KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > GEOMETRIAPULMA 3
2987. Geometriapulma 3
Jukkis7.10.2006 klo 10:22
Piirrä r-säteinen ympyrä. Piirrä toinen samankokoinen ympyrä, jonka keskipiste on ensimmäisen ympyrän kehällä. Piirrä kolmas samankokoinen ympyrä, jonka keskipiste on toinen edellisten ympyröiden leikkauspisteistä.Kolmella ympyrällä on pullistuneen kolmion muotoinen yhteinen alue. Osoita ilman trigonometrisia ja geometrisia laskelmia, että tuon alueen pinta-ala on vähemmän kuin neljäsosa yhden ympyrän pinta-alasta.
Tuon alueen pinta-alan tarkan lausekkeen voi tietysti johtaa kohtuullisen helposti. Saa senkin toki tehdä.
2. Jyrki7.10.2006 klo 10:50
Hmm, mitenhän tuo tulisi osoittaa? Kun kuvion piirtää, niin siitä ns. näkee otsallaankin, että kyseinen "kolmio" on pienempi kuin neljännesympyräsektori...
3. Jukkis7.10.2006 klo 11:51
No ei tarvi katsoa edes otsallaan, tuollahan minä klo 10:22 sanon, että ala on pienempi kuin neljäsosasektorin ala. Ei sitä kuvaa tarvitse edes piirtää, jos ei ole kiinnostunut asiaa osoittamaan.Mutta nyt siis pitää osoittaa eli todistaa mainittu tosiseikka ilman pinta-alojen lausekkeiden johtamista.
4. Matti7.10.2006 klo 18:47
Ympyrän keskellä olevaan kärkeen piirretyt "kolmiota" sivuavat säteet rajaavat ympyrästä kolmas- eikä neljäsosasektorin.Parillla apupiirroksella päästään tilanteeseen, jossa väitteen näkee oikeaksi sokea Reettakin, mutta simppeliä formaalia todistusta en ainakaan heti keksi. Täytyy vielä miettiä.
5. Matti7.10.2006 klo 19:49
Nonnii, nyt se selättyi.
6. Jyrki7.10.2006 klo 23:34
Jukkis: Pahoittelen sanamuotoani (klo 10:50), jonka tarkoitus ei ollenkaan ollut vähätellä tehtävää. Ymmärsin kyllä myös, että ideana on keksiä väittämälle todistus, jossa ei tarvita matematiikkaa ja geometriaa formaalissa muodossa - toisin sanoen tarkastelutapa, jolla väittämän oikeellisuus käy ilmeiseksi muutoinkin kuin katselemalla kyseistä pinta-alaa paperipiirroksessa. Kommenttini tarkoitti lähinnä sitä, että kun kuvion piirtää, niin väittämän todenmukaisuus on erittäin ilmeinen, eikä se siten maalaisjärjellä ajatellen "vaadi" mitään todistamista. Tällä tarkoitan vähän samantyyppistä tilannetta kuin aiemmassa tehtävässä, joka koski tasasivuisen kolmion sisään piirrettävän ympyrän sisään piirrettävän tasasivuisen kolmion alan suhdetta ympäröivään kolmioon: alan näkee suoraan kuviosta (piirsipä sen paperille tai vain päähänsä), mutta toki sillekin löytyy matemaattinen todistus kaavojen avulla.
Tehtäväsi ei tietenkään ole ollenkaan huono, eikä tällaisen todistuksen löytäminen ole ihan suoraviivainenkaan juttu; kysehän on siitä, että löytää mielenkiintoisen näytön sinänsä "itsestään selvälle" asialle. Senkin kyllä löysin, tai oikeastaan tunnen jo vuosikausien takaa ennestään.
Toki matematiikassa on periaatteena, että vaikka jokin asia olisi täysin ilmeinenkin esim. juuri kuvaajan perusteella, niin se on myös formaalissa muodossa todistettava, jotta asiaa voidaan pitää selvänä.
Tehtävän piirros on muuten ns. goottilaisen suipon holvikaaren perustapaus, jossa holvi muodostuu kahdesta ympyränkaaresta. Perustapaus se on siksi, että kaaret reunustavat tasasivuista kolmiota. Perustapauksesta poikkeavat suippoholvikaaret ovat sellaisia, että ympyränkaaret reunustavat tasaKYLKISTÄ kolmiota, jonka kanta on joko yli tai alle tasaSIVUISEN kolmion kannan. Juuri tämä goottilaisen kaaren leveyden variointimahdollisuus teki siitä aikanaan niin suositun: gotiikkaa edeltävä romaaninen arkkitehtuuri perustui puoliympyränkaareen, ja sen avulla tehtyjen ristikkäisten holvien leveyden täytyi yleensä olla samanlevyisiä keskenään (koska puoliympyrän säde määrittää holvin korkeuden, eivätkä risteävät holvit voineet olla erikorkuisia). Goottilaisella kaarella risteävät holvit saadaan samankorkuisiksi, vaikka niiden jänneväli voi olla keskenään erilainen, eli pohjapiirustuksessa pilarien ei tarvinnut enää muodostaa neliöitä, vaan suorakulmiot tulivat mahdollisiksi. Tämä innovaatio oli keksimisensä aikaan todella merkittävä muutos, sillä se mahdollisti paljon joustavamman pohjakaavan kuin romaaninen holvikaari, huonontamatta holvien kantavuutta. Gotiikan yleistymisen syynä olikin siis ensi sijassa rakennetekninen kehitys, ja vasta toissijaisesti esteettiset arvot.
Kun alkuperäisen tehtäväsi ympyröiden piirtämistä jatkaa koko perusympyrän ympäri, syntyy goottilaisen ruusuikkunan perusmuoto: kuuteen "lehvään" jaettu ympyrä. Tämäkin oli uutuus verrattuna aiempiin ikkunamalleihin, joskaan ei teknisesti aivan yhtä merkittävä kuin holvikaarikeksintö.
No niin, tämä meni hiukan sivuun alkuperäisestä tehtävästä. Mutta tämä liittyy kuitenkin kauniisti tehtävän geometriaan, enkä voinut olla tätä tarinoimatta tässä yhteydessä. :) (Toivottavasti tekstini ei ole niin vaikeaselkoista kerrontaa, että asia menee pilalle.)
7. Jukkis8.10.2006 klo 09:11
Ei asia pyydetyn kuvan piirtämisen jälkeen minusta ole mitenkään täysin ilmeinen. Kun kuvaan piirtää 90 asteen sektorin, niin eihän siinä niin käy että se hiukan pienempi pullistunut kolmio jäisi kokonaan sen sektorin sisälle. Jos näin kävisi, niin homma olisi sillä selvä. Mutta osa pullistuneesta kolmiosta jää sektorin ulkopuolelle, jolloin pinta-alojen eron tutkiminen vaatii, että pitää verrata toisiinsa kahden erimuotoisen alueen pinta-aloja, eli sektorin ulkopuolelle jäävää pullean kolmion osaa ja pullean kolmion ulkopuolelle jäävaää sektorin osaa. Kyllähän siihen semmoisen kuvan saa aikaan, että vaikuttaa kohtuullisen selvältä että siinä toinen noista kahdesta erimuotoisesta alueesta on hiukan isompi kuin toinen. Mutta mistäpä sen tietää, että jos se on vaikka vaan optinen harha. Onhan olemassa kuvioita, joissa selvästi erimittaisilta näyttävät viivat ovatkin oikeasti samanpituiset ja ihan selvästi mutkittelevat viivat onkin oikeasti suoria. Se pullea kolmiohan on alaltaan sentään n. 90% neljäsosaympyrästä, joten ei se katselemalla näkyvä ero ihan niin tolkuttoman ilmeinen ole.
Eileinen kommenttini sinulle Jyrki näyttää kyllä vähän turhan ärtyneeltä, sori.
8. Jyrki8.10.2006 klo 11:58
Jukkis: (muiden ei ehkä kannata vaivautua lukemaan, tämä on itse säikeen aiheesta hiukan rinnakkaisraiteella)Ei sillä väliä, jos kommenttisi oli ärtynyt. Oma edeltävä kommenttinihan siihen oli syypää, kun kirjoitin sen verran nopeasti ja "ytimekkäästi" (kaunis ilmaus) oman näkökantani tehtävään, että sanomastani tuli vähättelevältä vaikuttava. Se ei ollut oikeasti tarkoitus, älysin niin käyneen vasta kun luin oman tekstini uudestaan kommenttisi jälkeen.
En halua tästä aiheesta suinkaan kinata, sillä kuten sanoin, tehtäväsi on kyllä ihan hyvä. Haluan vain vähän selventää (itsellenikin samalla), miksi subjektiivisesti näen asian kuten näen, jotta ei näyttäisi kuin haluaisin vain huvikseni olla eri mieltä.
Minulle tuon alkuperäisen väitteen näkemisessä paikkansa pitäväksi ei aidosti ole vaikeutta: kun piirrän kuvion ja tarkastelen sitä kokonaisuutena, niin todella näen suoraan koko "piirakasta", että kyseinen alue ei voi olla alaltaan neljännestä koko ympyrästä. En siis katsele vain sitä pullistunutta kolmiota ja yritä verrata sitä sen kanssa päällekkäin piirrettyyn neljännessektoriin, vaan näen koko kuvion jotenkin kokonaisuutena.
Tällaiseen arviointikykyyn voi olla syynä esim. harjaantuminen arvioimaan tämäntyyppisiä asioita, sillä sitä itseläni on jonkin verran, erinäisistä syistä (vähättelemättä silti kenenkään muun kykyjä vähimmässäkään määrin). Toinen syy voi olla sellainen - jonka olen huomannut jo kouluikäisenä -, että ihmisten kyky hahmottaa geometriaa (tasossa ja 3D-avaruudessa) vaihtelee ilmeisesti erittäin paljon. Itselleni 3D-geometriakaan ei ole koskaan tuntunut vaikealta käsittää, mutta joillekuille jo tasogeometria tuntui olevan lähes mahdotonta ja avaruusgeometria täysin ylivoimaista. Nytkään en arvostele enkä vähättele ketään. Ajattelen vain, että kyse saattaisi olla samantapaisista ominaisuuksista kuin musikaalisuus yms. "lahjakkuuslajit". Kolmas syy juuri tämän tehtävän yhteydessä on tuon kuvion tuttuus minulle ennestään (ei tehtävänä, mutta geometriana).
Mainitset, että pullea kolmio on alaltaan sentään n. 90% neljäsosaympyrästä. Tuli mieleeni, että tämä ehkä onkin avain siihen, miksi me kaksi saatamme nähdä asian hiukan eri tavoin. Tarkoitat ja sanotkin, että 90% on aika lähelle 100 %:a ja siksi ero neljännesympyrään nähden ei ole ilmeinen. Mutta kun minä katselen kokonaisuutta, niin "näen mielessäni", että neljännesympyröiden aloista jää puuttumaan yhteensä 4 x n. 10 % = n. 40 %. Tuo summahan toki EI ole sama, joka koko ympyrän alasta puuttuu, jos noita pulleita kolmioita laskee neljä yhteen (sillä sekin on vain sen n. 10 %), mutta silti jotenkin näen tuon kokonaisuutena tuota kautta. Tätä on vaikea selittää, lyhyesti sanoen vain oikeasti näen suoraan, miten pinta-ala tuossa menee.
Totta on tietysti, mitä sanot optisista harhoista. Tämä tapaus ei kuitenkaan näyttäydy minulle sellaisenakaan, että siinä voisi olla tarpeeksi suurta optista harhaa, jonka vuoksi en voisi luottaa pinta-alahavaintooni. Kuviossa ei tunnu olevan sellaisia harhauttavia elementtejä, jotka optisissa harhoissa väärän havainnon aiheuttavat. Tämä tieto johtunee jälleen mm. siitä, että tuo kuvio ja sen johdannaiset ovat tosiaan minulle ennestään erittäin tuttuja (viittaa siihen, miksi kirjoitin myös goottilaisista kaarista edellä). Alkuperäistä nopeaa kommenttiani tehtävääsi heittäessäni en vain itsekään tajunnut tämän tuttuuden merkitystä asian näkemiselle ja sille, että jollekulle toiselle suora arviointi kuvasta ei välttämättä ole ollenkaan niin itsestään selvää. Jos tämä olisi tullut mieleen jo silloin, olisin jättänyt sen kommentin kirjoittamatta.
Pahoittelen tätä oheispohdiskelua sivuraiteella. Tarkoitus on vain vakuuttaa, etten suhtautunut tehtävään pahantahtoisesti, vaan näin sen alun perinkin ilmeisesti vähän eri vinkkelistä ja jäin pohtimaan syitä, miksi.
9. Matti13.10.2006 klo 17:02
Entäs tällainen:On piirrettävä mahdollisimman epäsäännöllinen teräväkulmainen kolmio.
Epäsäännöllinen - siis mahdollisimman kaukana tasasivuisesta, tasakylkisestä ja suorakulmaisesta kolmiosta. Ja sivujen suhteita siis kysytään.
10. Jaska13.10.2006 klo 18:34
Eikö kulmien suhde aja saman asian? Ehdotus: 45, 60 ja 75 astetta. Ei voine olla näin simppeliä.
11. Matti13.10.2006 klo 20:24
Ei tälle tehtävälle ole yksikäsitteistä ratkaisua. Kaikki riippuu siitä, miten kukin "mahdollisimman epäsäännöllisen" määrittelee. Tehtävä on ihan itse keksitty, joten netistä ei ole apua.Kulmat tietysti ajavat saman asian. Täytyy vähän pureskella tuota 45, 60, 75 astetta.
(Voisi ajatella, että kolmio ei ole kovin epäsäännöllinen, jos sen kulmina on 45 ja 60 astetta. Voisi myös ajatella toisin.)
12. Matti13.10.2006 klo 21:42
Omassa "ratkaisussani" kulmat ovat 44,4, 58,5 ja 77,1 astetta. Läheltä siis liippaa. Perustelen ratkaisuni myöhemmin.45, 60 ja 75 astetta kelpaa myös hyvin ratkaisuksi, jos siihen liitetään perustelu, missä mielessä tämä on mahdollisimman epäsäännöllinen.
(Kaikkea sitä ihminen vapaa-aikanaan askaroi. Mutta ratkotaanhan ristikoitakin.)
13. Jaska13.10.2006 klo 22:44
Ei ole sen kummempaa perustetta kuin että kulmat eroavat mahd. monta astetta toisistaan niin, että kolmio on muodoltaan mahd. kaukana kahdesta mainitsemastasi kolmesta erikoistapauksesta. Yksi kulma on sama kuin tasasivuisessa, mutta jos se katsotaan liiaksi "säännöllisyydeksi", niin oma ehdotuksesi on "epäsäännöllisempi". Se on lisäksi kauempana tasasivuisesta ja taitaa olla tasakylkisestäkin mutta lähempänä suorakulmaista kuin oma ehdotukseni.
14. Matti14.10.2006 klo 14:46
Ajattelin näin:Olkoon kolmion pisimmän sivun pituus 1. Piirretän se paperin alalaitaan vaakasuoraan. Piirretään puoliympyrä tämä sivu halkaisijana sivun yläpuolelle. Piirretään kaksi ympyräkaarta, sivun päät keskipisteinä ja sivu säteenä. Ne leikkaavat sivun päällä. Piirretään leikkauspisteestä alas pystysuora puoliympyrän kaarelle.
Saadaan kaksi mursunhampaan muotoista aluetta. Keskitytään niistä vasemmanpuoleiseen. Kolmion yläkärjen on sijaittava tässä alueessa, jotta se olisi teräväkulmainen eikä olisi tasakylkinen tai -sivuinen, ja jotta sen pisin sivu olisi 1.
Jos kolmion kärki on alueen yläreunassa, saadaan tasasivuinen kolmio, alareunassa suorakulmainen, ja sivusuoralla taas tasakylkinen. Laitetaan kolmas nurkkapiste siis niin, että se on mahdollisimman kaukana alueen reunoista. Siis piirretään alueeseen mahdollisimman suuri ympyrä, jonka keskipiste on kolmion kolmas kärki.
Koulun algebraa ja geometriaa käyttämällä saadaan sivujen suhteiksi 8:7:sqr33.
Mutta tämä on siis vain yksi "ratkaisu". Ei voida sanoa, että se olisi "epäsäännöllisempi" kuin esim. 45, 60 ja 75 asteen tapaus.
15. Matti14.10.2006 klo 14:49
Paikkaan: Jos kolmion kärki on alueen yläreunassa, saadaan tasa_kylkinen_ ...
16. airisto2.12.2006 klo 15:56
Uusi pulma:"Ympyrä 1:n säde on 10m
Ympyrä 2:n keskipiste on ympyrä 1:n kaarella
Määritä ympyrä 2:n säde niin että ympyrä 2 peittää puolet ympyrä 1:n pinta-alasta."
Antakaa matemaatikot jokamiesten/naisten ensin vastata, ennen kuin esitätte todistelut.
17. Matti2.12.2006 klo 17:28
Tämä oli aikoinaan T&T:n sivuilla muotoiltu seuraavasti: On ympyrän muotoinen nurmikko, säde 10 metriä. Sen reunassa on paalu, paalussa lieka ja liean toisessa päässä lammas. Kuinka pitkä on lieka, kun lampaan onnistuu syödä puolet ruohokentästä.Muistaakseni vastaus ei ollut mikään kovin "sievä" lauseke. Täytyypä palauttaa mieleen. Ja lammas on luonnollisesti "pistemäinen", jne. jne.
18. iso S2.12.2006 klo 22:41
Tämä oli aikoinaan Nääsvillen yliopistossa ohjelmointiharjoituksena. Ei ollut tarkoituskaan ratkaista hommaa suoraan vaan haarukoimalla eli piti osata johtaa kaava lampaan (silloin kyllä oli kyseessä vuohi ja ympyränmuotoinen saari) syömälle pinta-alalle kun narun pituus tunnetaan.Itseäni hieman epäilytti mittaako tämä enemmän ohjelmointitaitoa (varsin simppeli ohjelma) vai matematiikan taitoa (ei luultavasti olisi ratkennut lyhyen matikan rimaa hipoen suorittaneelta). Oli miten oli, tuhersin oman versioni ja sitten näin yhden tyttölapsen elegantin ratkaisun. Menin nurkkaan häpeämään enkä ainakaan sen jälkeen ole uskoakseni sortunut kuvittelemaan että mies olisi jotenkin luontaisesti korkeampi olento kuin nainen. Ei, kyllä kyseessä on harjoittelun tulos :-)
19. Matti4.12.2006 klo 10:27
Nyt kun kaikki :-) olemme pohtineet tätä koko viikonlopun, voi kai paljastaa vastauksen.Ainakaan itse en löytänyt tästä mitään ratkomista helpottavaa hoksaamista. Kaikki oli raakaa laskentaa, siniä, kosinia, arcusta ja neliöjuurta. Riittävän aherruksen jälkeen päädytään transkendenttiseen yhtälöön, jonka ratkaisulle saadaan numeerisin menetelmin likiarvo: 11, 587 metriä (jos nyt olen ratkaissut oikein).
KOMMENTOI