KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > LUKUJONO 8
5838. Lukujono 8
Jaska2.11.2010 klo 15:01
Tutkailin palindromisummajonoa eri kombinaatiolla kuin Olavi Kivalo. Hylkäsin yksinumeroiset luvut palindromisummina, joten jonon alku on 5, 6, 16, 17 jne. Jonossa on 168 lukua, joista viimeisenä 101. Suoraa putkea alusta tuli 1-108. Erilaisia palindromisummia on 50 väliltä 11-505. Toivoin löytäväni jotain todisteen tynkää teorialle, että äärettömiin kasvava jono sisältää kaikki kokonaisluvut, mutta eihän se näin pienellä otoksella onnistunut. Esim. summien esiintymiskertojen jakaumasta en pystynyt päättelemään muuta kuin ettei siinä mitään selvää logiikkaa vielä ole. Seuraavassa kpl/summat:
9/55
6/33, 44, 66, 151, 161, 171, 202
5/1, 2, 77, 88, 101, 141, 181
4/121, 131, 191, 252, 282, 303, 404, 424
3/222, 242, 262, 414, 464
2/99, 111, 292, 323, 333, 363, 434, 444, 484, 505
1/212, 232, 272, 313, 343, 353, 373, 383, 393, 454, 474, 494
Mutulla uskaltaa arvioida, että kyllä kaikki luvut jonoon ennen pitkää putkahtavat. Summien lukumäärien vaihtelu on tässä 9-kertainen. Kiinnostava kysymys on, tasoittuuko suhde jatkossa, ja tapahtuuko se jotenkin lineaarisessa rytmissä.
2. Jaska2.11.2010 klo 15:09
Lipsahti permutaatio kombinaatioksi, huoh.
3. Antti2.11.2010 klo 18:09
Joskus on sanottu ratkaisun ilmoittamiseni hetkeä liian aikaiseksi.Annan nyt vain vihjeen: Seuraavassa edellisen ketjun jonossa kymmenjärjestelmän lukuja ei ole monta. Jono on aidosti kasvava.1011, 200, 113, 54, 50, 44, 41, 38, ?
4. Jaska2.11.2010 klo 18:55
Arvasin heti, että kyse on eri lukujärjestelmistä. Ne eivät kuitenkaan näytä olevan progressiivisessa järjetyksessä, mikä ei innostanut enempään tutkailuun.
5. Antti2.11.2010 klo 19:23
Olen järjestyksen kannattaja.
6. Olavi Kivalo2.11.2010 klo 21:26
Annetut luvut ovat kantaluvun n mukaisessa järjestyksessä, jossa n=3,4,5,6,7,8,9,10. Seuraava luku on 36, joka on 11-järjestelmässä 39.
7. Jaska2.11.2010 klo 22:07
Ahaa, menin lankaan. Arvelin alkavan binäärillä. No ei se sitten huono ole.
8. Olavi Kivalo2.11.2010 klo 22:31
Tuo aloitus kantaluvulla 3 olikin ovela, koska binäärillä aloitus olisi paljastanut liikaa. Antti on paha ihminen.
9. Antti3.11.2010 klo 05:32
OK, muuten OK, paitsi että, kuten kyllä tarkoititkin,
1) seuraava luku on 36, joka on 10-järjestelmän 39 ja että
2) hoo, yy, vee, ää hyvä, nyt tahdon olla hyvä,
pee, aa, hoo, aa, paha, en enää olla paha.
10. Olavi Kivalo3.11.2010 klo 09:43
Meillä on tennisremmissä tapana kuitata vastustajan loistavat lyönnit, kuten huikeat sivallukset rajalle tai inhottavat stopparit, toteamalla lakonisesti "Olet paha ihminen" sadattelun tai mailan viskomisen sijaan. Tämänkaltaisen huumorin viljely nettikeskustelussa on erittäin riskialtista. Antti on hyvä ihminen.
11. Jaska3.11.2010 klo 10:29
Hyvä ihminen ei korvaa skandeja harakanvarpailla.
12. Olavi Kivalo3.11.2010 klo 10:46
Nyt kun kohta 2) on hoideltu, palaan kohtaan 1). Annetun lukujonon ensimmäinen termi (31) on 3-järjestelmässä 1011, toinen termi (32) on 4-järjestelmässä 200, jne ja viimeinen (kahdeksas) termi (38) on 10-järjestelmässä 38. Jotta lukujono jatkuisi lineaaristi ja kantaluku kasvaisi aina yhdellä, seuraavan (yhdeksännen) termin tulisi olla 39, joka on 11-järjestelmässä 36. Sitä seuraavan (kymmenennen) termin tulisi olla 40, joka on 12-järjestelmässä 34 jne kunnes ollaan 13. termissä (43), joka on 15-järjestelmässä 2d.
Lukujono jatkuu siis näin
1011, 200, 113, 54, 50, 44, 41, 38, 36, 34, 32, 30, 2d, ...
kunnes kirjaimetkin loppuvat.
13. Antti3.11.2010 klo 11:23
OK, kiitos jonon jatkonkin selvittämisestä.Näit, etten sano hyvä olevani. Sanon vain tahtovani olla hyvä.
14. Jaska3.11.2010 klo 13:09
Minä tahdon olla huolellinen, mutta en kykene olemaan. Eilisen tilaston toisen rivin alku 5/1, 2, pitää tietysti olla 5/11, 22.Seuraava saattaa olla kinkkinen vain viidellä luvulla, mutta kuudes helpottaisi jatkon hoksaamista ehkä liikaakin:
1, 2, 3, 4, 7, ?
15. Antti3.11.2010 klo 14:22
41, 43, ...a(1)=1, ja kun j>1,
a(j) on pienin sellainen luku, että a(1), a(2),... ,a(j) jonossa aina kahden peräkkäisen numeron (ei luvun) summa on alkuluku.
16. Jaska3.11.2010 klo 15:49
Antin ratkaisu ei ole tarkoittamani. Jatkan jonoa:1, 2, 3, 4, 7, 94, ?
17. Antti6.11.2010 klo 18:48
Tekemällä tehdyn jonkinlaisen ratkaisun näin lyhyestä jononalusta kyllä saa ja sainkin, mutta kerrotko, Jaska jo "oikean" ratkaisun?
18. Jaska6.11.2010 klo 20:52
Jospa ensin jatkan jonoa. Ratkaisu huomenillalla noin tähän kellonaikaan, jos ei kukaan sitä ennen keksi jatkoa tai edes jonon ideaa.1, 2, 3, 4, 7, 94, 37, 114, 67, 124, 189, 164, 209, 174, 553, 204, 583, 214, 705, 224, ?
19. Olavi Kivalo7.11.2010 klo 15:13
Näyttää siltä, että en saa ratkaisua irti tästä määräaikaan mennessä. Ikäänkuin siinä olisi kaksi limittäistä jonoa, parillisten ja parittomien. Kummankin peräkkäisten termien erotukset noudattanevat jotain säännönmukaisuutta, mutta en saa selvää mitä. Sitten on varmaan joku linkki näiden osajonojenkin välillä.
20. Jaska7.11.2010 klo 17:57
Ja minä kun uskoin, että tämä olisi nimenomaan Olavi Kivalolle helppo, ja helposti pääteltävästä syystä!
21. Jaska7.11.2010 klo 21:22
Ratkaisu: 10077. Jonon sääntö: kahden peräkkäisen luvun summa on pienin ko. lukuja seuraava palindromialkuluku.
22. Jaska7.11.2010 klo 21:29
Varmuuden vuoksi täsmennys. Yhtään p-alkulukua ei jätetä väliin.
23. Antti8.11.2010 klo 09:01
Ratkaisematta jäänyttä seuratkoon hyvin helppo:1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, ?
24. Antti9.11.2010 klo 13:21
Jonon j:s jäsen on {1,2, ..., j}-joukon pienin yhteinen jaettava.
25. Matti9.11.2010 klo 14:02
Kiva tehtävä. Mietin sitä aikani, mutta ei lohjennut.
26. Antti9.11.2010 klo 18:16
Seuraavista luvuista suurimmat ohjaavat ratkaisuun.?, 5, 7, 11, 23, 3, 5, 13, 3, 7, 29, ?
27. Olavi Kivalo11.11.2010 klo 15:06
Jaska, tämä ajanee saman asian 0, 3, 2, 5, 6, 95, 36, 115, ... ?
28. Olavi Kivalo11.11.2010 klo 15:59
Ja pari muutakin:2, 1, 4, 3, 8, 93, 38, 113, ...
3, 0, 5, 2, 9, 92, 39, 112, ...
29. Jaska11.11.2010 klo 17:16
En itse tullut ajatelleksi permutaatioita. Nyt tuli mieleen, että oikeastaan tyrin oman jononi janssa. "Yhtään palindromialkulukua ei jätetä väliin." No ei jätettykään välistä, mutta ensimmäinen jätettiin. Tehtävästä tuli tavallaan epätäydellinen. Muotoillaan uudelleen permutaatiottomaksi: Jonon, jossa kukin luku esiintyy vain kerran, peräkkäisten kahden luvun summien tulee muodostaa kaikki palindromialkuluvut suuruusjärjestyksessä pienimmästä alkaen.0, 2, 1, 4, 3, 8, 93, 38, 113,...
Antin tehtävä vaikuttaa vaikeammalta.
30. Olavi Kivalo11.11.2010 klo 18:47
Ei tässä Jaskan alkuperäisessä lukujonossa mielestäni mitään vikaa ollut. Nämä palindromialkuluvut voidaan vain tuottaa useammalla tavalla. Ykkönen ei muuten ole alkuluku, joten se korjaus oli tarpeeton.Minusta tämä on hieno jono ainakin jos sitä arvioidaan sillä, ettei se esiinny OEIS:ssä. Voisit, Jaska, tarjota sitä sinne. Jos se hyväksytään, saat kvasitieteellisen meriitin.
31. Olavi Kivalo11.11.2010 klo 18:49
Sori, sehän alkoikin kolmosesta. No sitten korjaus oli tarpeen.
32. Olavi Kivalo11.11.2010 klo 21:51
Alkuperäinen jono voidaan haluttaessa määritellä niin, että se on lukujono (tai yksi neljästä? lukujonosta), joka generoi kaikki parittomat palindromialkuluvut pienimmästä alkaen.
33. Jaska12.11.2010 klo 14:13
Seuraava liittyy edellisiä liipaten kaikkien alkulukujen jonoon ja on Ekin Käärmettä lainaten "mahdollisesti erittäin visainen." Mistä on kyse?6, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 20, 23, 24, 25, 28, 30, 31, 35, 36, 37, 39, 41, 43, . . .
34. Antti13.11.2010 klo 19:30
?, 5, 7, 11, 23, 3, 5, 13, 3, 7, 29, ?Tätä Jaska arveli vaikeahkoksi. Arvioin toisin, sillä mutkikkaita laskuja ei tarvita. Jos jo ilmoittaisin ratkaisun, joku luultavasti sanoisi: Miksi en tuota huomannut.
35. Matti13.11.2010 klo 19:40
Lunttasin OEIS:stä ja löysin seuraavan:Largest prime dividing n (a(20) = 5)
Neljä muutakin kandidaattia oli ehdolla, mutta tämä oli simppelein.
Myös Antin 8.11.2010 klo 09:01 löytyi OEIS:stä.
36. Antti13.11.2010 klo 19:57
Siis...
19:n suurin alkutekijä on 19
20:n suurin alkutekijä on 5
21:n suurin alkutekijä on 7
22:n suurin alkutekijä on 11
...
29:n suurin alkutekijä on 29
30:n suurin alkutekijä on 5
...
37. Olavi Kivalo16.11.2010 klo 11:03
Viime säikeen lopussa oli jaossa papukaijamerkki sille, joka johtaa rekursiokaavan jonolle n(j) = 12, 24, 40, 45, 60, 72, 84, 105, ...
Seuraava ei ole varsinaisesti rekursio saati mikään elegantti ratkaisu suljetussa muodossa vaan eräänlainen laskentakaava:
n(j) = [(k+1)*(z-k)*z](j), jossa n(j+1)>n(j) ja
z = 3,4,5,...
k = 1,2,3,...,(z-1)/2, kun z on pariton ja
k = 1,2,3,...,(z-2)/2, kun z on parillinen.
Jotain tällaista Jaskakin esitti, tosin lukujonolle, jossa neliötermit ovat mukana. Pantaisko kuitenkin papukaija tasan.
38. Jaska16.11.2010 klo 11:49
"Mahdollisesti erittäin visaisen" jononi ratkaisu.Jono 6, 9, 10, 11, 14, 15, 15, 17, 20, 23, 24, 25,...
sisältää luvut, jotka eivät kuulu jonoon
0, 2, 1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, 13,....
39. Jaska16.11.2010 klo 11:51
Iski lukusokeus. Toka 15 tulee olla 16.
40. Juhani Heino16.11.2010 klo 20:42
Täysin asiaa tuntematta: jos ylempään jonoon tulee 16, silloin sitä ei pitäisi olla alemmassa jonossa?
41. Olavi Kivalo16.11.2010 klo 22:41
Mistään mitään tietämättä: Jos jonon 6, 9, 10, 11, 14,... ja jonon 0, 2, 1, 4, 3, 8,... unioni on luonnollisista (epänegatiivisista) luvuista muodostuva jono, niin miksi jälkimmäisessä termien järjestys on tuo. Näyttää erittäin visaiselta.
42. Jaska16.11.2010 klo 22:46
Ei tosiaan pidä olla. Jostain oudosta lukusokeussyystä se vaan on näämmä lipsahtanut alkuperäiseen 12.11. jonoon. Joka oli siis mahdoton ratkaistava, ellei virhettä hoksannut. Ja sehän oli aivan kohtuuton vaatimus. Oikea tämänpäiväinen korjaus on siis: toka 15 veke.Jonon 0, 2, 1, 4 jne kahden luvun peräkkäiset summat muodostavat alkulukujen jonon suuruusjärjestyksessä.
43. Jaska16.11.2010 klo 22:48
Se 12.11. mainitsemani "liippaaminen" tarkoitti siis palindromialkululujen vastaavaa jonoa.
44. Jaska16.11.2010 klo 22:59
Alkululu? Alku-Lulu? Onko Alban Bergin Lulusta olemassa jokin varhaisversio Goethen Ur-Faustin tapaan? Taidan olla sekasini. Mikä se sitten on? Viherkeltasininen? Joko they are coming to get me away..
45. Olavi Kivalo17.11.2010 klo 10:11
Joku voisi sanoa sikaseni.
46. Olavi Kivalo19.11.2010 klo 10:52
Jaska, sikaseni, palaan vielä, kun ehdin, asiaan, jonka esitin 11.11.2010 klo 18:47.
47. Jaska19.11.2010 klo 14:30
Olisikohan seuraava alkulukujen osajono jo ollut siellä sun täällä. Ainakaan itse en ole sitä ennen esittänyt. Tietystä syystä annan jonon alun lyhyehkönä, mutta se ei tee siitä mahdotonta, joskin mahdollisesti visaisen ratkaistavan. Vaihteeksi virheettömäksi tsekattu.3, 5, 13, 197, 281, 6079, 6599, 8273, ?
48. Olavi Kivalo19.11.2010 klo 15:48
Jaska, arvelin aiemmin, että esittämälläsi lukujonolla 1, 2, 3, 4, 7, 94, 37, 114, 67, 124, 189,... olisi potentiaalia tulla julkaistuksi OEIS:ssä. Tunnustelin asiaa lukujonofanaatikkojen ryhmässä 11.11. esittelemällä neljän lukujonon joukon, joista yksi on tämä sinun jonosi, joka joukko on kaikki lukujonot, jotka toteuttavat ehdon a(n)+a(n+1)=palindromic prime.Tämä herätti niin suurta kiinnostusta, että itse Neil Sloane, joka on OEIS:n perustaja, ilmoitti minulle tänään julkaisevansa kaikki neljä, kukin omalla numerollaan (minua kuulematta).
Tässä olisi meillä kahdenkeskisen keskustelun paikka, koska ainakin yksi lukujonoista tulee julkaista sinun nimelläsi. Onko sinulla ehdotusta, millä foorumilla voisimme jatkaa keskustelua.
49. Jaska19.11.2010 klo 16:21
Ensinnä AARGH fortessa. Pitikin kehua ed. jonoa virheettömäksi. Heti rankaistiin hybriksestä. Sen toka luku ei ole suinkaan 5, vaan 7. Otetaan uusiksi:3, 7, 13, 197, 281, 6079, 6599, 8273, ?
Hetki, palaan asiaasi pikapuoliin.
50. Jaska19.11.2010 klo 17:40
Joo, ei tule mitään. Unohdetaan ed. korjauskin. Lipsahdin kolmen ekan luvun jälkeen väärälle riville poiminnassa, tuloksena kahden jonono sekasikiö. Enempien sähläysten välttämiseksi esitän molemmat jonot. Ne voivat olla teoriassa oikeinkin.Jono 1: 3, 7, 13, 37, 43, 251, 263, 293...
Jono 2: 5, 17, 41, 107, 281, 6079, 6599, 8273...
Ylärivi koostuu peräkkäisiä alkulukuja käsittävän jonon suurimmista yhteenlaskettavista. Kunkin jonon summan tulee olla niin ikään alkuluku. Alarivissä ovat vastaavat summat. Siis:
2+3 = 5
2+3+5+7 = 17
2+3+5+7+11+13 = 41
2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37 = 197 jne.
Kaikkien peräkkäisten summien jonossa on ainakin minua kiinnostavia elementtejä. 69 ensimmäistä summaa:
5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, 129, 160, 197, 238, 281, 328, 381, 440, 501, 568, 639, 712, 791, 874, 961, 1058, 1159, 1262,
1369, 1478, 1591, 1718, 1849, 1986, 2125, 2274, 2425, 2582, 2745, 2912, 3085, 3264, 3445, 3636, 3829, 4026, 4225, 4436, 4659, 4886, 5115, 5348, 5587, 5828, 6079, 6336, 6599, 6868, 7139, 7416, 7697, 7980, 8273, 8580, 8891, 9204, 9521, 9852, 10189, 10536, 10885.
Silmään pistää esim. ekaa summaa 5 seuraavat 31 summaa, jotka eivät ole viidellä jaollisia, joita seuraa puolestaan viiden peräkkäisen joka toisen summan viidellä jaollinen rykelmä. Ei ole alkulukujen summillakaan mitää lakia ja järjestystä!
51. Jaska19.11.2010 klo 17:56
Niin, se tapaus Neil Sloane. Onkohan hän muuten "koodausteoriaraamatun" tekijöiden Williams & Sloane osapuoli? Minulla ei ole mitään ambitioita saada nimeäni OEIS:n listoille, mutta en sitä toki kielläkään.
52. Olavi Kivalo19.11.2010 klo 19:29
Jaska, kyseessä on sama mies.Kyseiset neljä lukujonoa ovat jo OEIS:ssä. Niiden numerot ovat A181881-A181884. Voit tsekata osoitteesta _http://oeis.org
Lukujonoista puuttuvat vielä monet spesifikaatiot, erityisesti Author, Keyword, References ja Mathematica. Meidän on ne täydennettävä.
Ehdotan, että esiinnymme molemmat kirjoittajina (author) kaikissa lukujonoissa. Jotta saamme tämän keskustelun pois tältä foorumilta ja nimimerkkien takaa, pyydän, että otat yhteyttä minuun sähköpostitse veikko@nordem.fi.
53. Antti20.11.2010 klo 11:53
Kaikki seuraavat on laskettu pienistä alkuluvuista:0, 2, 8, 14, 28, 38, 44, 58, 68, ?
54. Jaska21.11.2010 klo 22:10
Kaikkihan nuo ovat kahta isompien alkulukujen -3 jäännöksiä, mutta en keksi säännönmukaisuutta "yliloikkiin."
55. Olavi Kivalo21.11.2010 klo 23:54
Jospa Antti tarkoittaakin jonoa -1, 2, 8, 14, 20, 28, 38, 44, 56, 64, 70,..., joka on Prime[2n-1]-3, n=1,2,3,...
56. Antti22.11.2010 klo 00:47
B(j)=2*j:s alkuluku - 3*j= 1, 0, 1, 2, 7, 8, 13, 14, 19, 28, 29, 38, 43, 44, 49, 58, 67, 68, 77, 82, ...
A(j)=B(2*j)
= 0, 2, 8, 14, 28, 38, 44, 58, 68, 82, ...
Jaska, 82 ei enää ole alkuluku - 3.
57. Antti22.11.2010 klo 00:52
Olavi Kivalo, vähän toisistaan eroavat lausekkeemme tuottivat vähän erilaiset jonot.
58. Jaska22.11.2010 klo 11:47
Antti, myöskään 4, 4, 10, 22, 32, 46, 52, 70, 80 eivät ole alkulukuja. Sehän olisi ollut hieno helpotusvinkki tehtävällesi, jonka ratkaisun keksimisen ilon meiltä julmasti riistit.0, 8, 24, 64, 126, 202, 300, 410, 592, ?
59. Jaska22.11.2010 klo 22:41
No niin, lipsahti siis heti kärkeen helpoksi tarkoittamaani jonoon pieni, mutta sitäkin merkitsevämpi virhe. Piti olla1, 8, 24, 64, 126, 202, 300, 410, 592 jne. Siis suuruusjärjestyksessä kahden peräkkäisen alkuluvun tulo miinus seuraava alkuluku. Ei tosiaan erityisen kiinnostava jono.
60. Antti23.11.2010 klo 04:27
Jaska, pidän jonoa kiinnostavana. Kahden viimeisenä mainitsemasi tilalle sain 408 ja 636.
61. Jaska23.11.2010 klo 10:12
Olen noissa näköjään näpytellyt vääriä näpyköitä laiskana laskurilla laskiessani. Vähän vaivalloisemmalla päässälaskulla olisin mainitsemasi virheet todennäköisesti välttänyt. Se eka oli puhdas oikosulku.
62. A25.11.2010 klo 15:22
Kun parempien jonoja ei nyt näy, tarjoan tutuntapaista:32, 38, 24. 140. 800. 2802. 7448. 16664. 33120. ?
63. Jaska30.11.2010 klo 14:05
Koska parempien ratkaisuja ei nyt vieläkään näy, heitän tähän pilkkupistemysteeriin tutuntapaisen valistumattoman arvauksen 60350.
64. Antti30.11.2010 klo 15:22
Erinomaista. Parempia ratkaisuja ei ole kuin Jaskan oikea. Pisteiden pilkkujen sijaan näpyttelynikään ei ollut häirinnyt.A(j) = j^5 - 4*j^4 + 35*j
65. Antti2.12.2010 klo 14:44
2, 1, 7, 17, 71, 97, 191, 233, 367, 641, ?
66. Olavi Kivalo7.12.2010 klo 19:35
Parempia aikoja odotellessa:a(11)= -10988, a(12)= -108029, jne.
67. Antti7.12.2010 klo 20:11
Laskin jononi jäseniä a(20):een asti. Siihen asti ainakin jonon alku on aidosti kasvava ja arvioni mukaan koko jono on aidosti kasvava.
68. Olavi Kivalo7.12.2010 klo 20:25
I know. Tuo oli vain 9. asteen polynomin tuottamaa väliaikamusiikkia.
69. Jaska8.12.2010 klo 12:03
Jos tuon Antin jonon voi polynomina esittää, niin a(11) ei vanhoista merkeistä päätellen ole alkuluku.
70. Jaska8.12.2010 klo 12:35
Arvaukseni oli väärä. Seuraava 719 on alkuluku, mutta sitä seuraavat 1081, 1343 ja 1457 eivät ole. En laskenut pitemmälle.
71. Jaska8.12.2010 klo 13:09
Siis alkuluvut j 1,2,3... toiseen miinus kokonaisluvut j 1,2 3.. toiseen.
72. Jaska8.12.2010 klo 13:12
Eiku kok.luvut 2,3,4...
73. Jaska8.12.2010 klo 13:32
No seko mikä seko. Siis vähennetään 2*j^2 1, 2, 3...2^2 - 2*1^2, 3^2 - 2*2^2, 5^2 - 2*3^2, 7^2 - 2*4^2 jne.
74. Antti8.12.2010 klo 13:56
Hyvin löysit, Jaska.Tulos toisin ilmaistuna:
(j) = j:s alkuluku - 2*j^2
75. Antti9.12.2010 klo 07:38
Seuraavassa jonossa on yhden tai usean alkuluvun muodostamia lukujoukkoja. Mikä on seuraava (kahden alkuluvun muodostama) lukujoukko?{17,47}, {2,2,2,2,2,5,5}, {3,3,89}, {?,?}, ...
76. Matias-Myyrä9.12.2010 klo 08:18
{2,401}
77. Antti9.12.2010 klo 09:54
Mainiota, Matias. Annettu oli kolmen luvun, 799, 800 ja 801, alkutekijät. Matias mainitsi: 802=2*401.
78. Olavi Kivalo9.12.2010 klo 10:00
Ja edeltävä olisi {2, 3, 7,19}Samaa lajia: kuinka tämä jatkuu (ei saa luntata)
6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, ...
79. Matias-Myyrä9.12.2010 klo 10:14
34
80. Matias-Myyrä9.12.2010 klo 10:15
eiku 33
81. Jaska9.12.2010 klo 14:17
Js sitten 34, 35, 38, 39 jos oikein arvaan.Seuraavan saa luntata. Se onnistuu ainakin epäsuorasti. Tarkkana yritin olla, kolminkertainen tsekkaus.
1, 2, 6, 11, 25, 51, 105, 213, 437, ?
82. Jaska9.12.2010 klo 14:37
No nyt joku voi kuitenkin esittää, että jono on tuollaisena jotenkin epälooginen, tynkä. Heille seuraava täydennys, joka ei vaikuta jonon jatkoon. Helpotettakoon lisäksi, että liittyy päivän aiheeseen.0, 0, 1, 6, 11, 25, 51, 105, 213, 437, ?
83. Jaska10.12.2010 klo 23:08
Täydennysjono jäi valitettavasti tarkastamatta. 2 putosi kyydistä. Alkaa siis 0, 0, 1, 2, 6...Luntata saa esim. Matilta lukujono 6 11.7.
84. Antti15.12.2010 klo 13:59
Jaska, ei ratkea.
85. Jaska15.12.2010 klo 17:47
Jaollisten lukujen lukumäärät kahden potenssien välisissä rajoissa. Matilla samansukuisen alkulukutehtävän ratkaisu.
86. Jukkis15.12.2010 klo 20:02
No mä en kyllä ollenkaan ymmärrä, miten noin määritelty jono voi alkaa että 0, 0, 1, 2, 6...
87. Jaska15.12.2010 klo 23:39
Jälkimmäisessä jonossa on otettu huomioon myös 2^0 = 1 ja 2^1 = 2. Sekoitti turhaan muuten selvää jonoa.
88. Jukkis16.12.2010 klo 07:46
En ymmärrä. Jos nyt vaikka näytteeksi kertoisit, miksi jono alkaa kahdella nollalla.
89. Jukkis16.12.2010 klo 08:58
Ehkä tajuan. Ilmeisesti lukujoukot, joista jaollisia lukuja haetaan, on nämä:1
2
3 4
5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
jne.
Kai nuo jotenkin voi ymmärtää olevan "kahden potenssien välisissä rajoissa".
90. Antti16.12.2010 klo 10:01
Mielestäni kyseessä on seuraavien lukujen välissä olevien jaollisten lukujen lukumäärä:1 2 4 8 16 32 ...
Ensimmäisessä ja toisessa välissä on 0 jaollista lukua,
seuraavassa yksi, nimittäin 6
ja neljännessä viisi, nimittäin 9, 10, 12, 14 ja 15.
Tämä ei kuitenkaan täsmää Jaskan ilmoittaman kanssa.
91. Jaska16.12.2010 klo 10:42
Haisee hiusten halkomiselle. Jäi täsmentämättä, että "kahden potenssien välisiin rajoihin" kuuluvat ne potenssitkin. Sekö muka ei juolahtanut Antille mieleen hänen -1 tulostensa perusteella:)
92. Olavi Kivalo16.12.2010 klo 10:45
b(n) = PrimePi[2^n] - PrimePi[2^(n - 1)] = 1, 1, 2, 2, 5, 7, 13, 23, 43, 75, ...
ja
a(n) = 2^n - 2^(n - 1) =
0, 1, 2, 6, 11, 25, 51, 105, 213, 437, ...,
jolloin
a(n) - b(n) = 0, 1, 2, 6, 11, 25, 51, 105, 213, 437, ...
[Merkintä PrimePi[x] tarkoittaa alkulukujen <=x lukumäärä]
93. Olavi Kivalo16.12.2010 klo 10:49
Sori a(n) = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...
94. Olavi Kivalo16.12.2010 klo 20:16
Jono a(n) = 1, 10, 2, 19, 72, ... muodostetaan seuraavasti.Alkuehdoksi otetaan a(1)=1. Mikä on pienin kokonaisluku a(2), joka lisättynä lukuun a(1)=1 antaa luvun, joka koostuu numeroista, jotka kuuluvat siihen joukkoon, joista a(1) ja a(2) koostuvat? -> a(2)=10, koska a(1)+a(2)=11 ja sallittujen numeroiden joukko on {0,1}.
Mikä on pienin kokonaisluku a(3), joka lisättynä lukuun a(2)=10 antaa luvun, joka koostuu numeroista, jotka kuuluvat siihen joukkoon, joista a(2) ja a(3) koostuvat? -> a(3)=2, koska a(2)+a(3)=12 ja sallittujen numeroiden joukko on {0,1,2}.
Seuraava pienin kokonaisluku on a(4)=19, koska 2+19=21, jonka numerot kuuluvat joukkoon {1,2,9}.
Mikä on a(6)?
Mikä on jono, kun alkuehto on a(1)=2?
95. Jaska16.12.2010 klo 22:35
a(6) = 52, 10, 1, 2, 19, 72, 5 jne
96. Jaska16.12.2010 klo 22:38
no heti lipsahti, korjaus:2, 10, 1, 10, 2, 19, kne. Jos siis sama luku saa esiintyä usemamin kuin kerran. Epuuta ei esitetty.
97. Olavi Kivalo17.12.2010 klo 00:11
Pahuksen unhe. Tässä epuu. Luku saa esiintyä vain kerran! Tavoitteena on muodostaa luonnollisten lukujen permutaatio.
98. Jaska17.12.2010 klo 12:36
Niin muuten 2 esiintyy jo ekassa jonossa?
99. Jaska17.12.2010 klo 12:55
Epuu on siis jonokohtainen, joten2, 10, 1, 21, 100, 3, 20, 4, 30,..
100. Jaska17.12.2010 klo 13:23
Seuraava knoppi voi olla vaikeasti havaittava, mutta ei mahdoton.2, 6, 12, 12, 66, 33, 110, 99, 99, 110, 132, ?
101. Jaska17.12.2010 klo 13:40
EIIIH! Kontrolli petti. Neljäs luku on 11. Siis2, 6, 12, 11, 66, 33, 110, 99, 99, 110, 132, ?
102. Olavi Kivalo17.12.2010 klo 21:37
Palan tuohon omaani, koska sen määrittelyyn jäi valitettavasti epätäsmällisyyttä, joka antaa porsaalle aukon. Tarkoitus oli, että summan numerot, muodostuvat niistä numeroista, joista a(n) ja a(n+1) muodostuvat. Toisin sanoen, kun a(1)=1, on a(2)=10, koska a(1)+a(2)=11, jonka numerot saadaan poimituksi sallitujen numeroiden joukosta {1,1,0}. Oli väärin sanoa, että numeroiden 1,1 tulee kuulua joukkoon {1,1,0}.
Tämän mukaisesti esimerkiksi a(6)=5 ei kelpaisi, koska a(5)=72. Sallitut numerot olisivat {5,7,2}, mutta summan a(5)+a(6)=77 numeroita ei voi poimia näistä, koska siinä on kaksi seiskaa ja käytettävissä on vain yksi. Oikea a(6) on 100, koska 72+100=172 koostuu numeroista, jotka on poimittavissa sallittujen listalta {7,2,1,0,0}
Tämän ajattelun mukainen vastaus on siis
1, 10, 2, 19, 72, 100, ...
mutta julistan Jaskan vastauksen vähintään yhtä oikeaksi
1, 10, 2, 19, 72, 5, ...
Kakkosella alkava jono menisi oikeasti näin
2, 10, 1, 20, 3, 29, ...
103. Jaska17.12.2010 klo 22:10
Olinpa sekaisin. Ihan selvähän 1 + 20 = 21 on.Vinkki 13:40 jonolleni. Sen jälkeen ratkontaan ei pitäisi mennä yli kahden... hmmm, minuutinko? Ei vaan nimenomaan pitäisi mennä yli kahden!
104. Antti18.12.2010 klo 07:35
Tämänkin ratkaisu lähtee kakkosesta tai oikeastaan kakkosen neliöstä ja ratkaisussa on muitakin neliöitä. Kun näin paljon sanoin, ratkaisun on mahdollista löytyä alle kahdessa minuutissa.4, 13, 38, 87, 208, 377, 666, ?
105. Jaska18.12.2010 klo 10:42
Aikaa en ottanut, arviolta meni vähän yli kahden päässä laskien: 1027.
106. Olavi Kivalo18.12.2010 klo 12:16
Mainittakoon, että miljoonan ensimmäisen termin joukosta vain nuo kaksi, 4 ja 666, ovat palindromeja.
107. Antti18.12.2010 klo 12:47
Kiitos, Jaska ja Olavi Kivalo!
108. Jaska18.12.2010 klo 13:41
Vielä toka vinkki 22:10 lisäksi. Palindromeilla on rooli tässäkin. Meniköhän ihan pehmikseksi...
109. Olavi Kivalo18.12.2010 klo 16:58
Nämä ovat palindromien tuloja, mutta en keksi, mistä tulee lukujen järjestys jonossa.
110. Jaska18.12.2010 klo 17:10
Ohhoh, enpä huomannut, että tuloiksikin sopivat. Jonon lukujen järjestys ei siis perustu tuloihin, vaan noudattaa yli kahden järjestystä!
111. Jaska20.12.2010 klo 14:33
Täsmennys. Kukin jonon luku on saatu yhteenlaskulla. Palindromien rooli = kaksi yhteenlaskettavaa muodostavat palindromin. Yli kahden ei tarvinne selitystä?
112. Olavi Kivalo20.12.2010 klo 20:52
No jos kirjoitetan peräkkäin summia, jotka ovat palindromista muotoa p+p, pq+qp, pqr+rqp jne, jossa p,q, r =1,2,3, ..., niin saadaan jollakin poimintasysteemillä esim. jono2, 6, 12, 22, 66, 33, 110, 99, 99, 110, 132, ...
Mutta tällaisessa jonossa ei esiinny lukua 11.
113. Jaska20.12.2010 klo 22:08
Minulla palindromi tarkoittaa tässä myös nollaan päättyvien lukujen numeromerkkien kääntämistä vastakkaiseen järjestykseen: 10 + 01 = 11. Seuraava vastaava "nollakäännelmä" on 16 yli kahden: 120 + 021 = 141.Yli kahden jono on siis 1, 3, 6, 10, 15, 21, 36 jne.
114. Olavi Kivalo20.12.2010 klo 23:50
Onko tuo "yli kahden" joku vakiintunut ilmaisu? Näyttää siltä, että se tarkoittaa, että poimitaan jonosta a(n) ensimmäinen, kolmas, kuudes, kymmenes jne termi eli a(1), a(1+2), a(3+3), a(6+4), a(10+5), a(15+6), a(21+7), a(28+8), a(36+9), ...Protestoin hieman tuota kirjoitustapaa 10+01, josta saadaan (keinotekoisesti) palindromi 1001. Eihän summaa (1+1):kaan kirjoiteta muotoon 01+01 -> 0101 (joka taas ei ole palindromi).
115. Olavi Kivalo21.12.2010 klo 10:47
Käsitin, että tässä lasketaan yhteen kaksi luonnollista lukua, joiden numeroiden järjestykset ovat toistensa peilikuvia. Luvut 12 ja 21 ovat sellaisia, mutta esim. 12 ja 1 eivät, vaikka muodostavatkin palindromin. Luvun 10 peilikuva on 01, mutta 01 ei ole luonnollinen luku. Vedänpä kuitenkin takaisin vähäisen protestointini, kun joulukin on niin lähellä.
116. Jaska21.12.2010 klo 11:12
Onhan se osa vakiintunutta ilmaisua. Toki se oli vihjeessä 17.12. 22:10 esitetty ratkonta-ajan käyttöön verhotussa muodossa, knoppina. Mielestäni esimerkki "16 yli kahden", siis näiden ( ) sisällä 16 ja 2 allekkain oli knopille riittävä selitys. Miten muuten pikkunumerot saadaan sulkeiden sisään? Kyllä, saa ja voi olla joskus aihettakin protestoida minun leikkimielisiä ideoitani.
117. Olavi Kivalo21.12.2010 klo 22:42
Binomikerroin esitetään Mathematica-notaatiolla seuraavasti:Binomial[a, b], lausuttuna "a yli b:n".
Näinollen jonosi on a(Binomial[i, 2]), jossa i=2,3,4, ...
Tämähän ei vielä määrittele jonoa a(n), vaan ainoastaan sen, että jonosta a(n) poimitaan termit a(1), a(3), a(6), a(10), a(15), a(21), a(28), a(36), a(45), jne.
Jono a(n) taas on n+Pal[n], jossa n=1,2,3, ... ja Pal on palindromi-operaattori, joka kääntää luvun n numerot päinvastaiseen järjestykseen.
Näin se kai meni.
118. Antti22.12.2010 klo 13:59
Seuraava ei vaadi korkeaa matematiikkaa. Kahdesta päättyvästä jonosta jälkimmäisen
viimeistä lukua kysytään.
8, 25, 22, 28, 28
10, 15, 21, 12, 21, ?
119. Matias-Myyrä22.12.2010 klo 16:42
1
120. Antti22.12.2010 klo 18:58
Hyvä, Matias. Järjestysluvuikseen muunnetut kirjaimet jälleen kirjaimiksi palautettuina:Hyvää
joulua
121. Olavi Kivalo27.12.2010 klo 15:27
Lukujono a(n) määritellään niin, että a(n) on pienin alkuluku p(k), jolle pätee, että alkulukujen osajonon p(k), p(k+1), p(k+2), ..., n peräkkäistä erotusta muodostavat n-termisen palindromisen jonon.Esimerkki 1: a(5) = 5, koska 5 on pienin alkuluku, jolle pätee, että siitä alkavan alkulukujen osajonon 5, 7, 11, 13, 17, 19 peräkkkäiset erotukset muodostavat 5-termisen palindromisen jonon 2, 4, 2, 4, 2.
Esimerkki 2: a(7) = 17, koska 17 on pienin alkuluku, jolle pätee, että siitä alkavan alkulukujen osajonon 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 peräkkkäiset erotukset muodostavat 7-termisen palindromisen jonon 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2.
Lukujonon alku a(1), a(2), a(3) on triviaali. Etsi ainakin yksi uusi lukujonon a(n) termi, jossa n>3.
122. Jaska28.12.2010 klo 16:54
Voisiko tehtävän määrittää tarkemmin?
123. Olavi Kivalo28.12.2010 klo 17:21
Öh. Kaksi esimerkkiä on annettu. Mutta vihjeen voin antaa. Luku a(n) parillisilla n:n arvoilla on yleensä paljon suurempi kuin parittomilla. Kannattaa yrittää määrittää a(n) jollakin parittomalla.
124. Olavi Kivalo29.12.2010 klo 10:32
Esitin aiemmin, että Jaskan jono2, 6, 12, 11, 66, 33, 110, 99, 99, 110, 132, ...
muodostuisi myös palindromien tuloista. Tämä ei pidä paikkaansa. Ensimmäisten 30 termin joukossa on yksi (281), joka ei ole. Myöhemmin sellaisia on todennäköisesti lisää.
125. Olavi Kivalo31.12.2010 klo 10:30
Kerran vielä pojat ja rautalangasta.Tässä alkulukujen jonon alkua
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, ...
Tässä peräkkäisten alkulukujen erotuksia
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, ...
Palindromisia osajonoja, joissa n termiä:
1: {1} -> a(1)=2
2: {2, 2} -> a(2)=3
3: {2, 4, 2} -> a(3)=5
3: {4, 2, 4} -> a(3)=7 (ei kelpaa, koska 5<7)
4: ?
5: {2, 4, 2, 4, 2} -> a(5)=5
5: {4, 2, 4, 2, 4} -> a(5)=7 (ei kelpaa, koska 5<7)
6: ?
7: {2, 4, 6, 2, 6, 4, 2} -> a(7)=17
126. Jaska31.12.2010 klo 11:29
Ei ole parillisia määriä termejä 2<.
127. Olavi Kivalo1.1.2011 klo 02:49
Ei pidä paikkaansa. a(4)=18713
Osajono on {6, 12, 12, 6}
128. Jaska1.1.2011 klo 11:59
Ei olle parillisia määriä termejä 4< taulukoissa.
129. Olavi Kivalo1.1.2011 klo 13:20
Haha. Ollee.a(6)=683747
Osajono ollee {12, 18, 6, 6, 18, 12}
130. Olavi Kivalo1.1.2011 klo 20:00
Tämän jälkeen haettu lukujono näyttää tällaiselta:a(n) = 2, 3, 5, 18713, 5, 683747, 17, ...
jossa muodossa se on jo löydettävissä OEIS:stä.
131. Olavi Kivalo2.1.2011 klo 10:42
Mainittakoon vielä, että epäilen (=conjecture) peräkkäisten alkulukujen erotusten jonon sisältävän ykköstä lukuunottamatta vain parillisia lukuja. Lisäksi epäilen (=conjecture), että nämä parilliset luvut sisältävät kaikki luvut 2n, jossa n=1,2,3, ...
132. Matti2.1.2011 klo 18:43
Kevyt pala mäkihypyn seuraamisen lomassa.Hyppääjille arvotaan parit, ja he hyppäävät ensimmäisen kierroksen pareittan toisiaan vastaan, ja huonompi putoaa toiselta kierrokselta. Kuitenkin viisi parasta pudonnuttakin saa vielä jatkaa.
Systeemi ei selvästikään takaa, että paras voittaa, toiseksi paras on toinen, jne., aina tuloslistan loppuun saakka. Mutta kuinka pitkälle alusta lukien todellinen paremmuusjärjestys vastaa lopputulosta, kävi arvonnassa miten tahansa?
133. Matti2.1.2011 klo 18:50
OK:lle: Kahden parittoman luvun erotus on aina parillinen.Alkuluvut ovat aina parittomia (paitsi 2)
Myös perättäiset alkuluvut ovat aina parittomia, ja niiden erotukset ovat siis aina parillisia (ensimmäinen konjektuuri).
Tämä on niin ilmeinen asia, että voi olla, että en ole ymmärtänyt OK:n puheenvuoroa okein.
134. Olavi Kivalo2.1.2011 klo 19:21
Ensimmäinen on parodia sille kielenkäytölle, joka esiintyy tänä päivänä joka kerta niissä päivänselvissä yhteyksissä, kun joku on esimerkiksi julkisesti ampunut toisen kuoliaaksi tai muuta vastaavaa, kun ei voi sanoa, että se on sen tehnyt vaan että epäillään että se on sen tehnyt, vaikka se on sen selvästi tehnyt.Toinen konjektuuri on jo asiaa. Tai voidaan ainakin epäillä sen olevan sitä.
135. Jaska2.1.2011 klo 22:20
Matile vastakysymys: miten määritetään todellinen paremmuusjärjestys?
136. Matti2.1.2011 klo 23:16
Jaska, oletetaan että se on olemassa. Kahdesta hyppääjästä toinen on aina parempi kuin toinen, ja tämä näkyy hyppyjen tuloksissa. Ja tässä mielessä kilpailijoiden kesken on olemassa täydellinen järjestysrelaatio. (Tämä on tietysti käytännölle vierasta, mutta näin saadaan kiva (?) tehtävä.)
137. Jaska2.1.2011 klo 23:33
No kivaahan tällainen jossittelu toki on. Mutta ei voida laskea täydellistä (absoluuttista) sellaista. Todennäköisyyslaskelmia voidaan kyllä tehdä. Esim. Oberissa Aamutähti ei hypännyt karsintaa, jos olisi hypännyt, olisi voinut saada eri parin ekalle kierrokselle, hävitä tälle pääsemättä siis hyppäämään viimeisenä tokalla kierroksella jne.
138. Matti2.1.2011 klo 23:49
Tosihan on, että pitää tehdä joukko implisiittisiä oletuksia, jotta tilanne olisi riittävän yksinkertainen ratkaistavaksi. Tästä myöhemmin lisää.
139. Olavi Kivalo3.1.2011 klo 10:29
Sisältävätkö peräkkäisten alkulukujen erotukset p(n+1)-p(n), jotka ovat muotoa 2k (k=1,2,3, ...) todella kaikki luonnolliset luvut k?Välillä n=1...100000 erotukset ovat välillä k=1...57 ja sisältävät kaikki luvut k=1...50.
Välillä n=1...200000 erotukset ovat välillä k=1...74 ja sisältävät kaikki luvut k=1...57.
Kun n kasvaa, p(n) kasvaa nopeammin kuin p(n+1)-p(n). Esim p(100000)=1299709, kun taas p(100001)-p(100000)=6. Koska esim 1299709 on luonnollinen luku, tulisi löytyä myös n:n arvo, jolla erotus p(n+1)-p(n)=1299709. Löytyneekö?
140. Olavi Kivalo3.1.2011 klo 11:16
Edellä pitää tietysti olla n=2..., jotta saadaan eliminoiduksi häiriköimästä se ainoa parillinen alkuluku.
141. Antti9.1.2011 klo 10:23
300, 600, 900, 1200, 1375, 1416, 1393, 1312, 1512, 1880, 2288, 2736, 3224, 3752, 4320, ?Katsotaan, onko 10.1.2011 puolen päivän hetkeen mennessä tullut ratkaisua.
142. Matti9.1.2011 klo 17:30
4928
143. Antti9.1.2011 klo 18:07
Antamani jono k(j) = mediaani (a(j); b(j); c(j)).c(j) = 20*j^2 - 12*j
4928 = c(16), joka ei kuitenkaan ole kysytty k(16).
k(9) =c(9), ..., k(15) =c(15), mutta k(16)<>c(16).
144. Matti9.1.2011 klo 18:59
Yhdeksännestä luvusta alkaen annetut luvut olivat muotoa 20*j^2 - 12*j, josta vedin johtopäätökseni. Kenties siitä voisi yhden säälipisteen antaa.
145. Antti9.1.2011 klo 19:23
Matin havainto oli hyvä ratkaisun osa.
146. Matti11.1.2011 klo 19:45
Se mäkihyppyjuttu jäi kesken. Oletetaan siis, että kaikilla kisan hyppääjillä on keskinäinen paremmuusjärjestys siten, että parempi voittaa joka hypyllä huonomman. (Sitä järjestystä ei tarvitse tietää, riittää että se on olemassa.)Hyppääjät kisaavat ensimmäisen kierroksen pareittain, ja parit on arvottu umpimähkään. Parin huonompi hyppääjä putoaa aina jatkosta.
Tällaisena systeemi on tietenkin epäreilu, sillä voihan olla, että paras ja toiseksi paras joutuvat vastakkain, jolloin toiseksi paras putoaa jatkosta, mutta kolmanneksi paras jatkaa.
Mutta jos parivoittajien lisäksi myös viisi parasta putoajaa pääsevät jatkoon (n.k. lucky looserit), onko systeemi edelleen epäreilu? Kuinka monta paremman pään hyppääjää kärjestä saa aina taitonsa mukaisen kisasijoituksen, kävi arvonnassa kuinka hyvänsä?
Ilmeisesti todellista paremmuusjärjestystä vääristää eniten tilanne, jossa paras ja toiseksi paras joutuvat pariksi, kolmanneksi ja neljänneksi parhaat joutuvat pariksi, jne. Silloin vielä 11. hyppääjä saa varmasti sijoituksen 11, ja samoin kaikki häntä paremmat saavat omaa taitoaan vastaavat sijoitukset. Mutta 12. paras jo tippuu, kun taas 13. paras on jatkossa. Lucky looser -systemi takaa siis, että 11 parasta sijoittuvat kisassa taitonsa edellyttämälle sijalle, kävi pariarvonnassa kuinka hyvänsä.
Tulikohan tämä nyt kyllin sotkuisesti esitettyä.
147. Antti12.1.2011 klo 07:45
Esitettiin hyvästi, paitsi että "viisi parasta putoajaa pääsevät jatkoon"-ilmaisu tekee mieleni korvata "viisi parasta putoajaa pääsee jatkoon"-ilmaisulla. Lukusanan perässä on kaipaamani yksikkö "11. hyppääjä saa varmasti sijoituksen"-kohdassa.
148. Jukkis12.1.2011 klo 07:49
Urban Dictionary: A looser is a loser who can't spell "loser".
149. Antti12.1.2011 klo 07:49
Pyydän anteeksi, luin väärin: "11 hyppääjää" ja käsitin Matin tarkoittavan: "11 hyppääjää saa varmasti sijoituksen, joka on vähintään 11."
150. Matti12.1.2011 klo 08:14
Jukkikselle kiitos oikaisusta.
151. Antti19.1.2011 klo 16:25
9.1.2011 klo 10:23 antamani jono jäi selvittämättä. Jono on k(j) = mediaani (a(j); b(j); c(j)),
a(j) = 300*j
b(j) = j^3-50*j^2+500*j
c(j) = 20*j^2 - 12*j
c(16) = 4800 = a(j)
152. Jaska21.1.2011 klo 16:04
Vaihteeksi perinteisemmän näköinen jono. Kysytty jatko ei liene ylivoimainen ratkaistava. Runsaasti lisäpojoja ropisee, jos keksit, mistä lukumääristä on kyse. Oletan näet, että jonoa ei löydy lähdejonoista!3, 16, 65, 246, 917, 3424, 12891, 48640, ?
153. Matti24.1.2011 klo 18:34
Puhalletaanpas nyt pölyt mekaniikan oppikirjasta, sieltä alusta kinematiikkaa käsittelevästä osasta, ja mietitään seuraavaa:100 metrin juoksija kiihdyttää vauhtiaan ensimmäiset 40 metriä vakiokiihtyvyydellä, ja juoksee lopun matkaa saavuttamallaan loppunopeudella. Aika on 10 s, mutta millä nopeudella juoksija ylittää maaliviivan?
Vähän realistisempi oletus: 100 metrin juoksijan kiihtyvyys laskee lineaarisesti alun maksimiarvosta nollaan, kun 40 metriä on juostu. Loppumatka juostaan taas saavutetulla loppunopeudella. Aika on taas 10 s, mutta millä nopeudella nyt ylitetään maaliviiva?
Numeroratkaisuja kysytään molempiin tehtäviin. Tuloksia voi verrata juoksijan keskinopeuteen 10 m/s.
154. Jaska24.1.2011 klo 21:09
Onko se nopeus maaliviivalla muu kuin 40 metrin kohdalla saavutettu ja miksi?
155. Matti24.1.2011 klo 21:56
Ei ole muu vaan sama. No miksen kysynyt nopeutta 40 m:n kohdalla? Nopeus maalissa oli jotenkin elegantimpi. (Tällähän ei ole mitään merkitystä.)
156. Jaska24.1.2011 klo 23:54
Siis tossa ekassa pitää olettaa, että loppuajan 10,0 edellytys on tasainen kiihtyvyys 0-40 metrillä tuottaen 40 metrin väliajan 0x,x sekuntia?
157. Jukkis25.1.2011 klo 09:03
Sain ekasta 14 m/s. Ihan vaan peruskaavoja pyörittämällä. Toka taitaa vaatia vähän enemmän pähkäilyä.
158. Jukkis25.1.2011 klo 09:26
No ei se toka hirveästi vaatinut. Sain 12 m/s. Vaikuttaa uskottavalta.
159. Matti25.1.2011 klo 10:35
Jukkis, saatko myös 40 metrin väliajan, ja ekassa vakiokiihtyvyyden ja tokassa kiihtyvyyden startissa?
160. Matti25.1.2011 klo 10:41
Niin, ja Jukkis, oikeinhan nuo 14 m/s ja 12 m/s ovat. Ja vaikuttavat uskottavilta.
161. Jukkis25.1.2011 klo 11:23
Ekassa väliaika 5,71 s, kiihtyvyys 2,45 m/s2.Tokassa väliaika 5,00 s, alkukiihtyvyys 4,8 m/s2.
162. Antti25.1.2011 klo 13:31
Jukkis tai Matti, miten peruskaavoja pyörittämällä tulokseen tulitte? Yritykseni jäi kesken.
163. Matti25.1.2011 klo 13:44
Ekassa on ensin 3 tuntematonta, kysytty nopeus v, vakiokiihtyvyys a ja 40 metrin väliaika t. Tunnettuja parametrejä on myös kolme, 40 m = x, matka 100m = s ja aika 10 sek =T. Saadaan kolme yhtälöä:v= at
x= ½at^2
(T-t) = (s-x)/v
Näistä pitäisi tulla
v = (s+x)/T
Toka menee muuten saman tyyliin, mutta koska a ei ole vakio, saadaan kiihdytysvaiheessa
v=integr a(t) dt
s(t)=integr v(t) dt,
ja loppumatkalle taas
(T-t) = (s-x)/v
Näistä pitäisi tulla
v = (s+½x)/T
164. Matti25.1.2011 klo 13:48
Pysytäänpä vielä urheilussa.Kuulantyöntäjän tulos on 20 m, ja kuula irtoaa kädestä 2 metrin korkeudella. Missä kulmassa maanpintaan nähden kuulan pitää lähteä kädestä, jotta tulokseen päästään mahdollisimman pienellä kuulan lähtönopeudella? Mikä on tämä nopeus?
165. Jukkis25.1.2011 klo 14:12
Sain vastauksen. En kerro sitä, mutta sivutuotteena vaikka sellainen tulos, että jos kulma heittää 10 astetta tuosta optimista, niin nopeutta pitää olla 3,2 % enemmän kun optimikulmalla.
166. Matti25.1.2011 klo 14:31
Itse en ole vielä tätä ratkaissut, ajattelin vain että voisi olla kiva tehtävä. Katson sitä illalla.
167. Antti25.1.2011 klo 16:05
Kiitos, Matti, toiseksi viimeisen pulman ratkaisun periaatteen kertomiseseta.
168. Jaska25.1.2011 klo 16:53
Siis kaiketi kuulan painosta riippumatta, ts. naisten kuulan lähtönopeus on sama kuin miesten, kun molempien tulos on 20 metriä.Kuulan lähtökulma tarkoittanee ojennetun työntökäsivarren ja maanpinnan välistä kulmaa kuulan irtoamishetkellä. Kun ei satu olemaan ballistiikan käsikirjaa käsillä, heitän runsaaseen havaintoaineistoon perustuvan arvauksen, joka todennäköisesti ei ole hämmästyttävän lähellä oikeaa: kulma 27,5 astetta ja lähtönopeus 24 m/s.
169. Matti26.1.2011 klo 00:40
Menipäs vaikeaksi. Ajattelin tehtävää antaessani, että optimirata kuulalle on se, jossa kuula osuu maahan 45 asteen kulmassa. (Kulma on siis radan tangentin kulma.) Mutta näin ei taida ollakaan. Syntyvät lausekkeet ovat aivan hirmuisia.Jukkis, onko ratkaisusi desimaaliosa ,6598?
170. Jukkis26.1.2011 klo 08:15
Juu, kulman arvon desimaaliosaksi sain just tuon. Kulma on arctan(0.8). Sain vastauksen nimenomaan tuolla 45 asteen oletuksella, ja olen kyllä juuri nyt sitä mieltä, että se saattaa olla väärin. Enpä taida ehtiä asiaa tänään pahemmin jatkomietiskellä.
171. Matti26.1.2011 klo 11:30
Jukkis, OK, pysähdyimme samalle etapille. Kunhan tässä innostun, jatkan asian selvittämistä numeerisesti Excelillä. Silloin tulee selvyys siitä, onko 45 asteen hypoteesi oikein. Väärin taitaa olla.
172. Jaska26.1.2011 klo 14:17
Jos oletetaan, että kuulan lentorata on paraabeli ja tulokulma 45 astetta, niin lähtökulma on myös 45 astetta. Mutta eikö lisäedellytys ole silloin, että kuula lähtee maan pinnasta? Kun se lähteekin kahden metrin korkeudelta, niin lähtökulma onkin muutaman asteen pienempi kuin 45 astetta, eikö niin? Enemmän kuitenkin kuin heittämäni (työntämäni?) 27,5 astetta, joka lieneekin lähempänä kuulan lähtö- ja lakipisteen välistä kulmaa.Opiskelin teoreeman, että kappale lentää pisimmälle, kun sen lähtökulma on 45 astetta. Koskee siis kuullaakin? Mutta onko 2 metrin korkeudelta lähtevän kuulan lentorata paraabeli, kun sen tulopiste onkin maan tasalla? Tulokulma onkin suurempi kuin 45 astetta?
Nää nyt on ballistiikkaa täysin tuntemattoman hikisiä arvailuja.
Nopeuksista voin varmaksi väittää vain, että sen täytyy olla suurin työnnettäessä kuula lyhintä suoraa 20 metrin päähän eli 2 metrin korkeudelta n. 20,1 metriä! Mutta kuinka suuri, sen laskemisen jätän Matille ja Jukkikselle.
173. Matti26.1.2011 klo 15:25
Jaska, lentorata on aina paraabeli, ja pisimmälle maasta maahan kantaa sellainen, jonka lähtö- ja tulokulma maahan nähden on 45 astetta. Piiretään tällainen paraabeli, ja sijoitetaan siihen kuula 2 metrin korkeudelle. Paraabelin loppuosa - ylös lakipisteeseen ja takaisin alas maahan - on yksi mahdollinen työntökaari. Jos se kantaa kädestä maahan 20 metriä, on lähtökulma kädestä arctan(0,8) = 38,6598 astetta. Se on melkein tehtävässä kysytty optimikaari, mutta ei (kai) ihan.Jos tarkkoja ollaan, rata on ellipsi. Mutta koska näillä etäisyyksillä maan pinta on lähes taso (oikeastaan pallo), paraabeli on riittävän hyvä likiarvo. Se on laskennallisesti paljon helpompi kuin ellipsi.
174. Jaska26.1.2011 klo 15:54
Selkis, entä se nopeus?
175. Jaska26.1.2011 klo 16:06
Jos kun/nuo lähtönopeudet ovat laskettavissa, niin entäpä jos työntö tapahtuu stadionin tornin näköalatasanteelta (poistetaan suojaristkko työnnön ajaksi!). Mikä työntökulma ja -nopeus tuloksen ollessa sama 20 metriä tornin juuresta mitattuna? Tulokulma lienee jo aika lähellä 90 astetta?
176. Matti26.1.2011 klo 18:03
Työntökulma on alaviistoon, muuten menee pitkäksi. 45 asteen tapauksen lähtönopeutta en ole vielä laskenut.
177. Jukkis27.1.2011 klo 19:44
Mulla numeerinen simulointi antoi tuolle alkuperäiselle kuulatehtävälle (25.1.2011 klo 13:48) kulmaksi 42.1 astetta.
178. Matti27.1.2011 klo 20:55
Itsekin juuri lopetin ahkeroinnin Excelin parissa. Alla on ensin lähtönopeus m/s, sitten lähtökulma astetta, ja maahanosumiskulma, astetta. Ylempi rivi on se 45 asteen hypoteesi ja alempi todellinen optimi, joka on yhtäpitävä Jukkiksen simulointituloksen kanssa:13,370 38,66 45,00
13,325 42,20 47,90
Ja mielenrauha on taas palannut.
179. Jukkis27.1.2011 klo 21:35
Jep. Mulla tarkahkot arvot on 13.325112 m/s ja 42.15 astetta.
180. Jaska27.1.2011 klo 22:42
Älähän Matti vielä rauhoitu. Voisitko laskea, mikä on kuulan lentoradan pituus. Sehän se voisi ratkaista kilpailijain järjestyksenkin, jos/kun pystyttäisiin laskemaan videokuvalta tarpeeksi nopeasti. Vai onko todistettavissa, että pisimmälle vaakatasossa lentäneellä on myös pisin lentorata?
181. Jaska27.1.2011 klo 23:58
21.1. jononi ratkaisu: kysytty yhdeksäs luku on 184767, jolloin jonossa ovat 2-10 alkutekijän kaikki erilaiset kombinaatiot eli jaollisten lukujen lukumäärät. Erotusjonossa ovat siis jonossa ennen esiintymättömien lukumäärät. Hahmottuu luontevimmin siten, että alkutekijät ja tulot ovat suuruusjärjestyksessä:kaksi alkutekijää 2, 3 -> 3 jaollista lukua parittain kombinoiden: 2*2 = 4, 2*3 = 6, 3*3 = 9.
kaksi ja kolme alkutekijää 2, 3, 5 -> 16 jaollista lukua parittain ja kolmittain kombinoiden (6+10 = 16, joista 13 uutta): (4, 6, 9), 10, 15, 25 / 8, 12, 18, 20, 27, 30, 45, 50, 75, 125.
jne.
182. Jukkis28.1.2011 klo 10:26
Luin tuon Jaskan selityksen muutaman kerran, enkä tajunnut muuta kuin sen, että näistä teidän lukujonoprobleemoista on viimeinenkin järjenhiven kadonnut. Ilmankos niitä ei kukaan edes yritä ratkoa. Millä tuollaisen vastauksen voi keksiä? Tai keksiä sen ratkaisun, jonka Antti kertoi 19.1.2011 klo 16:25, siis kolmen hatusta vedetyn lukujonon arvojen mediaani. Ihan tolkutonta.
183. Jaska28.1.2011 klo 12:20
Millä tuollaisen vastauksen vastauksen voi keksiä? Sen voi keksiä ns. luovalla mielikuvituksella, jos vastausta ei löydy kirjoista tai muualta ennen opitusta.Itse olen sitä mieltä, että minun jononi ei ollut niin vaikea keksiä kuin Antin, joskin kernaasti myönnän, että Jukkiksen arvio on meidän molempien osalta oikeutettu. Ja Antin osalta ehkä vielä oikeutetumpi:)
Minun olisi pitänyt kohtuullistaa tehtävää vihjaamalla jotenkin jaollisten lukujen lukumääriin. Siitä puheen ollen, mistä asiaan liittyvistä lukumääristä on kyse äärettömässä jonojoukossa, jo seuraavassa seitsemän ensimmäistä:
1
2, 1
6, 2, 1
10, 7, 2, 1
21, 14, 7, 2, 1
41, 31, 14, 7, 2, 1
84, 58, 34, 15, 7, 2, 1
184. Jaska28.1.2011 klo 12:35
jo = josta
185. Antti28.1.2011 klo 12:55
Vaikka usein erehdyn, en nyt vielä luovuta. Vaikeaa en kuitenkaan tarjoa.
Kuinka ykkösestä ja kakkosesta jatketaan?
1, 2, 1, 5, -2, 17, -23, 74, -143, ?
186. Matti28.1.2011 klo 16:55
Vielä yksi mekanikan tehtävä - sitten pidän paussin.Auton massa on 1000 kg. Siinä on kiinteä neliveto, ja akselitehoa löytyy 100 kW. Renkaan ja tien välinen lepokitkakerroin on 0,5. Liikevastukset oletetaan nollaksi.
Kauanko vähimmillään kestää "varttimaili" eli 400 m? Entä kauanko kestää 0 -> 100 km/h?
187. Jukkis28.1.2011 klo 18:20
Yhtään en tiedä, mitä täsmälleen tarkoittaa akseliteho, eikä selvinnyt puolessa minuutissa googlaamalla. Eikös autossa ole kaksi akselia: etu- ja taka-?
188. Matti28.1.2011 klo 23:37
OK, tarkoitan tehoa, joka on suoraan käytettävissä auton kiihdyttämiseen, siis ilman sarvia ja hampaita. Siis tarkoitan sitä tehoa, joka on tässä suoraan sijoitettavissa liikeyhtälöiden kaavoihin symbolille P.
189. Jaska29.1.2011 klo 11:19
Onko kuljettajakin niitä vastuksia:)
190. Jaska29.1.2011 klo 12:08
Kuinka ykkösen ja kakkosen jälkeen jatketaan? Taakse, eteen, taakse, eteen, taakse, eteen, taakse...
191. Antti30.1.2011 klo 05:26
1, 2, 1, 5, -2, 17, -23, 74, -143, ?a(1) = 1,
a(2) = 2,
Ykkösestä ja kakkosesta, aina kahdesta edeltävästä, jatketaan seuraavaasti.
a(3) = 3*toiseksi viimeinen - viimeinen
= 3*1 - 2 = 1,
a(4) = 3*2 - 1 = 5,
a(5) = 3*1 - 5 = -2
a(j) = 3*a(j-2) - a(j-1), j=2, 3, 4, ...
a(10) = 365
192. Jaska30.1.2011 klo 16:05
Tällä kertaa Antin "vaikeaa en tarjoa" oli törkeää huomattavasti lievempää liioittelua. Ehkäpä se olisi auennut kokeilemalla tarpeeksi monta eteen-taakse -vaihtoehtoa.Antin näppärä jono (olihan se Antti itse kehittelemäsi?) ei ole vailla kiinnostavuutta. Lukuteoreettisesti siinä näyttäisi olevan kiintoisa (no ketä kiinnostaa, ketä ei) piirre ainakin muutaman lisätermin perusteella. Huomasitko Antti sen itse?
Jonon alku 1, 2 poikkeaa siis sitä seuraavasta jatkamissäännöstä. Kun noudatetaan tätä sääntöä heti ykkösestä alkaen, jonon alku on seuraava:
1, -3, 6, -15, 33, -78, 177, -411, 942
Tässä jonossa ei silmin nähden ole tarkoittamaani Antin jonon ominaisuutta. Siis mitä?
193. Matti30.1.2011 klo 18:32
Miten alku 1, -3 on "luontevampi" kun kaikki muut alut?a(3) = 3*a(1) - a(2), ja a(1) ja a(2) voivat olla mitä tahansa. Vai mikä tässä on jekkuna?
194. Antti30.1.2011 klo 18:47
Eräs kehittelemäni jonon ominaisuuksista, joka jonoltasi puuttuu, liian yksinkertainen tosin, että sitä voisit tarkoittaa, on seuraava:Jokaisella j:n arvolla (j= 3, 4, 5, ...)
a(j) - a(j-1) + a(j-2), on kolmella jaollinen.
195. Jaska31.1.2011 klo 12:01
Tarkoittamani ero: minun jononi luvut 1:n jälkeen ovat kaikki kolmella jaollisia, kun taas Antin jonon kaikki luvut ovat kolmella jaottomia (olettamus).Matti kysyy miten jononi alku, on "luontevampi." Vastaus: ei välttämättä mitenkään. En myöskään arvioinut sitä luontevammaksi sitaateilla tai ilman.
196. Antti31.1.2011 klo 13:04
Jononi lukujen kolmella jaottomuus on seuraavasti säännöllistä: Jaettaessa järjestyksessään jononi lukuja kolmella joka toisen jaon jakojäännös on 1 ja joka toisen jaon jakojäännös on 2.
197. Jaska2.2.2011 klo 14:16
28.1. jononi ovat jaollisten lukujen alkutekijöiden lukumääriä, kun jonon suurin luku on 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256.Alkuluvuista mahd. myös vaikeahko tehtävä, joskin jono saattaa myös lähteistä löytyä. Kysytään, mikä yhteinen ominaisuus, joka viime kädessä yhteenlaskulla paljastettavissa on:
13, 29, 53, 173, 293, 1373, 2213, 4493, 5333, ?
198. Matti3.2.2011 klo 22:44
Autotehtävä 28.1.2011 klo 16:55 ei saanut suuria kansanjoukkoja liikkeellle. joten tässä ratkaisu.Auton massa oli 1000 kg, ja kiihtyvyyteen käytettävissä oleva teho 100 kW. Lepokitkakerroin renkaiden ja tien välillä oli 0,5, ja liikevastukset oletettiin nollaksi.
Kysyttiin, kauanko vähimmillään kestää levosta 400 metriin, ja kauanko kestää 0 -> 100 km/h.
Alussa ei päästä käyttämään koko tehoa, koska se johtaisi pyörien sutimiseen. Näin ollen alku mennään vakiokiihtyvyydellä 0,5*g, missä g on maan vetovoiman kiihtyvyys. Olen käyttänyt numeroarvoa g=10 m/s^2.
Kun nopeus kasvaa, vakiokiihtyvyyden ylläpito vaatii enemmän ja enemmän tehoa, ja kun aika t=4s, vaadittava teho on 100 kW. Tästä jatjetaan vakioteholla. Käytetään yhtälöä P=mva= ½m(d/dt)(v^2). Kiihtyvyys saadaan tässä nopeudesta derivoimalla, ja matka integroimalla.
Alla olevassa taulukossa ensimmäinen sarake on aika(s), toinen kiihtyvyys(m/s^2), kolmas nopeus(m/s), neljäs nopeus(km/h) ja viides matka(m).
4,00 5,00 20,00 72,00 40,00
5,86 3,60 27,78 100,0 84,78
13,9 2,05 48,78 175,6 400,0
Siis 0->100km/h kestää 5,86s, ja 0->400m kestää 13,9s. Tällöin nopeus on jo 175,6 km/h.
Nämä aika reuhakkaat arvot johtuvat osin siitä, että liikevastukset oletettiin nollaksi. Tällä oletuksella nopeus kasvaa ajan myötä rajatta, samaan tahtiin kuin SQR(t).
199. Matti5.2.2011 klo 18:55
Kuulantyöntötehtävässä Jaska pohdiskeli 27.1.2011 klo 22:42, että osuuko kuulan radan pisin kaarenpituus samalle lähtökulmalle kuin työnnön maksimipituus.Laitoin Excelin töihin ja osoittautui, että aivan näin ei asia ole. Tulos 20 m saavutettiin, kun kuula lähti kädestä 42,2 asteen kulmassa. Kaarenpituus on tällöin 31,85 m. Maksimi kaarenpituus 32,10 m saavutetaan, kun lähtökulma on 46,8 astetta. Tulos on tällöin 19,72 m.
Jos kuula lähtee maanpinnalta, maksimitulos on 18,10 m, ja siihen johtaa tunnetusti 45 asteen lähtökulma. Kaarenpituus on silloin 28,75 m. Maksimi kaarenpituuden 28,99 m puolestaan antaa 49,2 asteen lähtökulma. Tulos on nyt 17,90 m.
Kuulan lähtönopeus on aina 13,325 m/s.
Viimeistään nyt on mielenrauha saavutettu.
200. Jaska5.2.2011 klo 21:38
Kiitos! Melkoinen myllerrys kopassa riehuikin, kun vastaus näin kauan kesti.Alkulukutehtäväni 2.2. tuskin aiheuttaisi havaittavia mielenliikkeitä missään ja milloinkaan, mutta esitän silti ratkaisun. Seuraava luku on 7573. Jono käsittää suuruusjärjestyksessä alkuluvut, jotka ovat kahden alkuluvun neliöiden summia. Toinen neliö on siis aina 4.
201. Matti7.2.2011 klo 02:20
Eipä kestä. Paraabeli on niitä harvoja käyriä, joiden kaarenpituudelle on olemassa analyyttinen lauseke. Ja sekin on vähän kinkkinen: integr sqr(1+(dy/dx)^2) dx.Olen vakuuttunut siitä, että Excelissä on valmiit rutiinit kaarenpituuden numeeriseen laskemiseen. Niiden hakeminen oli minulle kuitenkin vaikeampaa kuin analyyttisella lausekkeella ratkaiseminen (ja kenties mahdotonta).
Hei kaikki, löytyykö Excelistä keinot käyrän kaarenpituuden laskemiseen?
202. Jukkis7.2.2011 klo 08:10
No tuskin löytyy valmiina.
203. Olavi Kivalo7.2.2011 klo 10:54
Tässä putsle, joka ei edellytä kuin kertolaskutaitoa ja jonkinlaista päättelykykyä.Jaa paperi kolmeen pystyriviin ja kirjoita ensimmäiseen 2, toiseen 3 ja kolmanteen näiden tulo 6. Jatka tästä valitsemalla kaksi lukua aina kahdelta eri pystyriviltä ja kirjoita niiden tulo jäljelle jäävälle pystyriville. Esim 2x6=12 kirjoitetaan riville 2 ja 3x6=18 kirjoitetaan riville 1 jne.
Kysymykset:
- Mitä muotoa luvut ovat?
- Voiko sama lukua ilmaantua useammalle kuin yhdelle riville?
- Mitkä näistä luvuista eivät koskaan ilmaannu?
204. Jukkis7.2.2011 klo 11:07
Mulla ainakin tyssää heti siihen että en ymmärrä, mitä tarkoittaa "Jaa paperi kolmeen pystyriviin". Mikä on "pystyrivi"?Tai no, KVG kertoo että kenties tuo saattaa olla sama kuin sarake.
Ja vissiin jatkossa sana "rivi" ei tarkoita riviä, vaan "pystyriviä" eli saraketta?
205. Olavi Kivalo7.2.2011 klo 11:26
Päättelykykyä löytyy. Nyt vielä kertolaskutaitoa.
206. Jaska7.2.2011 klo 14:13
Eka ohje osui ymmärrykseen, jatko meni sen yli. Kysymyksistä vika vielä korkeammalta. Ilmaannu? Mihin??
207. Olavi Kivalo7.2.2011 klo 15:15
Sarakkeet muodostuvat esim seuraavanlaisiksi2 3 6
18 12 24
72 48 96
1152 108 216 jne
Ei ole väliä missä järjestyksessä kertolaskuja suorittaa.
Mitähän käsittämätöntä voi olla verbissä ilmaantua? Luku 24 ilmaantuu kolmannen sarakkeen toiselle vaakariville kertolaskun 2x12 seurauksena. Sen vaihtoehtona samaan kohtaan voi ilmaantua luku 54 kertolaskun 3x18 seurauksena. Sen jälkeen kun on selvittänyt mitä muotoa kertolaskujen seurauksena muodostuvat luvut ovat, voi yrittää päätellä, mitkä näistä luvuista eivät koskaan ilmaannu mihinkään kohtaan.
208. Jaska7.2.2011 klo 21:28
Ahaa. Ilmaantua = merkitä, kirjoittaa "kertalaskun seuraus" eli kahden luvun tulo valinnaiseen kohtaan. Esmerkissä näkyvissä olevat tulot 6:sta alkaen ovat määrättyä muotoa, mutta niihin sisältyy myös sellaisia kahden luvun tulokombinaatioita, jotka eivät täytä muotoehtoa? Esimerkiksi 3*18 = 54, niinkö?
209. Olavi Kivalo7.2.2011 klo 22:18
Jos päättää kirjoittaa toiseen sarakkeeseen toiselle vaakariville 2x24=48, niin voi kirjoittaa kolmanteen sarakkeeseen, jollekin myöhemmälle vaakariville, 3x18=54. Kunhan kirjoittelee ja yrittää päätellä, mitkä ovat vastaukset esitettyihin kysymyksiin. Ja tosiaan toinen kysymyksistä voidaan täsmentää muotoon:Voiko sama luku ilmaantua kertolaskun seurauksena useampaan kuin yhteen sarakkeeseen?
Sori jos ja kun tehtävän määrittely ei ollut riittävän selkeä heti. Olisiko nyt?
210. Matti7.2.2011 klo 22:30
Luvut ovat muotoa(2^m)*(3^n). Eka sarakkeessa m on aina pariton ja n parillinen. Toka sarakkeessa m on aina parillinen ja n pariton. Kolmannessa sarakkeessa sekä m että n ovat parittomia. Näillä rajoituksilla kaikki m:n ja n:n kombinaatiot esiintyvät. Mutta m ja n eivät koskaan voi molemmat olla parillisia. Päättely on suht. ylsinkertainen, ja muistuttaa induktiotodistusta.
211. Matti7.2.2011 klo 22:32
Niin, ja tuosta myös seuraa, että mikään luku ei voi esiintyä kahdessa sarakkeessa.
212. Olavi Kivalo7.2.2011 klo 22:39
Siinäpä täydellinen ratkaisu.
213. Antti14.2.2011 klo 08:15
Mikä on seuraavan jonon n:s jäsen?2/3, 0, 3/4, 0, 4/5, 0, 5/6, ...
214. Jukkis14.2.2011 klo 12:05
Esim.[1-exp(i*n*pi)]*(n+3)/(2n+10)
Tuosta tosin tulee esim. 3:nneksi termiksi 12/16, joka sitten pitää supistaa 4:llä. Kuten kaikki muutkin termit pitää supistaa.
Suoraan supistetut arvot antaa tämä:
{[1-exp(i*n*pi)]/2}*[(n+3)/2]/[(n+5)/2]
215. Antti14.2.2011 klo 12:21
Hyvä, Jukkis. Jälkimmäisen hakasulkulausekkeen lyhyt muoto on [(n+3)]/[(n+5)]
216. Antti14.2.2011 klo 12:21
Hyvä, Jukkis. Jälkimmäisen hakasulkulausekkeen lyhyt muoto on [(n+3)]/[(n+5)]
217. Antti14.2.2011 klo 12:25
(Koneeni hidastellessa painoin kahdesti Lähetä-nappulaa.)
218. Jukkis14.2.2011 klo 12:34
Jos halutaan suoraan supistettu arvo, niin kyllä ne hakasulkulausekkeet pitää olla niinkuin ne laitoin.Tuon parillinen/pariton -homman voi tietysti hoitaa myös -1:n potensseilla, jolloin tuo supistamaton lauseke on
[1-(-1)^n]*(n+3)/(2n+10)
Parempihan tuo on kuin eksponenttifunktion käyttö.
219. Antti14.2.2011 klo 13:53
Niin. Tavoittelin vain matemaattisen muodon yksinkertaisuutta.
220. Jukkis14.2.2011 klo 13:59
Juu, yksinkertaisuudesta tämmöisiin se kauneus tulee.Mahtaakohan tähän löytyä yksinkertaisimpaa lauseketta kuin tuo 12:34 laittamani?
221. Antti14.2.2011 klo 15:39
Yksinkertaisimman esitit.
222. Antti16.2.2011 klo 16:42
a(1) = 1a(j) = neliöjuuri(3*a(j-1)), j = 2,3, ...
Mikä on jonon raja-arvo? Olisi kiinnostavaa saada perustelusi.
223. Jukkis16.2.2011 klo 17:31
Jännä. Excelillä löytyi vastaus helposti, minkä jälkeen oli hyvä miettiä, että miksi vastaus on juuri se. Kakkosen potenssien käänteislukujen summa tuli vastaan.
224. Matti16.2.2011 klo 23:36
Jos merkitään lim a(n) = x, pätee x = sqr(3*x). Siitä x = 0 tai x = 3. Nolla ei kelpaa.(Ensin pitää tietenkin todistaa, että jono todella suppenee, ja vasta sitten hyväksyä raja-arvoksi 3. Itse asiassa on helppo osoittaa, että a(j+1)>a(j),
ja että a(j)<3, kaikille j:n arvoille. Suppeneminen seuraa tästä suoraan. Ylösrajoitettu monotonisesti kasvava jono suppenee. Raja-arvo on sup{a(j)}.)
225. Antti17.2.2011 klo 06:45
Matin hyvän tarkastelun lisäksi otan omani. Jokainen a(j) on 3:n potenssi a(2):sta lähtien. Eksponentit ovat:1/2,
(1+1/2)*1/2 = 1/2 + 1/4,
1/2 + 1/4 + 1/8,
...
Näitten raja-arvo on 1.
Siis jonon raja-arvo on 3^1 = 3.
226. Jukkis17.2.2011 klo 06:56
Istahdin tähän kirjoittamaan omaa versiotani, mutta Anttihan sen ehti tuohon laittaa.Lisätehtävä: Mikä on kätevin tapa osoittaa, että
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1?
227. Antti17.2.2011 klo 08:22
S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...2S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
2S - S = 1
S=1
228. Jaska17.2.2011 klo 11:22
Yksinkertainen on mielestäni myös:1 + 2 + 4 + 8 + 16 ... + 2^n = 2^(n+1) - 1
mistä seuraa: (n/2)/n + (n/4)/n + (n/8)/n.... + 1/n = (n-1)/n
Eksponentin n kasvaessa äärettömään (n-1)/n = 1
229. Matti17.2.2011 klo 12:19
Aika suoraan saadan myös suppenevan geom. sarjan summakaavasta: S=½/(1-½)=1.Graafisesti: Piirretään yksikköneliön puolikas (sivut 1 ja ½), sen pitkälle sivulle puolikkaan puolikas, sinne nurkkaan puolikkaan puolikkaan puolikas jne. Yksikköneliöhän siitä tulee.
230. Olavi Kivalo23.2.2011 klo 09:03
Seuraavalla tavalla voi tuottaa jaksollisia lukujonoja, joilla on mielenkiintoisia piirteitä. Otetaan mielivaltainen kokonaisluku n (sanotaan n=71). Sen numeroiden summa on s (tässä s=7+1=8). Muodostetaan uusi luku m=n+s, jos s on parillinen (tässä m=71+8=79) tai m=n-s, jos s on pariton. Iteroidaan eli pannaan n=m (tässä n=79) ja jatketaan kunnes jaksollisuus ilmenee. Tehdään johtopäätöksiä jaksollisuuden piirteistä.
Jaksollisuuden ilmenemistä ja sen piirteitä voi tutkia muuttamalla alkuehtoa. Kaikki lukujonot alkuehdoilla n<71 antavat jaksollisuudeksi triviaalin 0,0,0,0,...
Millä alkuehdoilla päädytään aina samaan jaksoon?
Mikä on kunkin jakson sisäinen lainalaisuus?
Onko erilaisten jaksojen välillä säännönmukaisuutta?
Esim alkuehdolla n=71 päädytään jonoon
71,79,95,109,119,108,99,117,108,99,117,108,99,117, ...
231. Jaska23.2.2011 klo 13:21
Luvulla 71 on siis kriittinen massa, joka mahdollistaa ketjureaktion onnahtelevahkoa vertausta käyttääkseni.91 ja 101 jonon ekana päädytään samaan jaksollisuuteen 108, 99, 117. En viitsi kokeilla enempää, joten rohkea arvaus: ekan pitää olla ykköseen päättyvä ja numeroiden summan parillinen.
232. Jaska23.2.2011 klo 13:45
Olisi pitänyt hiukkanen, vaikkapa vain protoni, funtsia ennen arvaamista. Ei tietenkään pidä olla parillinen summa. Nääs 111 - 3 = 108, siis samaan päädytään.
233. Olavi Kivalo23.2.2011 klo 18:02
Jos lainataan kaaosteoriasta termiä attraktori, saadaan vertaus, joka ehkä onnahteleikse vähemmän. Voidaan sanoa: alkuehdolla 71 lukujono ajautuu attraktoriin 108,99,117. Seuraavaksi samaan attraktoriin ajaudutaan alkuehdoilla 77,79,80,86 jne. kun taas alkuehdoilla 72,73,74,75 jne ajaudutaan nolliin.Jaskan löytämä alkuehto 99 on erityinen, koska siitä lähtien kaikki alkuehdot johtavat ei-triviaaliin attraktoriin. Alkuehdoilla 99...169 attraktori on tuo 108,99,117, mutta alkuehdolla 170 se onkin 198, 216, 207.
Aiemmin esittämissäni kysymyksissä sanan 'jakso' voi siis korvata halutessaan sanalla 'attraktori'.
234. Olavi Kivalo23.2.2011 klo 18:07
Tarkemmin katsoen Jaska ei katsonutkaan tarkemmin alkuehtoa 99. Ja arvauksensa oli tosi rohkea. Tosin väärä, kuten nähdään.
235. Matti25.2.2011 klo 00:11
Ihan mielenkiintoista. Attraktoreita on aika helppo sommitella. Yksilukuisia attraktoreita on vain yksi: {0}, ja kaksilukuisia ei ole lainkaan (?). Kolmelukuisia ovat mm. seuraavilla luvuilla alkavat: 108, 207, 306, ... ,801. Attraktorin muut kaksi lukua saadaan jatkamalla kehitelmää. (Alkuehdosta käytän sanaa luku, ja sanon, että attraktori lumoaa luvun, jos luku lopulta johtaa ko. attraktoriin, ja lukittuu siihen.)Luvun 900 lumoaa nelilukuinen attraktori {999, 972, 990, 1008}
Avoimia kysymyksiä jää paljon. Millainen on kaikkien attraktoreiden joukko? Lumoaako jokaisen luvun jokin attraktori, vai voiko jonkun luvun kehitelmää jatkaa loputtomiin, ilman että mikään attraktori sitä lumoaa? Ja ennen muuta, miten löydetään se lukujoukko, jonka jokin annettu attrakrori lumoaa?
236. Matti25.2.2011 klo 00:18
Viel'ä: mikä on suurin luku jonka {0} lumoaa? 98? Vai onko {0}:n lumoamissa suurinta lukua?
237. Olavi Kivalo25.2.2011 klo 20:32
Matin kysymyksiin vastaaminen ei onnistu vain laskennallisesti vaan vaatii teorian. Minulla ei ole teoriaa tähän hätään, mutta joitakin säännönmukaisuuksia on suhteellisen helppo löytää. Esim. mikä saa tietyt lukujonot vääjäämättömästi ajautumaan nollaluuppiin?
Yksi- ja kaksinumeroiset luvut (alkuehdot) tuottavat lukujonoja, joihin ilmaantuu jossain vaiheessa luku 9 tai sen monikerta 18, 27, 36, ..., 81. Nämä muodostavat suunnatun graafin, joka päätyy nollaluuppiin. Esim. 63 kaappaa ympäriltään kaikki parilliset luvut 70, 72, 74, 76, 78. Kuitenkin jotkut kaksinumeroisista pelastuvat. Nämä ovat 71, 77, 79, 80, 86, 88, 91, 93, 95, 97 ja 99. Ne pääsevät samaan silmukkaan joidenkin kolminumeroisten kanssa.
Luku 98 on suurin, joka joutuu nollaluuppiin. Vai oliko se niin, että se pääsee sinne.
238. Matti26.2.2011 klo 00:21
98 ajautuu nollaan, tietty. Mutta miksi se olisi suurin nollaan ajautuva luku? Ei sen puoleen, aivan hyvin se voi olla.Pääkysymys mielestäni edelleen on, että jos luvut kuvautuvat omiin attraktoreihinsa, niin mikä on kunkin attraktorin alkukuva? Varmaankin, kuten OK totesi, vastauksiin vaadittaisiin teoria. Onko sellaista? Voi hyvin ollakin.
239. Olavi Kivalo26.2.2011 klo 10:37
Yksi- ja kaksinumeroiset luvut muodostavat puun. Sen juuri on nollaluuppi, josta lähtee runko, jonka solmuja ovat numero 9 ja sen monikerrat numeroon 81 saakka. Jokaisesta solmusta lähtee joukko haarattomia oksia. Numerot 1,3,5 ja 7 kiinnittyvät suoraan juureen. Voidaan ajatella, että juuri imee noista juurivesoista, rungosta ja oksista sen mitä se tarvitsee pyöriäkseen ikuisesti.Selitys sille, että edellä luettelemani kaksinumeroiset luvut 71, 77, 79 jne eivät ole tämän puun oksistossa, on ilmeisesti siinä, että kukin niistä tuottaa kolminumeroisen luvun ja siirtyy sitä kautta kolminumeroisten graafiin, joka ei maadotu. Jaskan analogia kriittiseen massaan on tässä suhteessa ihan kelpo. Mutta luvun suuruus yksin ei määritä ’kriittistä massaa’. Jos jatketaan analogiaa, niin luvulla on oltava pikemminkin jotain entalpian tapaista potentiaalia faasinmuutokseen. Tätä potentiaalia ei ole esim. luvulla 98, joka jämähtää oitis lukuun 81, ja on korkein maadotettu luku.
240. Olavi Kivalo28.2.2011 klo 22:58
Luvulla 9 on keskeinen rooli tässä prosessissa. Laskin yksinkertaisella ohjelmalla joukon silmukoita, joihin luvut ajautuvat. Silmukoissa on 3 tai useampi solmu ja nämä ovat aina 9:n monikertoja. Esim luku 10000 ajautuu silmukkaan 9999,10035,10026,10017,10008,9999. Lisäksi silmukan kunkin solmun numeroiden summa näyttäisi olevan 9 tai sen parillinen monikerta.Kun alkuehtona oleva luku kasvaa, solmujen lukuarvot kasvavat, mutta säännönmukaisuutta sotkee samanaikaisesti kasvava solmujen lukumäärä silmukassa. Kuitenkin näyttää, että jollain ponnistuksella yleinen lainalaisuus olisi löydettävissä.
241. Olavi Kivalo1.3.2011 klo 14:18
Seuraava lainalaisuus löytyi.Kaikki kolmisolmuiset silmukat sadaan yläkolmiomatriisista
a(n,k) = 9(n*10^2+k*10+k), n=0,1,2,...,7, k=1,2,3...,8, k>n.
a(n,k) on solmun alin luku. Solmun kaksi muuta lukua saadaan tästä seuraaavasti:
b(n,k) = a(n,k)+18
c(n,k) = b(n,k)-9
Tämän perusteella ei vielä löydy korkeinta lukua, joka jämähtää kolmisolmuiseen silmukkaan, mutta korkein luku, joka esiintyyy kolmisolmuisessa silmukassa on b(7,8)=7110.
242. Olavi Kivalo2.3.2011 klo 08:36
Voisitko Matti avata vähän seuraavaa:"Pääkysymys mielestäni edelleen on, että jos luvut kuvautuvat omiin attraktoreihinsa, niin mikä on kunkin attraktorin alkukuva?"
Yritin tuottaa silmukoita (attraktoreja) lähtien liikkeelle yksinumeroisten lukujen permutaatioista ja asettamalla ehdot:
permutaatiot ovat 9:n monikertoja ja permutaatioiden numeroiden summa on jaollinen 18:lla. Kaikki kolmi- tai useampisolmuiset attraktorit näyttävät muodostuvan, mutta myös koko joukko muita lukuja.
243. Matti2.3.2011 klo 12:23
Jonkin attraktorin alkukuva on niiden lukujen joukko, jotka ajautuvat ko attraktoriin.Esim attraktorin {99, 117, 108} alkukuvaan kuuluvat ainakin luvut {71, 77, 79, 80, 86, 99 - 169, 171 - 175, 177}. Varmaan siihen kuuluu vielä muitakin lukuja.
"Triviaaliattraktorin" {0} alkukuvaan kuuluvat ainakin luvut
{0 - 70, 72 - 76, 78, 81 - 85, 87 - 98}. Voi siihen kuulua vielä muitakin lukuja. Mutta seuraava, jos sellaista on, on suurempi kuin 178.
244. Matti2.3.2011 klo 13:06
Yhdeksiköillä näyttää todella olevan päärooli tässä leikissä. Jokainen luku 10^n - 1 generoi samanlaisen attraktoreiden joukon yläkolmiomatriisin kuin minkä OK esitti yllä tapauksessa n = 2. Attraktoreita on aina 36 kpl, ja lukuja kussakin attraktorissa on n + 1 kpl. Ylimmälle vaakariville tulee luvun 10^n - 1 monikerrat, kertoimina 1, 2, ... ,8. Pystyrivit rakennetaan analogisesti tapauksen n = 2 mukaan, ja diagonaalista voidaan tarkastaa, että analogia tapauksen n = 2 diagonaalin kanssa säilyy. (Yksi komplikaatio: kun n on pariton, matriisin luvut eivät välttämättä ole attraktoreita, mutta ovat lukuja jotka ajautuvat tähän positioon kuuluvaan attraktoriin. Kun n on parillinen, ko komplikaatiota ei ole.)Voi olla, että tällä konstruktiolla saadaan kaikki mahdolliset attraktorit. Mutta tämä on vain arvaus.
245. Jaska2.3.2011 klo 16:35
0, 25, 330, 4454, 55555, 666687, ?
246. Olavi Kivalo2.3.2011 klo 21:38
Pitäisi kai puhua funktion alkukuvasta. Siis sen funktion, jonka toteuttamassa kuvauksessa kokonaislukujen tietty osajoukko (alkukuva) kuvautuu tietyn attraktorin määrittelemälle joukolle. Mutta koska funktio on tässä sanalliselta määrittelyltään sama kullekin attraktorille (lisätään jos parillinen, vähennetään jos pariton), voitaneen puhua funktion alkukuvan sijasta attraktorin alkukuvasta.Nollaluupin, yksisolmuisen silmukan, triviaaliattraktorin alkukuva on mielestäni (ehkä) jo määritelty. Se on
{0 - 70, 72 - 76, 78, 81 - 85, 87, 89, 90, 92, 94, 96, 98}
Kuinka tätä joukkoa voisi luonnehtia yleispätevästi eli tavalla, joka pätisi muihinkin alkukuviin? En keksi muuta tapaa juuri nyt kuin sen, että se on kokonaislukujen joukko 0<=n<=99, johon eivät kuulu ne luvut, jotka kuvauksen aikana tulevat kolminuumeroiseksi (saavat arvon n>99).
Esim 86->100->99->117->108->99.
Muuten viestini 1.3. oli varomaton. Pitää sanoa: ”Alimmat kolmisolmuiset silmukat saadaan...” Niitä on nimittäin lisää, ja 7110 ei ole korkein luku, joka esiintyyy kolmisolmuisessa silmukassa. Saanen korjata tämän tuonnempana.
247. Jaska4.3.2011 klo 11:31
Toissapäiväisen jononi arvaan ohitetun vilkaisulla, joten ratkaisu: 77777849, 0 -> 0/9 = 0
99, 117, 108, 99 -> (117 + 108)/9 = 25
999, 972, 990, 1008, 999 -> (972 + 990 + 1008/9 = 330
jne.
248. Jaska4.3.2011 klo 12:20
Siis ...1008)/9
249. Antti14.3.2011 klo 04:47
Seuraavassa on lukujonon 10 ensimmäistä sadasosan tarkkuuteen pyöristettynä. Mikä on n:s jäsen?1,00; 4,17; 9,60; 17,36; 27,48
40,00; 54,94; 72,33; 92,18; 114,50
250. Matti14.3.2011 klo 15:57
Näyttäisivät olevan kolmannen asteen polynomin peräkkäisiä arvoja.
251. Antti14.3.2011 klo 19:48
Silloin argumentin arvoja ei ilmeisesti ole ajateltava otetun tasavälein. Ehdotan toistenkin vaihtoehtojen hakemista.
252. Matti14.3.2011 klo 21:03
Arvaukseni tarkoitti nimenomaan polynomin arvoja peräkkäisillä kokonaisluvuilla. Eihän siinä muuten olisi järkeä. Mutta näköjään arvaukseni ei osunut kohdalleen.
253. Olavi Kivalo15.3.2011 klo 15:47
Tekstiä flunssan kourissa. Palautetaan mieliin yksinkertainen prosessi: Otetaan mielivaltainen luku. Jos sen numeroiden summa on positiivinen, lisätään summa lukuun. Jos sen numeroiden summa on negatiivinen, vähennetään summa luvusta. Jatketaan tätä rataa. Ennemmin tai myöhemmin luku jää pyörimään silmukkaan.Silmukassa voi olla solmuja mahdollisesti mikä määrä tahansa paitsi kaksi. Näyttää siltä, että silmukoita, joissa on pariton määrä solmuja, on kutakin ääretön määrä. Kun solmuja on parillinen määrä, silmukoiden määrä on mahdollisesti äärellinen. (Olen löytänyt vain yhden 4-solmuisen silmukan: 972->990->1008->999->972. Ehkä niitä on lisää).
Kaikki 3-solmuiset silmukat ovat muotoa P->Q->-R->P, jossa P on silmukan alin luku ja sen numeroiden summa on 18, kun taas Q:n ja R:n numeroiden summat ovat 9. Kuitenkaan kaikki luvut, joiden numeroiden summa on 18, eivät ole 3-solmuisten silmukoiden solmuja. Niitä esiintyy myös 5-solmuisissa kuten 1962->1980->1998->1971->1989->1962. Kaikki 5-solmuiset silmukat muutamia anomalioita lukuunottamatta ovat muotoa P->Q->-R->S->T->P, jossa P on silmukan alin luku. P:n, Q:n ja S:n numeroiden summat ovat 18, kun taas R:n ja T:n numeroiden summat ovat 27. Muutamissa 5-solmuisissa P:n numeroiden summa onkin 36 ja muiden 9, kuten silmukassa 9999->10035->10026->10017->10008->9 999.
Ehdotan 3-solmuisten silmukoiden yleiseksi esitykseksi seuraavaa.
P = 9p = 9*Summa(n=0...N)[10^n*k(n)], jossa N on mielivaltaisen suuri luku.
Lukuja k(n) koskevat seuraavat rajoitteet
k(0) = 1...8
k(1) = k(0)
k(2) = 0...k(1)-1
k(n) = 0...k(n-1), kun n>2
Esim.
k(0)=2->k(1)=2->k(3)=0...1->k(4)=0...1-&g t;k(5)=0...1, jne loputtomiin
p=2+10*2+10^2*0+10^3*0... = 0022
p=2+10*2+10^2*1+10^3*0... = 00122
p=2+10*2+10^2*1+10^3*1+10^4*0... = 01122
etc.
-> P=198, 1098, 10098, etc.
Vastaava esitys on laadittavissa useampisolmuisille.
254. Matti15.3.2011 klo 20:11
OK:lla pieni lapsus eka kappaleessa: "jos numeroiden summa on positiivinen", p.o. parillinen, ja "negatiivinen" p.o. pariton.Tämä on siis jatkoa "Olavi Kivalo 23.2.2011 klo 09:03"
255. Olavi Kivalo15.3.2011 klo 20:41
Kiitos Matti. Pannaan flunssan piikkiin.Täydensin minkä lupasin.
256. Matti16.3.2011 klo 00:28
OK, löytyi toinenkin nelisolmuinen:99 999 999 999
99 999 999 900
99 999 999 819
99 999 999 909
99 999 999 999
Aika kaoottiselta systeemi todella vaikuttaa. Yhdeksikkö on avainroolissa. Jos ysejä on yli yhdeksän, lainalaisuudet menevät uusiksi.
257. Olavi Kivalo16.3.2011 klo 20:03
Tästähän aukesi uusi avaruus. Nelisolmuisia onkin ääretön määrä. Jokainen seuraavista luvuista on omassa 4-solmuisessa silmukassaan:
(10^n) - 1, jossa n=11, 21, 31, 41, 51, ..., 101, etc.
Lisäksi näiden lukujen välimaastossa on lukuja, kuten 10^m, jossa esim m=33, 43, 53, 63, ..., jotka eivät ole silmukan solmuja mutta ajautuvat omiin 4-solmuisiin silmukoihinsa. Toisin sanoen on löydettävissä lukuja (10^m) - a, jossa a>1, jotka ovat näiden silmukoiden solmuja. Esimerkiksi (10^33)-3007->(10^33)-2719->(10^33)-2998-> ;(10^33)-2728->(10^33)-3007.
Ja mitä tähän äärettömyyskonjektuuriin tulee, Mattihan sitä jo ounasteli kättelyssä.
258. Antti17.3.2011 klo 09:16
Seuraavassa on lukujonon 10 ensimmäistä sadasosan tarkkuuteen pyöristettynä. Mikä on n:s jäsen?1,00; 4,17; 9,60; 17,36; 27,48
40,00; 54,94; 72,33; 92,18; 114,50
Ohje: Kannattaa hakea alemman asteen potensseja kuin kolmannen.
259. Olavi Kivalo17.3.2011 klo 10:11
Aloin ihmetellä kuinka suuri silmukka voi olla. Ilmeisesti on oltava jokin suurin solmuluku. (Silmukka, jossa on ääretön määrä solmuja, ei liene silmukka!)Etsiessäni nelisolmuisia nousi mieleen hypoteesi, että suurimmat silmukat olisivat juuri tätä harvinaisempaa tyyppiä, jossa solmuluku on parillinen, koska suurin osa silmukka-avaruudesta näyttäisi olevan niiden silmukoiden täyttämä, joissa on pariton määrä solmuja.
Esimerkiksi (10^65)-1 on solmuna silmukassa, jossa on 16 solmua ja (10^77)-1 silmukassa, jossa on 22 solmua.
260. Olavi Kivalo17.3.2011 klo 13:16
Antille: Lukuteoria on lähtökohtaisesti luonnollisten lukujen tutkimista. Lukujonot kuuluvat lähtökohtaisesti lukuteorian piiriin. Desimaaliluvut eivät valitettavasti tässä asiayhteydessä oikein herätä intohimoja, edes pyöristettyinä :-). Ainakaan minun.
261. Matti17.3.2011 klo 13:57
Arvelen, että silmukan koolla ei ole ylärajaa. Aina löytyy silmukka joka on suurempi kuin N, oli N mikä tahansa luku. Silti kaikki silmukat ovat äärellisiä.
262. Antti17.3.2011 klo 14:46
Koska jononi lukuteorian piiriin kuulumattomana ei ole ratkaisuun innoittava, julkistettakoon ratkaisu.a(n) = n^(2+1/17) sadasosien tarkkuuteen pyöristettynä.
Täytyypä hakea innoittavampaa ratkaistavaa.
263. Jaska17.3.2011 klo 14:55
Niin, nuo desimaalit ovat päässälaskunkin vinkkelistä vähän hankalahkoja...
264. Olavi Kivalo17.3.2011 klo 19:09
Lähtien luvusta (10^77)-1 on mahdollista laskea silmukan 21 muuta kokonaislukua päässälaskulla. Toisaalta 22-solmuisen silmukan etsiminen tyhjältä pöydältä päässä laskien on kuin pilvinen päivä.
265. Matti17.3.2011 klo 20:04
Onko ylipäätään inhimillisesti mahdollista löytää annetuille pyöristetyille luvuille kaava a(n) = n^(2+1/17).
KOMMENTOI