerojono. Esim. luku 121 on numerojono, jossa esiintyvät numerot 1,2 ja 1 tuossa järjestyksessä.Kun luvut 121 ja 2 asetetaan peräkkäin, siitä ei synny palindromia. Sensijaan näiden lukujen numerot 1,2,1 ja 2 asetettuna sopivaan järjestykseen muodostavat palindromit 1221 ja 2112.
138. Jaska11.11.2013 klo 00:05
Selvä kiitos. Onhan se tarpeeksi haastava näinkin.
139. Olavi Kivalo11.11.2013 klo 08:11
Tämä tehtävä ei ole laskennallisesti vaikea, mutta muuten hyvää ja hauskaa treeniä. Sen oikean palindromin valinnassa tulee helposti virheitä. Olen korjaillut omaani jo moneen kertaan. En ole halunnut pilata iloa ainakaan vielä vääntämällä koodia sitä varten.Tällä hetkellä (mahdollisesti virheellinen) versioni on seuraava:
a = 0, 22, 1, 10, 100, 11, 2, 12, 21, 102, 20, 112, 23, 3, ...
Eipä löydy OEIS:sta.
140. Jukkis11.11.2013 klo 15:39
Tuotapa. Eihän 22:n jälkeen voi tulla 1, koska sehän ei ole mahdollisista jatkoista "toiseksi pienin sellainen luku, joka ei vielä esiinny jonossa", vaan pienin sellainen luku. Toiseksi pienin on 2.
141. Jukkis11.11.2013 klo 17:06
Ehdotus:0, 22, 2, 12, 21, 102, 20, 121, 33, 3, 13, 31, 103, 30, 131, 44, 4, 14, 41, 104, ...
Voi mennä väärin. Helposti kyllä aivo nyrjähtää, kun tuota miettii.
142. Jukkis11.11.2013 klo 17:39
Pieleen meni. Uusi yritys:0, 22, 2, 12, 21, 102, 20, 112, 23, 32, 123, 31, 3, 13, ...
143. Jaska11.11.2013 klo 17:56
Nollahan se pienin tässä jonossa on (202), joten 1 on toiseksi pienin (212).
144. Jaska11.11.2013 klo 18:00
Peruutan äskeisen, OK:n sanamuoto on tosiaan harhaanjohtava.
145. Jaska11.11.2013 klo 18:42
Mielestäni selvempi sanamuoto OK:n jonolle:Ensimmäisen termin 0 jälkeen jokainen termi on toiseksi pienin niistä luvuista, joiden numeroista voi muodostaa edellisen termin numeroiden kanssa palindromin. Jokainen termi esiintyy jonossa vain kerran.
146. Jukkis11.11.2013 klo 18:50
No eihän se nyt noin voi olla. Eihän sitä toiseksi pienintä voi käyttää jos se on jo jonossa, joten sääntöä ei voi noudattaa.Ensimmäisen termin 0 jälkeen jokainen termi on toiseksi pienin niistä luvuista, joiden numeroista voi muodostaa edellisen termin numeroiden kanssa palindromin ja jotka eivät vielä esiinny jonossa.
147. Jaska11.11.2013 klo 19:14
No se "jokainen termi esiintyy vain kerran" tarkoitti samaa, mutta jättipähän korjaamisen varaa.
148. Olavi Kivalo11.11.2013 klo 20:00
Oma ajatukseni meni näin. Pienin luku, joka muodostaa palindromin 22:n kanssa, on 0 (-> 202). Nyt on löydettävä pienin sellainen 0:a suurempi luku, joka myös muodostaa palindromin 22:n kanssa mutta joka ei jo esiinny etsityssä jonossa. Se lienee 1 (-> 212). Tämä luku, siis 1, on se, josta käytän nimitystä toiseksi pienin. Tuo rajoite, että jonoon hyväksyttävä luku ei jo esiintyisi jonossa eli että jono koostuisi vain erilaisista luvuista, koskee siis vain tätä 'toiseksi pienintä'. Sen sijaan 'pienin' on pienin kaikista luvuista.
149. Jukkis11.11.2013 klo 20:23
Eihän tuohon "toiseksi pienin" -vaatimukseen noin saa mitään tolkkua. Jonossaa = 0, 22, 1, 10, 100, 11, 2, 12, 21, 102, 20, 112, 23, 3, ...
100:n jälkeen oleva 11 on kolmanneksi pienin kaikista mahdollisista (1, 10, 11, ...) ja pienin niistä, jotka eivät vielä ole jonossa. Se ei millään tavalla ole "toiseksi pienin". Sama jutta 11:n perässä oleva 2:n kanssa.
Jää hämäräksi se, miksi tuo määrite "toiseksi pienin" edes piti ollenkaan tähän mukaan ympätä, jos kerta tarkoitus ei ole toiseksi pienintä ottaa.
150. Olavi Kivalo11.11.2013 klo 20:52
Nythän voimme määritellä aivan uuden jonon jukkiksen tykkäämän logiikan mukaan. Sehän on ihan siisti jono. Laskin nuo ensimmäiset termit 32:een saakka ja sain saman. Eikä löydy OEIS:sta.
151. Olavi Kivalo11.11.2013 klo 21:04
Itse asiassa näyttää kuin tuo jukkisjono olisi alkuperäisen osajono.
152. Jaska11.11.2013 klo 22:18
0, 11, 1, 12, 2, 20, 101, ?
153. Olavi Kivalo11.11.2013 klo 23:49
Tuo muistuttaa aika paljon jo julkaistua jonoa, jossa palindromi muodostetaan pienimmästä luvusta, joka ei vielä esiinny jonossa0, 11, 1, 10, 100, 12, 2, 20, 101, 22, 3, ...
154. Jaska12.11.2013 klo 11:45
Se se on, tuli vain hätäillyksi kahden luvun yli. Seuraavan pitäisi (!) olla oikein:0, 2, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 16, ?
155. Jaska12.11.2013 klo 12:08
Pitäisi pitäisi, mutta ei ollut. 0, 3, 5, 6, 9 jne
156. Olavi Kivalo12.11.2013 klo 12:52
Ainakin alku näyttää kuin olisi palindromijonosta a(n)=1n1, jossa n=alkuluku.
157. Jaska12.11.2013 klo 13:19
OK:n huomio olisi sitten sivutulos, jos pitää jatkossa. Omani perustuu sääntöön, että palindromeja tuottavan termin pitää olla pienin edellisestä suuremmista luvuista. Sääntö aiheuttaa mielestäni sen, että jonossa esiintyvät vain numerot 0 ja 1.0, 11, 101, 110, 1001, 1010, 1100, 1111, 10000, 10011..
Kun tämän helposti keksittävän voi olettaa myös binäärijärjestelmän jonoksi, vaikeutin ratkaisemista sen muuttamisella kymmenjärjestelmän luvuiksi.
158. Olavi Kivalo12.11.2013 klo 13:46
Siis piti sanomani, että "alku näyttää kuin kysymys olisi jonosta a(n)=1n1, jossa n on sellainen luku, että a(n)=alkuluku".Tarkistus antoi n = 0, 3, 5, 8, 9, 15, 17, 18, 20, 23, 29, 30, ...,
joten tämä taitaa olla muu kuin Jaskan tarkoittama. Ja tämähän löytyykin jo OEIS:sta.
Edellä ainoastaan a(0)...a(9) ovat palindromeja. Myöhemmin löytyy 11311, 11411, 12421, 13331, 14741, 15551, 16061, 16661, 17471, 17971, 18181, 19391, 19891, 19991, ...
Jos siis halutaan etsiä lukuja n, niin että 1n1 on palindrominen alkuluku, saadaan jono (ei OEIS:ssa)
n = 0, 3, 5, 8, 9, 131, 141, 242, 333, 474, 555, 606, 666, 747, 797, 818, 939, 989, 999, ...
159. Olavi Kivalo12.11.2013 klo 14:05
Miksi Jaskan uusimmassa kolmantena terminä ei esiinny 22, vaikka 22>11 ja muodostaa 11:n kanssa palindromin 1221?
160. Jaska12.11.2013 klo 14:38
Siksi että sekoilin em. binäärikikkaani lumoutuneena. Jono ei siis tietenkään päde kummenjärjestelmässä.
161. Jaska12.11.2013 klo 15:19
Osa kokonaisluvuista on palindromilukuja. Mikä on yläraja-arvo?
162. Jaska12.11.2013 klo 15:26
No heps, taas logiikka petti. Alaraja-arvohan se on, koska palindromien suhteellinen osuus pienenee lukujonon kasvaessa suuruusjärjestyksessä (100 prosenttia saakka 9).
163. Olavi Kivalo12.11.2013 klo 15:45
Tuohan on kiinnostava kysymys.
164. Olavi Kivalo12.11.2013 klo 18:32
Kiinnostava kysymys, mutta intuitiivisestikin selvä tulos. Sekä kokonaislukujen, että alkulukujen palindromien osuus menee nollaan, kun lukujen määrä lisääntyy. Tsekkasin laskemalla 10000 ensimmäistä.Ja mitä tulee palindromisten lukujen kokonaismäärään, niin sen täytyy lähestyä ääretöntä. Otetaan mikä tahansa palindromi ja lisätään sen molempiin päihin sama numero - ja jatketaan näin loputtomiin.
Palindromisten alkulukujen kohdalla sama ajatusleikki ei aivan toimi.
165. Antti12.11.2013 klo 22:54
5, 16, 24, 72, 48, 120, 72, 168, 312, ?
166. Jaska13.11.2013 klo 00:14
Ei kai se raja-arvo sentään nollaan laske? Lukujonon pätkissä 1-10, 11-100, 101-1000 jne on palindromeja 9, 9, 90, 90, 900, 900 jneProsenteissa siis 90, 10, 10, 1, 10, 1, 10, 1 jne. Tähän päädyin OK:n päihinjatkamismenetelmällä.
167. Olavi Kivalo13.11.2013 klo 10:18
Kun kysymys on päättymättömästä jonosta, palindromien osuus "menee nollaan" tarkoittaa, että suhteet palindromit/kaikki ja palindromit/alkuluvut lähestyvät asymptoottisesti nollaa. Suhde on kolmen desimaalin tarkkuudella 0, jo kun alkulukujen määrä on 1.000.000 ja ennen kuin luonnollisten lukujen määrä on 100.000.000. Onko tämä Jaskan arvuuttelu vielä jemmassa
3, 5, 19, 13, 43, 103, 67, 113, 137, 173,?
Rinnakkaisjono?
168. Jaska13.11.2013 klo 10:52
Rinnakkaisjonon tai ehkä paremminkin sisarusjonon alkua:5, 7, 31, 29, 23, 53, 103, 191, 47, 59, 311...
Jokin pienin luuraa jossakin...
169. Jaska13.11.2013 klo 23:18
... hyvin lähellä
170. Jaska14.11.2013 klo 11:43
+1/-1
171. Jaska14.11.2013 klo 23:37
Enpä enää ihmettele sisarusten ratkeamattomuutta. Jälkimmäisessä kun on valitettavan törkeä virhe. Pitää olla 5, 7, 11, ei 31. On tää dementia toivotonta. Jonot siis koostuvat niistä alkuluvuista, joista vähennettynä 1 /joihin lisättynä 1 = pienin jaollinen luku, jossa suurin alkutekijä määräytyy peräkkäisten alkulukujen järjestyksen mukaan:
2*2 - 1 = 3, 2*3 - 1 = 5, 4*5 - 1 = 19, 2*7 - 1 = 13 jne.
2*2 + 1 = 5, 2*3 + 1 = 7, 2*5 + 1 = 11, 4*7 + 1 = 29 jne.
Kysymys kuuluu: ovatko jonot äärettömät? Todistus puolesta tai vastaan?
Alkulukujen jono, jonka luvut eivät täytä kumpaakaan ehtoa, on tietysti ääretön.
172. Jaska14.11.2013 klo 23:51
Myös ekassa jonossa vastaava törkeys, ei 113, vaan 2*19 - 1 = 37 on oikea luku. Muut näyttivät stemmaavan.
173. Jukkis15.11.2013 klo 10:20
Tässä nyt saavutettiin näiden pähkinöiden järjettömyydessä ihan uusi taso, siitä onnittelut. Nuo Antin jakojäännös- ja pienin/suurin yhteinen nimittäjä/tekijä -jutut on pientä tämän rinnalla.En siis tarkoita sitä, että lukujono olisi sinänsä järjetön, vaan sitä, että ihan älytöntä on laittaa tuollaisen jonon muodostamisperiaate tänne, tai yhtään mihinkään, arvailtavaksi. Etenkin vielä kun niissä arvailtavissa jonoissa on melkein aina virheitä.
174. Jaska15.11.2013 klo 10:49
Jukkis ei koskaan petä, vaan antaa tulla täydeltä laidalta aina kun aihetta on. Kiitos siitä.Voi olla, että jatkossakin panen tänne virheellisen jonon. Anteeksi jo etukäteen. Lupaan kyllä olla jatkossa äääärrrimmmäisen huolellinen:)
175. Antti15.11.2013 klo 17:11
Kun kysymykseni ovat moitteenalaisia, lienee parasta antaa5, 16, 24, 72, 48, 120, 72, 168, 312, ?
ongelmani ratkaisu ja jättää uusien tehtävien lähettäminen toisten osaksi.
a(j) = [(j+1):s alkuluku]^2 - [j:s alkuluku]^2
Siis a(10) = 31^2 - 29^2 = 120
176. Antti15.11.2013 klo 17:19
Kun kysymykseni ovat moitteenalaisia, annan5, 16, 24, 72, 48, 120, 72, 168, 312, ?
ongelmani ratkaisun
a(j) = {(j+1):s alkuluku}^2 - {j:s alkuluku}^2
a(10) = 31^2 - 29^2 = 120
ja luovun kelpo tehtävien lähettämisyrityksistä.
177. Antti15.11.2013 klo 17:21
[Tulipa vakuuttavasti ilmaistua.]
178. Olavi Kivalo15.11.2013 klo 17:22
Yhden täyslaidallistajan vuoksi ei kannata noin vain luopua. Tämähän on vain hauskaa leikkiä (kuten minulla on tapana sanoa, kun häviän tenniksessä).
179. Wexi15.11.2013 klo 17:43
[Vuosikymmeniä mailapelejä harrastaneena voin sanoa, että tappiollisen tennismatsin jälkeisen kättelyn yhteydessä ylläpidetty hymy vaati(i) melkoisia voimavaroja, ja kasvolihasten hallintaa.Koska tasaperseellään istumisesta aiheutuneet niska- ja hartiavaivat, hermovauriot käsissä ym. (johtivat kaularangan leikkauksiin) vaikeuttivat merkittävästi tennikseen ja sulkikseen tarvittavaa motoriikkaa ja tehoa, oli minulle rakkaat lajit lopetettava kokonaan 2005.
Pidän tuota menetystä yhtenä elämäni suurista tragedioista.]
180. Jaska15.11.2013 klo 18:56
Eihän tuo Antin tehtävä ollut mitenkään arvailujen varaan jättävä, kun ottaa huomioon huomioon hänen usein esiintyneen alkulukuaspektinsa. Jukkiksen suututtaman Antin pikaisen jäähyväisratkaisun ansiosta jää epävarmuus siitä, olisinko hokannut ratkaisun pitempään pohtiessani.Oikeastaan tuo plus/miinus alkuluku jaollisuustutkailuni on kiinnostavampi rajoitettaessa se absoluuttisesti pienimpiin eli puolialkulukuihin 2*p, joiden jonot seuraavat:
2p + 1 = p
4, 6, 10, 22, 46, 58, 82, 106, 166, 178, 226, 262...
2p-1 = p
4, 6, 14, 38, 62, 74, 158, 194, 278, 314, 398, 422...
Peräkkäisiä termejä ynnätessä havaitaan, että kolmannesta eteenpäin alajono karkaa selvään johtoon. Onko ilmiö pysyvä? Lonkalta tuntuu todennäköisemmältä, että tilanne tasoittuu vuoronperään aaltomaisesti. Syntyykö tasapeliä samalla tai eri termimäärällä?
181. Jukkis15.11.2013 klo 18:56
Mutta nyt kun tuo Jaskan jono tuossa on, niin pakko sanoa, että kun monta kertaa olen yrittänyt ymmärtää tuon periaatteen"niistä alkuluvuista, joista vähennettynä 1 /joihin lisättynä 1 = pienin jaollinen luku, jossa suurin alkutekijä määräytyy peräkkäisten alkulukujen järjestyksen mukaan"
niin ei kyllä aukea. Että kyllä tästä sitten ihan pähkinä noin muodostuu.
Joten Jaska: Millä perusteella esim. luku 29 on tuossa jonossa, mutta esim. luku 17 ei ole?
182. Jaska15.11.2013 klo 22:00
Se oli hyvä kysymys, johon valitettavasti joudun vastaamaan: koska muotoilin tehtävän epäselvästi ja harhauttavasti. Jäi mainitsematta oleellinen asia, että alkulukujen jonoissa naapuriluvut ovat sellaisia, joissa peräkkäiset alkuluvut 2, 3, 5, 7, 11... ovat vuorollaan s u u r i n alkutekijä. Siis 4 on pienin jaollinen luku, jonka suurin alkutekijä on 2. Sen molemmat viereiset luvut 5 ja 7 ovat alkulukuja, joten 4 kuuluu molempiin jonoihin. Samoin 2*3 = 6. Muilla alkaen 2*5 = 10 on vain yksi alkulukunaapuri.17 ei kuulu kumpaankaan jonoon, koska 16 ei ole pienin luku, jonka suurin alkutekijä on 2, eikä 18 ole pienin luku, jonka suurin alkutekijä on 3.
183. Jukkis15.11.2013 klo 22:10
Mää en kyllä tajua vieläkään. Ja toivottavasti tuo "joten 4 kuuluu molempiin jonoihin" on joku lapsus, koska jos se on oikein, niin sitten tajuan vielä vähemmän.
184. Jaska15.11.2013 klo 22:18
4 on sekä 3+1 että 5-1. 6 on sekä 5+1 että 7-1. 10 on vain 11-1, koska 9 ei ole alkuluku.
185. Jukkis15.11.2013 klo 22:43
"Jonot siis koostuvat niistä alkuluvuista, joista vähennettynä 1 /joihin lisättynä 1 = pienin jaollinen luku, jossa suurin alkutekijä määräytyy peräkkäisten alkulukujen järjestyksen mukaan".Miten helkutassa 4 voi kuulua jonoon, joka koostuu alkuluvuista?
186. Jaska15.11.2013 klo 23:53
Ei mitenkään. 18:56 toinen kappale. Eiköhän se kuuluvuus siitä valkene. Lepo.
187. Jukkis17.11.2013 klo 14:53
No, sekaannus aiheutui siitä kun Jaska kirjoitti parillisia numeroita sisältävät jonot esittelevän selityksensä tuolla samalla minuutilla kuin minä, ja se Jaskan selitys meni oman ihmettelyni yläpuolelle (jossa ihmettelyssä oleva "tuo Jaskan jono tuossa" ei viittaa siihen ihan yläpuolella olevaan parillisia lukuja sisältävään jonoon (tai siis jonoihin, koska kaksihan niitä siinä on), jota (tai siis joita) en ollut huomannut, vaan aikaisempaan alkulukuja sisältävään), joten siis en sitä (siis viestiä, jossa Jaska esitteli parillisia lukuja sisältävät jonot) tullut huomanneeksi, ja siksi hämäännyin, kun luulin, että Jaska tarjosi alkulukuja sisältävän jonon termiksi lukua 4, josta tietenkin aika lailla hämäännyin, kun en huomannut, että Jaska olikin hämäännyttävästi selittämässä tuolla samalla minuutilla laittamaansa parillista jonoa (jotka esitellyt viesti oli ketjussa siis mennyt oman viestini yläpuolelle, mistä syystä en sitä huomannut), vaikka nimenomaan olin pyytänyt selitystä Jaskan aiemmin laittamaan alkulukuja sisältävään jonoon (tai siis jonoihin, sillä kaksihan niitä on).Nyt luulen ehkä ymmärtäneeni Jaskan kahden alkulukujonon muodostamisperiaatteen.
188. Matti17.11.2013 klo 21:39
Monta asiaa olisin ymmärtänyt, ellei niitä olisi minulle selitetty (Stanisław Jerzy Lec)
189. Jaska17.11.2013 klo 23:52
Helismaakin oli sitten oikeassa selityskiellollaan.
190. Olavi Kivalo18.11.2013 klo 08:17
Olemme (vai olemmeko? tai pitäisikö meidän olla?) matkalla kohti virheet hyväksyvää kulttuuria: Epäonnistumisesta uusi Nokia!, totaalisesta väärinymmärryksestä uuteen ennen julkaisemattomaan lukujonoon.
191. Jukkis18.11.2013 klo 17:57
Mullehan lipsahti tuohon 17.11.2013 klo 14:53 yksi relatiivipronominikongruenssivirhe. Tosi noloa.
192. Olavi Kivalo19.11.2013 klo 11:23
Nuo Jaskan lukujonot on julkaistu OEIS:ssa vuonna 2002 (A077065 ja A077068, "Semiprimes of form prime +/- 1")
193. Olavi Kivalo19.11.2013 klo 11:29
Itse asiassa tuo Antinkin jono on havaittu kiinnostavaksi. Se on julkaistu OEIS:ssa vuonna 2002 (A069482, "Prime(n+1)^2 - prime(n)^2").
194. Jaska19.11.2013 klo 22:13
Seuraava näyttää lattealta, mutta muuttuu mielestäni kiinnostavahkoksi, kun sille tehdään jotain.10, 20, 40, 90, 110, 120, 130, 150, 160, 170, 180, 210, 230, 240, 250, 260, 270, 280, 300...
195. Antti20.11.2013 klo 18:29
Jaska, kaikki ovat ainakin 10:llä jaollisia, mutta jotakin muutakin kuin loppunollan poistaminen on tehtävä.Koska Olavi huomasi jononi muunlaiseksi kuin mahdottomaksi, uskallan kuitenkin esittää pieniä alkulukuja ja pieniä positiivisia kokonaislukuja käyttävän seuraavan jonon.
1, 0, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 16, 20, 24, ?
196. Olavi Kivalo21.11.2013 klo 01:23
Palaan vielä tuohon Jaskan parijonoon. Kummankin jonon termien summat kasvavat mielenkiintoisella tavalla. Summien suhde aivan erityisen mielenkiintoisesti. Tässä on vaikea selittää yksityiskohtaisesti suhteen käyttäytymistä muuten kuin, että se näyttäisi lähestyvän ykköstä, mutta hyvin vastahakoisesti. Alussa miinusjono menee johtoon, kunnes summien suhteessa (plusjono/miinusjono) saavutetaan noin kymmenennen termin jälkeen minimi. Sen jälkeen suhde nousee noin arvosta 0.6 kohtalaisen jyrkästi arvoon noin 0.8, laskee hieman ja alkaa vähän vaappuen nousta hitaasti ja ylittää juuri ja juuri arvon 1 jossain tuhannennen termin paikkeilla. Sitten alkaa laskukausi, joka kestää aina kunnes ollaan termissä 2400, josta alkaa uusi nousu kohti ykköstä.
Laskin 4000 ensimmäistä suhdetta. Tuolloin kasvu jatkuu. Graafisesti tarkastellen suhteen käyttäytymisen extrapolointi on vaikea.
197. Olavi Kivalo21.11.2013 klo 11:30
Yhtä kiinnostavalta näyttää summajonojen vastintermien erotus. Jos merkitään a1 = 4, 6, 14, 38, 62, 74, ...
a2 = 4, 6, 10, 22, 46, 58, ...
niin näiden kumulatiivisten summien s1(i) ja s2(i) muodostamien jonojen erotusjono on seuraavanlainen
s1-s2 = 0, 0, 4, 20, 36, 52, 128, 216, 328, 464, 636, ...
(ei OEIS:ssa)
Se näyttää kasvavan vakuuttavasti, mutta saavuttaakin kohdassa i=425 maksimin 590868 ja alkaa sitten laskea. Kohdassa i=941 se menee ensimmäisen kerran negatiiviseksi s1-s2=-864 ja saavuttaa minimin s1-s2=-47588 kohdassa i=990 ja nousee takaisin positiiviseksi s1-s2=1396 kohdassa i=1032.
Sen jälkeen erotusjono kasvaa kunnes saavuttaa taas selvän maksimin s1-s2=12763068, kun i=3590. Lisää ihmeitä ilmaantuu, kun jono kasvaa. Se aloittaa jossain i:n arvolla 11000 hurjan syöksyn kohti nollaa ja kohdassa i=30000 se on jo saavuttanut arvon s1-s2=-315634472.
198. Jaska21.11.2013 klo 11:49
Eiköhän se arvelemani aaltomaisuus tullut tuossa todistetuksi. Jatkuva ilmiö lienee myös aaltojen korkeuden kasvu.Nollan poisto 19.11. 22:13 jonosta ei ole tarkoittamani toimenpide, jolla päinvastoin tulee lisää nollia. Kun sen jälkeen ynnätään jotain, saadaan osajono jonosta, jonka on pakko olla OEIS:ssäkin.
199. Olavi Kivalo22.11.2013 klo 10:29
Mistä tuo intuitio aaltomaisuudesta ja aaltojen kasvusta nousee?
200. Jaska22.11.2013 klo 11:34
Saman ilmiön olen ollut havaitsevinani kaikkien 6n+1/6n-1 -muotoisten alkulukujen summien erotuksissa.Kun 19.11. jonon lukujen neliöihin lisätään 1, saadaan osajono jonosta n^2+1 = p: 5, 17, 37, 100, 400..., jonka arvelin täytyvän löytyä OEIS:stä.
201. Olavi Kivalo22.11.2013 klo 11:48
Eipä löydy moista.
202. Jaska22.11.2013 klo 11:58
No ei tietenkään löydy. Vaihde lipesi 19.11. jonoon. Siis: 5, 17, 37, 101, 401...
203. Jaska22.11.2013 klo 12:20
Taas tuli kylmä suihku, mutta senhän pitäisi periaatteessa selvittää pää. No nyt: 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 677, 1297, 1601, 2917, 3137...5:n jälkeen jonon kaikkien lukujen viimeinen numero on joko 1 tai 7.
204. Jaska22.11.2013 klo 12:45
jatkuu: 4357, 5477, 7057, 8101, 8837...Olettaa voimme, että numeroon 7 päättyviä on tuplaten enemmän kuin numeroon 1 päättyviä.
205. Olavi Kivalo22.11.2013 klo 16:04
Oh, tarkoitat2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, ...
Siellähän se on: A002496, "Primes of form n^2 + 1".
206. Olavi Kivalo22.11.2013 klo 17:07
Tuplaten on hyvä oletus. Näyttää nimittäin kuin suhde asettuisi värähtelemään arvon 2 lähiympäristössä. Oliskohan tuo todistettavissa?
207. Jaska22.11.2013 klo 17:25
Oh kyllä. Lenkille lähdettyäni ja vedettyäni keuhkoni täyteen marrasharmaata happea tajusin välittömästi, että ykköselläkin on neliö. Ansiokseni luen kuitenkin oikean arvioni jonon OEISpakkolöytyvyydestä.Todistukseen eivät minun evääni riitä, mutta eipä taida muilta löytyä kumoustakaan. 4- ja 6-loppunumeroisten frekvenssi kun on 2*0-loppuisten.
208. Jukkis22.11.2013 klo 17:44
Näissä viimeaikaisissa kiinnostaa se, että mistä sinä Olavi Kivalo sait ne OEIS:n jonojen A077065 ja A077068 4000 termiä? Minä en tuhatta enempää onnistu löytämään netistä. Laitoin Matlabin rouskuttamaan brute force -tyyppisesti. 35 termiä tuli 5 sekunnissa. 8 minuuttia kesti tulla 190 termiä. Jollain eksponentilla tuo aika kasvaa, taitaa 4000 termiin mennä aika kauan. Siis mistä noita saa?
209. Jukkis22.11.2013 klo 18:54
No hupsista. Kun vähän ajatteli lisää, niin noitahan generoi tosta vaan. Nyt putkahti parissa minuutissa semmoiset 56000 kpl. Mitähän noilla tekis?
210. Olavi Kivalo22.11.2013 klo 20:19
Neil teki taas sloanit. Heitin lukujonofanaatikkojen keskusteluryhmään tämän erotusjonons1-s2 = 0, 0, 4, 20, 36, 52, 128, 216, 328, 464, 636, ...
Hän julkaisi sen saman tien (A232221). Tosin esiinnyn referenssinä.
Minulla on huono omatunto, koska Jaskahan tätä pohti ensin.
211. Jukkis22.11.2013 klo 22:29
Laskin hiukka lisää tuota OK:n 21.11.2013 klo 01:23 kuvaamaa. 146501 termiä.Tällainen käppyrä tuli:
_http://aijaa.com/VADMqe
En osaa sanoa, onko tuo jännä.
212. Jaska22.11.2013 klo 22:39
Älä suotta kieriskele tuskissasi, Olavi:D
213. Olavi Kivalo23.11.2013 klo 00:02
Tässä kieriskelyn välissä kommentoin lyhyesti Jukkiksen laskemaa käyrää. En tiedä yksityiskohtaisesti kuinka se on laskettu, mutta sen mukaan näyttää siltä, että suhde s1(i)/s2(i) lähestyisi loppujen lopuksi raja-arvoa vähän päälle 1. Jos se pitää paikkansa, niin siinä on sen käyrän jännyys.OEIS:ssa on julkaistu kokonaislukujen jono s1(i)-s2(i) ja se on muodoltaan vaikeasti ekstrapoloitava. Laskin sen arvoon i=200000 asti. Joku tolkku sillekin käyrälle saattaisi löytyä. Ja se tolkku voisi löytyä juuri tuosta suhteen mahdollisesta raja-arvosta.
214. Olavi Kivalo23.11.2013 klo 12:27
Jukkiksen laskema suhdekäyrä osoittautuu yhtälailla petolliseksi mitä tulee käyrän kulun ennakointiin. Käyrä näyttää stabiloituvan, mutta heti kohta, kun jatketaan siitä mihin Jukkis lopetti ja ylitetään n=150000, se aloittaa jyrkän laskun. Kyllä on jännää.
215. Olavi Kivalo24.11.2013 klo 09:59
Haluan vielä onnitella Jaskaa varhaisesta intuitiivisesta näkemyksestä nyt kun erotuskyrän kulku on herättänyt siinä määrin kiinnostusta, että sille on laskettu 9,5 miljoonaa termiä. Katso kuvat (A232221).
216. Olavi Kivalo26.11.2013 klo 16:09
Vaikea päästä kiinni Jaskan jonoon. 10, 20, 40, 90, 110, 120, 130, 150, 160, 170, 180, ...
Onko se tekemisissä kantaluvun muuntamisen kanssa?
217. Jaska27.11.2013 klo 22:19
Katso 21.11. 16:49. Mainitut lisänollat saadaan neliöistä, lisätään 1, ja näin saatu jono on siis OEIS "-pakkojonon" osajono. 101, 401, 1601 jne.
218. Jaska27.11.2013 klo 23:26
Seuraavassa jonossa on sekä alkulukuja että jaollisia lukuja. Todista, että jaollisten lukujen joukossa ei ole 11:llä jaollisia.2, 7, 23, 47, 119, 167, 287, 359, 527, 839, 959, 1367, 1679, 1847, 2207, 2807...
219. Matti28.11.2013 klo 01:14
Tämä muistuttaa kovasti jonoa y=a*n^3, missä a=0,6836, mutta sen päällä (ja alla) on vielä jotain ripellystä, mitä lienee.
220. Jukkis28.11.2013 klo 08:06
Meinasin ensin että Matti tuossa harrastaa jonkinlaista huumoria, mutta kun laitoin nuo Exceliin, niin tosiaan:aijaa.com/hqUQfh
221. Jaska29.11.2013 klo 00:41
Nähdäkseni ei ole mitään tekemistä desimaaliluvun 0,6836 kanssa.Jono on osajono. Perusjonon rakenne on vielä selvemmin havaittava. Lisätään todistustaakkaa alkuluvuilla 13 ja 19, ja saadaan (minusta) mielenkiintoisen jonon 11, 13, 19 alku. Jatkan sitä, jahka ehdin.
222. Jukkis29.11.2013 klo 10:28
Taas pikkuisen ärsyttää tällainen "Perusjonon rakenne on vielä selvemmin havaittava". Ei ole. Sitten varmaankin on kun tietää jonon muodostamisperiaatteen, ei ennen sitä. Turhaan sitä panttaat, ei sitä kukaan täällä keksi.
223. Jaska29.11.2013 klo 15:11
Perusjono on n^2 - 2 = -1, 2, 7, 14, 23, 34, 47, 62, 79, 98, 119... ja sen yllä oleva osajono p^2 - 2.Väitteeni "perusjonon rakenne on vielä selvemmin havaittavissa" tueksi esitän: Perusjonon eka termi on -1, joten siitä voisi päätellä vähennyslaskun kuuluvan jonon lukujen muodostamiseen. Vielä voisi päätellä, että jono saattaa alkaa mnien muiden tapaan luvusta 1, jolloin vähentäjä on 2. Sen jälkeen voisi kokeilla, mikä on jonon seuraavien lukujen + 2 summa, jolloin neliöt havaitaan.
224. Jaska29.11.2013 klo 22:19
29, 37 seuraavat tekijöiden "laistojonossa." Aika hidasta hommaa, täytyy yrittää kekata oikopolku.
225. Matti2.12.2013 klo 01:33
Jaskan jonosta antamani kolmospotenssin kasvuvauhti tarkoittaisi, että s(n), n:s alkuluku, olisi asymptoottisesti n^1,5. Tämä ei ole totta, sillä oikeasti se on nlogn. Jos nyt Wikipediaa oikein luin. Suurin tunnettu alkuluku nykyisin on luokkaa 10^17 000 000. Ei muuten, mutta kun luemma maailmankaikkeuden atomien määrä on 10^80.
226. Jaska2.12.2013 klo 11:59
Matti, en ymmärrä mainitsemasi Wikipedian tiedon yhtymäkohtaa jonooni 29.11. 15:11. Eihän siinä ole kaikkia alkulukuja.Tarkasteluni kohteena ovat siis neliöiden suhteet alkulukuihin tässä yksittäistapauksessa n^2 - 2. Annoin tehtäväksi todistaa, että jonon jaollisista luvuista ei mikään ole jaollinen 11:llä. Oma todistukseni perustuu siihen, että n^2 on aritmeettinen sarja, joten jonon n^2/p jakojäännökset koostuvat palindromisykleistä, joissa nollien välissä on palindromina (p-1)/2 lukua, kukin siis kaksi kertaa.
Alkuluvun 11 sykli on 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1, 0. Siitä puuttuvat luvut 2, 6, 7, 8, 10. Täten 11:llä jaollisia ei löydy jonoista n^2 - 2, 5, 7, 8, 10. Esimerkkijonosta n^2 - 2 ei löydy myöskään 13:lla, 19:llä, 29:llä, 37:llä ja 43:lla jaollisia lukuja. Pitemmälle en ole studeerannut.
43:n sykli on seuraava: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 6, 21, 38, 14, 35, 15, 40, 24, 10, 41, 21, 23, 17, 13, 11, 11, 17, 23, 21, 41, 10, 24, 40, 15, 35, 14, 38, 21, 6, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0.
Puuttuvat 22 lukua täten: 2, 3, 5, 7, 8, 12, 18, 19, 20, 22, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 39, 42.
Minua nämä jakojäännökset kiinnostavat mahdollisuutena tai mahdottomuutena löytää säännönmukaisuuksia, jotka johtavat todistukseen alkulukukaksosten lukumäärän äärettömyydestä.
227. Matti2.12.2013 klo 16:56
Jaska, joo, unohda armeliaasti 2.12.2013 klo 01:33.
228. Jaska2.12.2013 klo 17:24
Juu kyllä unohdan, jos sinä vastavuoroisesti mieleesi palauttamatta jätät 43-syklistä pudonneen 13:n tokan 11:n jälkeen.
229. Jaska13.12.2013 klo 17:11
Seuraavan ratkaisuun tarvitaan mm. normaalia pienempää näkökulmaa:5, 11, 31, 101, 151, 211, 241, 251, 331, ?
Antin erotusjonolla alkaa ainakin minun puolestani olla ratkaisun aika?
230. Jaska14.12.2013 klo 15:20
Osajonosta on kyse. Pääjonossa on kaksi lukua enemmän. Pitäisi nyt olla kovastikin helpompi.
231. Matti14.12.2013 klo 23:02
Iltalehdessä kerrottiin Helsinkiin vettä tuovasta Päijänne-tunnelista. Sen pituus on 120 km, vesivirta on 3,3 m3/s ja vesipisaralta kuluu viikko vaellukseen tunnelin päästä toiseen. Mikä on siis tunnelin poikkipinta-ala?
232. Jaska15.12.2013 klo 00:04
Eikös tuo kaipaa pari lisäfaktaa tunnelista?
233. Matti15.12.2013 klo 01:00
Ei kaipaa. Tosin tässä on oletettu, että poikkileikkaus on koko matkan vakio - kenties tarkoitat Jaska tätä.
234. Olavi Kivalo15.12.2013 klo 10:12
Aamupalalla päässä laskien n. 4m kanttiinsa, jos oletetaan, että on poikkileikkaukseltaan neliö.
235. Olavi Kivalo15.12.2013 klo 10:26
Toinen lisäfakta, jota Jaska kukaties kaipasi, koskee viipymäaikaa. Se on tietenkin tässä keskimääräinen, koska oikeasti se on jakautunut. Seinämillä olevat vesipartikkelit voivat viipyillä tunnelissa jopa vuosia.
236. Matti15.12.2013 klo 15:18
Noinhan se menee. Virtaus (m3/s) = nopeus (m/s) * poikkipinta-ala (m2). (Tilavuus = pituus * poikkipinta-ala. Tästä yhtälöstä aikaderivaatta.)
237. Olavi Kivalo15.12.2013 klo 17:41
Tekisi mieli työstää tuota Jaskan ongelmaa (vai onko niitä työn alla jo useita), mutta en ymmärrä juuri mitään ongelman määrittelystä. Vaikka lukee monta kertaa, ei tajua mistä on kyse.Aikaa meni luvattoman kauan mm. siihen, kun mietin lausetta "Perusjono on n^2 - 2... ja sen yllä oleva osajono [on] p^2 - 2." Kuinka osajono voi olla sen jonon yllä, jonka osajono se on. Onko ilmaisu "jono on toisen yllä" joku matemaattinen ilmaisu, joka on minulle tuntematon? Kunnes tajusin (perkele), että tarkoitettiin ylläolevaa perusjonoa.
Sori, mutta ymmärrykseni puute toisaalta ja epäilys toisaalta, että ongelma olisi kuvattavissa selkeämmin, rassaavat motivaatiota.
238. Jaska15.12.2013 klo 19:35
Kyllä olen tarkoittanut yllä oleva = tämän tekstin yläpuolella säikeessä. Olisi tietysti pitänyt käyttää täsmällisempää ilmaisua eli päivää ja kellonaikaa, niin kuin joskus olen älynnyt tehdäkin. Piti siis 29.11. 15:11 ilmoittaa, että osajono oli 27.11. 23:26. Kerrataan nyt ensin perusjonon alkua:
-1, 2, 7, 14, 23, 34, 47, 62, 79, 98...
Erotusjono 3, 4, 7, 9.. vihjaa siis neliöihin, mitä ei niin selvästi voi havaita osajonosta:
2, 7, 23, 47, 119, 167, 287, 358, 527...
Syklin tarkennusta. 11:n sykli on siis 2.12. 11:59 mainittu 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1, 0, joka siis sisältää 11 kpl lukuja. Se muodostuu jaettaessa lukujen 1-11 neliöt 11:llä: 1/11, 4/11, 9/11, 16/11, 25/11, 36/11, 49/11 64/11, 81/11, 100/11, 121/11. Seuraavastä neliöstä sykli alkaa alusta: 144/11, 169/11, 196/11 jne.
Luku n^2 - 2 ei ole jaollinen 11:llä, koska 2 ei esiinny syklissä jakojäännöksenä jaosta n^2/11. Sama jaottomuus koskee niin ikään syklistä puuttuvia lukuja 6, 7, 8 ja 10.
Jonon alku 13.12. 17:11 käsittää 6-järjestelmän muotoa 10n + 1 ja 10n - 1 olevat alkuluvut, jotka ovat alkulukuja myös kymmenjärjestelmässä. Niiden lisäksi luvut 2 ja 3 ovat molemmissa järjestelmissä alkulukuja. Alkulukukaksosten tutkiminen on jotenkin yksinkertaisempaa (?) 6-järjestelmässä, kun niiden viimeiset numerot ovat aina 1 ja 5.
239. Jaska15.12.2013 klo 20:31
Pikaisuuksissa jäi korjaamatta erotusjonon näpyfiba, pitää olla 3, 5, 7, ....
240. Olavi Kivalo16.12.2013 klo 16:52
Mikä on tekijöiden laistojono? En ole kuullut sellaisesta. (En tosin laittanut googleen)
241. Olavi Kivalo16.12.2013 klo 22:39
Okei, vihdoin sain selvää tästä laistojonosta.Laskin alun 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 59, 61, …
Sitten tsekkasin onko tällainen OEIS:ssa. Ja onhan se: A003629, julkaistu siellä jo 1994.
242. Jaska16.12.2013 klo 22:52
"Tekijöiden laistojono" voidaan määrittää lukujonoksi, jossa ei ole määrättyjä lukuja alkulukuja tekijöinä. Siis esim. alkulukukaksosten tutkinnassa keskeinen jono, 6n - 1 ja 6n + 1 yhdistettyinä: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41 jne. Erotusjono siis 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4 ... ad infinitum.Miten määräytyy seuraava?:
23, 31, 41, 49, 59, 67, 77, 85, 95, 103...
Säännöllinen erotusjono taas.
243. Olavi Kivalo17.12.2013 klo 10:17
Jos alkuluvut ovat muotoa 10n+-1, niin mitä 5 tekee jonossa 5, 11, 31, 101, 151, 211, 241, 251, 331, ?
Muuten, tuo jono on OEIS:n A090709 ilman sen kahta ensimmäistä termiä (2, 3). Kolmannen termin jälkeen kaikki ovat muotoa 10n+1.
244. Jaska17.12.2013 klo 10:47
15.12. 19:35 viimeisessä kappaleessa mainitaan, että kyse on 6-järjestelmän alkuluvuista muotoa 10n +/- 1. 6-järjestelmän lukua Siis 1, 2, 3, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20 jne.Luonnollisesti sekä kymmen- että 6-järjestelmän lukujen 10n + 1 viimeinen numero on aina 1. 6-järjestelmässä on lukujen 10n - 1 viimeinen numero aina 5, joten vain luku 5 on alkuluku kummassakin lukujärjestelmässä. 6-järjestelmän alkulukuja ovat 5, 15, 25, 35, 45, 105, 115, 125, 135, 155, 215...
245. Jaska17.12.2013 klo 10:51
P.S. Onko sillä OEIS:n jonolla muu funktio kuin että luvut ovat myös 6-järjestelmän alkulukuja? Minä en sellaista tähän hätään keksinyt.
246. Jaska17.12.2013 klo 11:38
Kun Antti ei ole ilmoittanut ratkaisua tehtäväänsä 1, 0, 0, 2, 4, 6 jne, aattelin vilkaista sitä uudemman kerran. Kas kummaa, nythän se aukeni varsin helposti. Onko alitajunta työskennellyt tietämättäni?Kahden peräkkäisen alkuluvun summajonosta (5, 8, 12, 18, 24, 30 jne) vähennetään järjestyksessä 4, 8, 12, 16, 20, 24 jne.
247. Antti17.12.2013 klo 12:03
Jaskalle ongelman ratkaisu aukeni erinomaisesti.
248. Olavi Kivalo17.12.2013 klo 23:17
Aluksi pässinlihaosuus: 10-järjestelmässä alkuluvut muotoa 10n+1 ovat:11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, …
ja alkuluvut muotoa 10n-1:
19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, …
Varsinainen asia: ne 10-järjestelmän muotoa 10n+1 olevat luvut, joiden esitysmuoto 6-järjestelmässä tulkittuna 10-järjestelmän lukuna, on alkuluku, ovat:
353, 443, 1433, 1451, 1523, 2153, 2243, 2333, 2351, …
ja vastaavasti muotoa 10n-1 oleville luvuille:
13, 31, 103, 211, 1021, 1201, 1553, 2011, 2543, 3001, …
Nämä jälkimmäiset alkulukujonot siis edustavat 10-järjestelmän lukuja, joista vain osa on 10-järjestelmässä alkulukuja. Ylemmässä jonossa esiintyy 2351 ja alemmassa 211, 1021 ja 2011, jotka ovat alkulukuja myös 10-järjestelmässä. Mutta esim. 10-järjestelmän luvun 9, joka ei siis ole alkuluku, esitysmuoto 6-järjestelmässä on 13, joka on alkuluku 10-järjestelmässä.
249. Olavi Kivalo17.12.2013 klo 23:47
Jaska kysyy onko lukujonolla A090709 jokin muukin funktio. Se on esitetty OEIS:ssa vain ja ainoastaan niiden 10-järjestelmän alkulukujen jonona, joiden esitysmuoto 6-järjestelmässä on alkuluku. Jonoa ei ole kommentoitu eikä sille ole annettu mitään linkkejä muihin jonoihin. Se näyttää varsin orvolta.
250. Olavi Kivalo19.12.2013 klo 21:28
Nyt kun luen kaksi päivää sitten kirjoittamaani tekstiä 17.12. klo 23.17 huomaan syyllistyneeni epäselvään ilmaisuun. Luvut 353, 443, 1433, … ovat siis 6-järjestelmän lukuja, jotka on saatu konvertoimalla 10-järjestelmän muotoa 10n+1 olevia lukuja (jotka ovat tai eivät ole alkulukuja) 6-järjestelmän luvuiksi. Jonossa ovat kuitenkin vain ne 6-järjestelmän luvut, jotka sellaisenaan (353, 443, 1433, …) ovat alkulukuja 10-järjestelmässä.
Muotoa 10n+1 olevat kymmenjärjestelmän luvut, jotka tuottavat nuo 6-järjestelmän luvut, ovat 141, 171, 381, …
Vastaavasti 13, 31, 103, 211, … ovat 6-järjestelmän lukuja, jotka on saatu konvertoimalla 10-järjestelmän muotoa 10n-1 olevia lukuja (jotka ovat tai eivät ole alkulukuja) 6-järjestelmän luvuiksi. Jonossa ovat kuitenkin vain ne 6-järjestelmän luvut, jotka sellaisenaan (13, 31, 103, 211, ...) ovat alkulukuja 10-järjestelmässä.
Muotoa 10n-1 olevat kymmenjärjestelmän luvut, jotka tuottavat nuo 6-järjestelmän luvut, ovat 9, 19(alkuluku), 39, 79(alkuluku), ...
251. Olavi Kivalo20.12.2013 klo 11:37
Voi olla, että noissa Jaskan 6-järjestelmää koskevissa ja omissani on jotain yhteensopivuushäikkää. Tutkailen sitä kun on paremmin aikaa.
252. Olavi Kivalo20.12.2013 klo 17:51
Tässä 6-järjestelmään liittyvä jonon pätkä:1, 2, 4, 8, 14 17, 23, 29, 38, 39, 41 43, …
Kuinka jatkuu?
253. Olavi Kivalo22.12.2013 klo 19:45
Eräs sekaannuksen paikka puhuttaessa erikantaisista luvuista valkenee tai ei seuraavasta OEIS-esimerkistä.A004680 (Primes written in base 6):
2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, …
Nämä kirjoitetaan normaalisti varustettuina alaindeksillä 6.
A090709 (Decimal primes whose decimal representation in base 6 is also prime):
2, 3, 5, 11, 31, 101, 151, 211, ...
Jälkimmäinen hyväksyy edellisestä jonosta vain ne 6-järjestelmän alkuluvut, jotka tuossa kirjoitusasussa ovat alkulukuja desimaalijärjestelmässä eli 10-järjestelmässä.
Tuo jälkimmäinen jono on se, josta Jaska sanoo, että kyse on 6-järjestelmän alkuluvuista muotoa 10n +/- 1. Mutta ensinnäkin kyse on siis kaikista alkuluvuista. Toiseksi, jonossa ovat ne luvut, joiden kirjoitusasu, sen jälkeen kun alkuluvut on konvertoitu 6-järjestelmään ja niistä on poistettu alaindeksi 6, tekee niistä alkulukuja 10-järjestelmässä.
"6-järjestelmän alkulukuja ovat 5, 15, 25, 35, 45, 105, 115, 125, 135, 155, 215…" on edellisen valossa mystinen.
254. Jaska22.12.2013 klo 21:04
No sammuta sitten se edellinen:)Kyseiset 6-järjestelmän esitysmuotoa olevat alkuluvut ovat siis kymmenjärjestelmässä 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83. Kummassakin lukujärjestelmässä ne ovat 6n - 1.
255. Jaska22.12.2013 klo 21:12
No nyt vasta meni mystiseksi:D Tarkoitus oli ilmineerata, että kummassakin ne ovat muotoa -1, 6 järjestelmässä 10n - 1 sen esitystavan mukaan, ja kymmenjärjestelmässä 6n - 1.
256. Olavi Kivalo22.12.2013 klo 22:01
Hienoa Jaska että sanoit jotain. Aloin jo ihmetellä, kun olen pitänyt lähes viikon monologia sinun ideoimastasi aiheesta. Aluksi ymmärtämättä mistä on kysymys. Jonkunlaiseksi siunaukseksihan tämä on ollut. Olen tuottanut kymmenkunta aiemmin julkaisematonta lukujonoa. Mutta tällä kerralla en lipsauta niitä julkisuuteen (lue OEIS:n sivuille). En olisi näitä pohtinut, ellet olisi niitä nostanut esille.
257. Olavi Kivalo23.12.2013 klo 11:58
Mitä Jaska sanoi viimeksi on suomennettuna seuraava.Primes of the form 6n-1:
5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, …
(A007528)
Primes of the form 6n-1 written n base 6:
5, 15, 25, 35, 45, 105, 115, 125, 135, 155, 215, …
(Nämä kirjoitetaan normaalisti varustettuina alaindeksillä 6.)
Primes of the form 6n-1 written n base 6, whose decimal representation is also prime:
5
258. Jukkis23.12.2013 klo 13:39
Mitä ihmettä tarkoittaa "n base 6"?
259. Olavi Kivalo23.12.2013 klo 13:59
Se tarkoittaa samaa kuin aiemmin 22.12.2013 klo 19:45, mutta on kirjoitettu lyhennettynä versiona herättämään ihmetys ja houkuttelemaan sitä kautta ottamaan kantaa itse asiaan.
260. Jukkis23.12.2013 klo 15:01
Heti kirjoitettuani äkkäsin, että kenties siinä tosiaan on painovirhe, että pitää olla "written in base 6". Mutkun se oli kahteen kertaan se "n base 6", niin sitten toisaalta ajattelin ,että se tosiaan pitää olla noin, että joku outo matemaattinen sanonatapa. Mutta leikepöytä kenties syypää?Itse asiasta ei mitään sanottavaa. Ei ole kauhean kiinnostavaa. Paitsi että miksi juuri kantaluku 6 tässä on otettu mukaan?
261. Jukkis23.12.2013 klo 15:03
"...ajattelin ,että..." Hyi saatana soikoon, kirjoitinko tosiaan välilyönnin ennen pilkkua? Onko tuo syöpätyyppisesti esiintyvä välimerkkien nettikirjoittamistapa tarttuvaa? Apua.
262. Olavi Kivalo23.12.2013 klo 17:16
Syväselitykset sille, miksi tässä esiintyvät luvut muotoa 10n+-1 ja 6n+-1 ja kantaluvut 10 ja 6, lienevät tullenee (ja kukaties lienevät jo tulleet) Jaskalta.
263. Jaska23.12.2013 klo 18:40
Ei näissä sen kummempia syitä ja syvällisyyksiä ole kuin ennenkään. Tosin toin esille 6-järjestelmän hypoteettisen näkökulma-aspektin, että alkuluvuista voisi ehkä keksaista jotain uutta, kun niiden vika numero on aina 1 tai 5 (alkuluvut 2 ja 3 pois lukien). Kaksi erilaista loppunumeroa on toki myös 3- ja 4-järjestelmissä. Binäärissä aina sama eli 1, meneekö siis liian helpoksi:)Ihan vain omia aatoksiani sujuvoittaakseni olen käyttänyt ykköstä ja nollaa (10) kirjoitustapana. Kymmenjärjestelmää suuremmissa lukujärjestelmissä tulee mutkia matkaan, kun pitäisi käyttää uusia numeromerkkejä. Niinpä en viitsi huvitella haeskelemalla alkulukuja, jotka ovat alkulukuja myös 17-järjestelmään (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, !, ", #, ¤, %, &, /, 10) perustuvassa framillepanomuodossa:)
264. Olavi Kivalo23.12.2013 klo 19:14
OEIS:ssa on jono A124518 3, 6, 15, 18, 24, 27, 42, 57, 60, 66, 81, ...
(Numbers n such that 10n+1 and 10n-1 are twin primes)
Laskin mm. jonon
125, 323, 431, 449, 452, 494, 500, 683, 722, 749, 896, …
(Numbers n such that the decimal representations in base 6 of 10n+1 and 10n-1 are twin primes)
Ei ole OEIS:ssa. En tiedä onko yleinen kiinnostavuus edellistä pienempi tai suurempi.
265. Olavi Kivalo24.12.2013 klo 10:31
Tiukka pähkinä joululahjaksi:20.12.2013 klo 17:51 annetun jonon (ei OEIS:ssa)
1, 2, 4, 8, 14 17, 23, 29, 38, 39, 41 43, …
osajonot ovat
14, 17, 38, 39, 41, 50, 53, 56, 57, 59, 60, 63, …
ja
1, 2, 4, 8, 23, 29, 43, 44, 64, 65, 85, 97, …
1. Kuinkahan jono jatkuu?
2. Kyseinen jono on suomeksi "Numbers n such that the decimal representations in base 6 of 10n+1 or 10n-1 are primes"
Mitähän osajonot esittävät?
KOMMENTOI