KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > LUKUJONO 9
6092. Lukujono 9
Matti17.3.2011 klo 20:10
Jatketaan numeropähkäilyjä täällä.(OK, jos on tarpeen, kopioinet ystävällisesti silmukka/solmu -aiheesta tähän sen verran, että keskustelu aiheesta voi jatkua ilman tarvetta vekslata Lukujojojen 8 ja 9 välillä.)
2. Olavi Kivalo17.3.2011 klo 21:02
Palautetaan vielä kerran mieliin yksinkertainen prosessi: Otetaan mielivaltainen luku. Jos sen numeroiden summa on parillinen, lisätään summa lukuun. Jos sen numeroiden summa on pariton, vähennetään summa luvusta. Jatketaan tätä rataa. Ennemmin tai myöhemmin luku jää pyörimään silmukkaan.Silmukassa voi olla solmuja mahdollisesti mikä määrä tahansa paitsi kaksi. Aloin ihmetellä kuinka suuri silmukka voi olla. Etsiessäni nelisolmuisia nousi mieleen hypoteesi, että suurimmat silmukat olisivat tätä harvinaisempaa tyyppiä, jossa solmuluku on parillinen, koska suurin osa silmukka-avaruudesta näyttäisi olevan niiden silmukoiden täyttämä, joissa on pariton määrä solmuja. Esimerkiksi (10^65)-1 on solmuna silmukassa, jossa on 16 solmua ja (10^77)-1 silmukassa, jossa on 22 solmua.
3. Jaska17.3.2011 klo 21:31
120, 144, 186, 204, 216, 246, 288, 300, 324, 342, ?
4. Olavi Kivalo18.3.2011 klo 11:31
Matti peräänkuulutti attraktoreiden alkukuvia. Nyt kun kaikki 3-solmuiset attraktorit on määritelty, voidaan yrittää määritellä niiden alkukuvat.Aiemmin on todettu, että yksisolmuisen silmukan 0->0 alkukuva on kokonaislukujen joukko, joiden arvo kuvauksen aikana ei ylitä ylärajaa 99.
Alimman 3-solmuisen silmukan 99->117->108->99 alkukuva on kokonaislukujen joukko, joiden arvo kuvauksen aikana ylittää alarajan 99, mutta ei ylärajaa 199.
Seuraavan 3-solmuisen silmukan 198->216->207->198 alkukuva on kokonaislukujen joukko, joiden arvo kuvauksen aikana ylittää alarajan 199, mutta ei ylärajaa 299.
Näyttää vaarallisen säännönmukaiselta. Jotta saataisiin kaikkien 3-solmuisten silmukoiden alkukuvien yhtenäinen määritelmä, täytyy tsekata, ettei ilmaannu anomalioita.
5. Antti18.3.2011 klo 21:58
Jaskan jonotehtävää en osannut ratkaista. Tässä tarjoan vaihtoehtoisen pulman niille, jotka eivät ole innostuneet puoleensavetäjiin, attraktoreihin.1, 4, 16, 36, 100, 144, 256, 324, 484, 784, ?
6. Jaska18.3.2011 klo 22:49
En malttanut jättää Antin jonoa tehtävänannon mukaisesti vain solmuista ja attraktoreista kiinnostumattomille, kun ratkesi vaihteeksi päässälaskulla: 900.Oma tehtäväni ei ratkea päässälaskulla, mutta ei sen ratkaisun päätteleminen ylivoimaista pitäisi olla. En siis anna lisävihjettä vielä tänään.
7. Antti22.3.2011 klo 13:20
Jaska selvitti päässälaskulla seuravasti rakentamani:q(n)=n^2
b(n)=n:s alkuluku
a(n)=b(n)-1
Tutkittava jono on q(a(n)).
Jaska, tehtäväsi ratkaisemiseksi onkohan vihjeen aika?
8. Jaska22.3.2011 klo 13:40
Helpotetaan ratkaisevasti. Kuudella jaolliset luvut voidaan jakaa neljään osajoukkoon, joista 17.3. esittämäni on yhden alku. Seuraavassa se uusintana sekä kahden muun jonon kymmenen ensimmäistä lukua. Neljäs joukko muodostuu luonnollisesti muista kuudella jaollisista.120, 144, 186, 204, 216, 246, 288, 300, 324, 342, ?
24, 48, 54, 84, 90, 114, 131, 168, 174, 233
36, 66, 78, 96, 126, 156, 162, 210, 222, 276
9. Antti22.3.2011 klo 18:48
131 ja 233 eivät ole kuudella jaollisia.
10. Jaska22.3.2011 klo 19:45
Hyvä, ainakin Antti on katsonut jonot läpitte!Jäipä siis kiireessä oikolukematta. Keskimmäinen jono uusiksi:
24, 48, 54, 84, 90, 114, 132, 168, 174, 234
11. Jaska27.3.2011 klo 20:20
Ratkaisun olisi pitänyt jo löytyä, jos se löytyäkseen oli. Siispä se ilmoitettakoon: 414 (ylimmän jonon seuraava luku).Neljännen osajoukon alkua ken viitsii vähän tutkailla, keksii varmasti kaikkien jonojen lukujen määräytymistavan:
6, 12, 18, 30, 60, 72, 102, 108, 138, 150 jne.
12. Wexi29.3.2011 klo 22:31
Sain tehtäväksi urkkia lukujonoa, joka alkaa seuraavasti:182818xxxxxxxxxxxxxx. Pitäisi saada selville 14 seuraavaa numeroa. Itsellä ei mitään hajua, ellei jono jatku jaksollisena: ....281828.. jne.
Liittyy poikani harrastukseen (Geokätköily).
Arveluttavaa kysellä näin, mutta teen sen kuitenkin.
13. Jaska29.3.2011 klo 22:41
Nuohan ovat e:n 2-6. desimaalit. Siis:2,718281822845902353645Ellei tästä ole kyse, niin vaikeaa on.
14. Wexi29.3.2011 klo 22:48
Jaska, jos tuo natsaa, syvään kumarrus, ja tuhannet kiitokset joka tapauksessa.
15. Jaska29.3.2011 klo 22:48
Sori, siis 2-7. desimaalit ovat 182818.
16. Wexi29.3.2011 klo 23:08
Siis vielä yhesti tyhmänä: 2,718281822845902353645 saattaisi tepsiä?
17. Wexi29.3.2011 klo 23:21
No nyt tuli pieni muistuma. Kyse luonnollisesta logaritmista e.Neperin luku 2,718281828459045. Kiitti vinkistä Jaska. Näkkyypähän tepsiikö?
18. Jaska30.3.2011 klo 11:48
No niin, minun pötköni meni korjauksen jälkeen ihan pieleen, Wexillä oikein. Varmuuden vuoksi nyt oikeat 21 desimaalia, pitihän seitsemännen jälkeen kaivaa vielä 14 lisää?2,718 281 828 459 045 235 360
19. Wexi30.3.2011 klo 19:45
Noinhan se menee. Meni oma aika itsellä, kun kaivelin Neperin-lukua riittävillä desimaaleilla (yleensä 14 desimaalia).Apusi kuitenkin tärkeä, en ikunansa olisi yhdistänyt logaritmeihin.
(Varsinainen tarkoitusperä tarkistamatta, mutta tuntuu ajavan koordinaatit oikeaan suuntaan, kyseessä Geokätkömysteeri).
20. Antti3.4.2011 klo 09:25
-3, -2, -1, 2, 3, 10, 15, 26, 35, 42, 59, ?
21. Jaska16.4.2011 klo 23:26
Tämä jäi varmaan huomiotta noissa SM-tohinoissa. Minä kyllä olen sitä silloin tällöin silmäillyt keksimättä ratkaisua. Äsken kun olin jo mennyt koisimaan ja vaipunut horteeseen putkahti jostain alitajunnan syövereistä jatko 70, 89, 110, 131, 150, ja piti nousta se ylöspanemaan, jotta ei olisi yön aikana unohtunut!
22. Antti17.4.2011 klo 07:06
Jaska, kaiketi ajatuksesi oli mukana saadessasi tuloksesi. Horteesta lienee tullut yksi poikkeama seuraavasta jatkosta: 70, 87, 110, 131, 150, ...
b(j) = j:s alkuluku,
a(j) = j^2-2*b(j), j = 1, 2, 3, ...
23. Jaska17.4.2011 klo 11:28
Joo horteessa näpyttelyvirhe. Toki siinäkin tilassa osasin vähentää 169 - 82 = 87. Oudointa tässä on, että jo tehtävän ilmestymispäivänä kokeilin vähennystä toisista potensseista, mutta en nähnyt selvästi näkyvää P-tuplausta.Testinä (melkein) yhtä selvästi nähtävä:
2, 6, 19, 52, 107, 172, 259, 356, 567, 778, ?
24. Jaska18.4.2011 klo 12:47
Ei siis näkynyt idea tarpeeksi selvästi, kenties koska sen alku on tavallaan epälooginen. Seuraavasta korjatusta jonosta pitäisi näkyä verrattaessa sitä edelliseen:5, 11, 26, 61, 118, 185, 274, 373, 586, 799, ?
25. Jaska26.4.2011 klo 13:02
Ratkaisut: eka jono 1003, toka 1026.Kahden peräkkäisen alkuluvun tuloista 2*3, 3*5, 4*7 jne vähennetään lukujen 1, 2, 3.. .neliöt 1, 4, 9... Ekan jonon miinustuksilla oli siis "varaslähtö."
26. Olavi Kivalo7.7.2011 klo 20:16
Seuraava lukujono kuvaa lukusanoja (yksi, neljä, kaksi, ...), joista vierekkäisillä ei ole yhtään samaa kirjainta:1, 4, 2, 9, 1000, 3, 5, 10, 15
Samoin seuraava:
1, 1000, 3, 5, 10, 15, 4, 2, 9
Jonon voi aloittaa mistä tahansa luvusta. Luku saa esiintyä vain kerran. Olisiko pidempiä lukujonoja?
27. Jaska7.7.2011 klo 20:51
Jonojesi eteen 4000, ja sitten laillisia jatkoja:)
28. Matias-Myyrä7.7.2011 klo 21:27
Ymmärsinköhän minä (kännipäissäni) nyt jotenkin väärin?Noissa molemmissa jonoissa on peräkkäin kaksi ja yhdeksän, joissa molemmissa on k-kirjain.
29. Jaska7.7.2011 klo 22:18
Kuinkahan tarkka M-M onkaan selvänä:)Laillinen jono esim. 4000, 1, 1000, 3, 5, 10, 15, 2, 4004
30. Matias-Myyrä7.7.2011 klo 22:32
15 ja 2? Molemmissa on s-kirjain! (kumpikohan meistä on enemmän kännissä ;-D )
31. Jaska7.7.2011 klo 23:00
Molemmat umpikännissäkin oivallamme, että 4 putosi välistä!
32. Olavi Kivalo8.7.2011 klo 00:00
Tämä onkin kompa, joka on laadittu ja ratkaistaan kännissä. Jaskalla on 2, 4004. Molemmissa a.
Yhdeksän on maksimi tähän asti. Esim.
1004 (tai 4000 tai 4004), 1, 1000, 3, 5, 10, 15, 4, 2
33. Jaska8.7.2011 klo 12:41
Perustan kilpailuun uuden, avoimen sarjan, jossa jonon saa laatia myös selvinpäin. Seuraavassa täysi tusina:500, 10, 100, 3, 5000, 4, 5, 0, 1, 4000, 2, 4004
34. Matias-Myyrä8.7.2011 klo 13:13
4000, 2, 4004: kaikissa a-kirjain (tällä kertaa ihan selvinpäin)
35. Olavi Kivalo8.7.2011 klo 15:37
Jaska osallistui väärään sarjaan.
36. tsiisus!8.7.2011 klo 16:51
Jaa. Mää luulin, että tää on kinkeripiirin lukemisjono, tai todistajien raamattupiirin esikarsinnat.
37. Matti8.7.2011 klo 18:25
Jaska, korvaa 2->6, niin tusina on täynnä. (Vielä selvinpäin, siis kvalifioidun.)
38. Olavi Kivalo8.7.2011 klo 19:59
4000, 6, 4004: kaikissa u-kirjain.
39. Jaska8.7.2011 klo 20:52
Mulla näkyy olleen vielä aamulla krabbis, ja Matilla jopa illalla. Ja seuraavalla 13 luvun jonollakin osallistun varmuuden vuoksi avoimeen sarjaan, joka on sallittu vesiselvistä julkijuopuneisiin.15, 10, 100, 3, 5000, 4, 1000, 5, 4000, 1, 4004, 6, 0.
40. Jaska8.7.2011 klo 21:00
No menin vieläkin kuutoshalpaan. Ei syntynyt 13-jonoa. Kaksi vikaa pois, niin 11 lienee laillinen. Katsotaan, voiko jatkaa.
41. Jaska8.7.2011 klo 21:07
Yritetään tällä:6, 0, 5005, 10, 100, 3, 5000, 4, 1000, 5, 4000, 1, 4004
42. Jaska8.7.2011 klo 21:12
Kyllä nää näköjääm pitää kirjoittaa kirjaimin paperille ja syynätä kolme kertaa! Ei siis onnistunut.
43. Olavi Kivalo9.7.2011 klo 00:25
Tusina on tiukassa. Tässä minun 11-versioni:2, 4, 105, 3, 100, 10, 5, 1000, 1, 0, 6
44. Jaska9.7.2011 klo 00:39
Kun jaksoi ottaa tarpeeksi, onnistui laillinen tusinakin lopulta.Duaaleja löytyy. Enempikin lie mahdollista.
kuusi - 6
nolla - 0
yksi - 1
neljätuhatta - 4000
viisi - 5
tuhat - 1000
kolme - 3
satatuhatta - 100000
kymmenen - 10
sata - 100
neljä - 4
kaksi - 2
45. Olavi Kivalo9.7.2011 klo 23:37
Tusina lienee maksimi. Onnitteluni Jaskalle selvinpäin-sarjan kärkitilasta ja mahdollisesta voitosta. Kännissä-sarjan maksimihan on (selvästi) 11. Julistan itseni sen voittajaksi, koska Jaskan epäillään olleen selvä.
46. Antti4.8.2011 klo 10:15
Seuraavassa on viiden suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Mikä on seuraavan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa?13, 17, 35, 73, 97
47. nassakka4.8.2011 klo 18:59
203
48. Antti4.8.2011 klo 19:28
Oikein. Kaikkien pitemmän kateetin mitta ylittää lyhyemmän mitan 7 yksiköllä. Kysytyn kolmion sivut ovat 140, 147 ja 203.
49. Matti4.8.2011 klo 21:13
Sitten tulevat 425, 565 ja 1183. Hei, löytyykö näitä muuten kuin kokeilemalla?
50. Jaska4.8.2011 klo 23:43
No esim. yksi saletti tapa on kertoa seitsemällä tapaukset, joissa kateetit ovat peräkkäisiä kokonaislukuja. Jonossahan niitä jo onkin: 3-4-5, 20-21-29, ja Matin löytämä 119-120-169. Eri juttu on sitten, löytyykö näitä muuten kuin koklaamalla. Täytyy katsoa paremmalla ajalla, samoin kuin myös kateettien n+7 tapaukset hypotenuusan ollessa alkuluku.
51. Antti5.8.2011 klo 11:33
Arvojen kasvu näyttää olevan aluksi likimain [30%, 100%] välillä. 203, 425, 565, 1183, 2477, 3293, ...
52. Olavi Kivalo16.8.2011 klo 10:32
Vuoden 2010 alussa Suomen kaupunkien kokonaismäärä oli 108. Nimetään kaupungit uudelleen siten, että nimet ovat 1,2,3,...,108. Nyt seuraa tehtävän määrittely. On tarkoitus matkata kaupungista toiseen niin, että kussakin kaupungissa käydään kerran. Sallittu matka on vain sellainen, jossa kaupunkien nimissä on ainakin yksi sama numero. Matkakustannus kaupungista toiseen on niiden nimien (lukujen) välisen erotuksen itseisarvo. Millä reitillä saavutetaan matkakustannusten minimi?
Esimerkki: Tehdään lyhyt kiertomatka, jossa tarkoitus on käydä ainakin kaupungeissa 1, 2 ja 3. Eräs reitti on 2-12-1-13-3 ja kustannukset 10+11+12+10 = 43. Tämä lienee minimi.
53. Jaska16.8.2011 klo 11:09
Pääsin tulokseen 185 niin simppelillä metodilla, että minimi on todennäköisesti pienempi.
54. Matti16.8.2011 klo 11:24
Tämä muistuttaa aika lailla klassista Traveling Salesman -ongelmaa, johon ei muistaakseni kovinkaan yksinkertaista algoritmia löytynyt. Olavi ja Jaska, älkää paljastako vielä ratkaisumenetelmiä, aletaan miettimään.
55. Jukkis16.8.2011 klo 12:00
Eka näppituntuma: Tuota Jaskan tulosta en usko, ei voi olla noin pieni. Pistäs tänne numerot, niin todetaan, missä kohdissa järjestys rikkoo tehtävän vaatimusta.
56. Jukkis16.8.2011 klo 12:30
Minä sain ekalla kokeilulla 421.
57. Jaska16.8.2011 klo 12:50
Jukkis oikeassa. Mulla meni pikaisesti pieleen!
58. Jaska16.8.2011 klo 13:15
Korjattu on, mutta yhteenlasku odottakoon lenkiltä tuloa.
59. Jukkis16.8.2011 klo 13:45
Sainpa vähän nipistettyä: 406.
60. Matias-Myyrä16.8.2011 klo 15:28
Minulla oli eka versio pitkälti toista tuhatta. En laskenut loppuun asti. Nyt sain alustavan tarkistamattoman laskelman noin kymmenennestä versiosta: 402.
61. Jukkis16.8.2011 klo 15:39
No vielä sain omistani pari pois: 404.
62. Matias-Myyrä16.8.2011 klo 15:42
Tarkistuslaskenta antoi saman tuloksen 402. Uskoisin sen olevan oikein, mutta ei vielä välttämättä minimi.
63. Antti16.8.2011 klo 15:53
Näytti tulevan 362. Tarkistanut en ole.
64. Jukkis16.8.2011 klo 15:59
362, oho. Uskoiskohan? Kannattaa tarkistaa.
65. Antti16.8.2011 klo 16:09
Tarkistuslaskenta antoi 361.
66. Jaska16.8.2011 klo 16:19
Äsken lenkillä hapettunein aivoin ynnäilin oman jononi, ja taatusti oikea summa on 401. Nyt ryhdyskentelen tutkailemaan Antin tulokseen yltämistä vai pitäisikö sanoa altamista.
67. Matias-Myyrä16.8.2011 klo 16:21
Minun uusin versioni antoi tulokseksi 393.
68. Jaska16.8.2011 klo 16:30
Ynnäykseni olivat oikein, mutta niitä edeltävissä miinustuksissa oli virhe +2. Summa on siis -2, joten tulokseni on 399. Nyt puhdistautumaan epäilyksistä Antin tuloksen suhteen.
69. Jaska16.8.2011 klo 16:32
M-M kehtasi sillä välin alittaa, joten ihan enste on yritettävä samaan.
70. Matias-Myyrä16.8.2011 klo 16:37
Ja vielä vaan tippuu. Nyt tuli 386 (tarkistamaton).
71. Jaska16.8.2011 klo 19:49
Miinustuksistani löytyi toinenkin virhe, ikävä kyllä -10. Näin ollen joudun tyytymään tulokseen 409, jota tuskin pystyn petraamaan. Jokin ihme kikka Matias-Myyrällä ompi, ja Antin tuloshan on suorastaan magiaa.
72. Matias-Myyrä16.8.2011 klo 20:04
Minun tulokseni 386 on nyt moneen kertaan tarkistettu. En ole saanut enää yhtään tippumaan, vaikka olen kuinka pyöritellyt. Ihmettelen mistä Antti on löytänyt ilmaa 25 pistettä minun versiooni verrattuna.
73. Antti16.8.2011 klo 20:07
Annan lukuni huomenna. Pelottaa. Lieneekö väärin.
74. Matias-Myyrä16.8.2011 klo 20:31
Minä julkaisen ratkaisuni tunnin kuluttua, ellei joku siihen mennessä vaadi julkaisun lykkäämistä myöhemmäksi.
75. Matias-Myyrä16.8.2011 klo 21:36
No niin, tunti meni, eikä kukaan protestoinut julkaisuhaluani vastaan. Tässä siis ratkaisuni:Viiva numeroiden välissä tarkoittaa peräkkäisten lukujen sarjaa.
Suluissa olevat luvut ovat kyseisen rivin matkakustannuksia ed. rivin lopusta alkaen. Ne on tarkoitettu helpottamaan ratkaisun tarkastusta.
2 12 11 1 10 (30)
19 9 29 (39)
28 8 18 (31)
17 7 27 (31)
26 6 16 (31)
15 5 25 (31)
20-22 (7)
24 4 14 (32)
13 3 23 (31)
30-33 39-34 (21)
40-44 49-45 (19)
50-55 59-56 (17)
60-66 69-67 (15)
70-77 79 78 (13)
80-97 99 98 (20)
108-100 (18)
yht. 386
76. Jukkis16.8.2011 klo 22:43
Paitsi että 388.Ei
80-97 99 98 (20)
vaan
80-97 99 98 (22)
77. Matias-Myyrä16.8.2011 klo 23:02
Tuliko mulle virhe, kun minä lajittelin ratkaisun uudelleen lyhyemmiksi riveiksi. Tässä alkuperäinen, josta en nyt kaljapäissäni löydä virhettä (pitää tutkia uudelleen huomenissa):2 12 11 1 10 19 9 29 28 (70)
8 18 17 7 27 26 6 16 15 (93)
5 25 20-22 24 4 14 13 3 23 (98)
30-33 39-34 40-44 49-45 (40)
50-55 59-56 60-66 69-67 (32)
70-77 79 78 80-97 99 98 (35)
108-100 (18) = 386
78. Jukkis16.8.2011 klo 23:29
388. Usko jo.Sama virhe, mutta eri paikassa.
Ei
5 25 20-22 24 4 14 13 3 23 (98)
vaan
5 25 20-22 24 4 14 13 3 23 (100)
79. Jaska17.8.2011 klo 01:03
Viimeinen versioni:1, 10, 11, 12, 2, 20, 22, 21, 13, 3, 23, 24, 4, 14, 15, 5, 25, 26, 6, 16, 17, 7, 27, 28, 8, 18, 19, 9, 29, 32, 30, 31, 33, 34, 35, 36,
37, 38, 39, 43, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 54, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99, 98, 108, 107, 106, 105, 104, 103, 102, 101, 100.
Erotukset: 9, 1, 1, 8, 18, 2, 1, 8, 10, 20, 1, 20, 10, 1, 10, 20, 1, 20, 10, 1, 10, 20, 1, 20, 10, 1, 10, 20, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 4, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.
Yhteensä 379.
80. Wexi17.8.2011 klo 01:12
[jännää seurattavaa, vaikka jo Olavi Kivalon tehtäväasettelukin altisti migreenille. Mutta oikeasti mielenkiintoista seurata lopputulemaa.]
81. Antti17.8.2011 klo 05:05
108 107 106 105 104 103 102 101 100 _ _ 890 91 92 93 94 95 96 97 98 99 _ _ 19
89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 _ _ 19
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 _ _ 19
69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 _ _ 19
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 _ _ 19
49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 _ _ 19
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 _ _ 19
29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 _ _ 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 _ _ 19
9 19 18 8 18 17 7 17 16 6 _ _ 73
16 15 5 15 14 4 14 13 3 13 _ _ 73
12 2 12 1 _ _ _ _ _ _ _ _ 32
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 357
Äärimmäisenä oikealla on rivin kaupunkien yhteenlasketut välimatkat, alimmaisena edelliset yhteensä. Toinen tarkistamiseni antoi tämän tuloksen. Lieneekö virhettä?
82. Matias-Myyrä17.8.2011 klo 07:22
Antti, tehtävässä sanottiin, että kussakin kaupungissa käydään kerran. Siinä sinun virheesi!
83. Matias-Myyrä17.8.2011 klo 07:52
Jaska: Survaisin sinun numerosi taulukkolaskentaohjelmaan. Se antoi hieman erilaisen listan erotuksista ja lopputuloksen 385.Erotukset: 9, 1, 1, 10, 18, 2, 1, 8, 10, 20, 1, 20, 10, 1, 10, 20, 1, 20, 10, 1, 10, 20, 1, 20, 10, 1, 10, 20, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 4, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
84. Matias-Myyrä17.8.2011 klo 13:08
Kun otetaan yhdestä minun eilisestä versiostani alkupää ja Jaskan versiosta loppupää, saadaan yhteistyöllä (erotukset ja summa taulukkolaskennasta):2 12 10 1 11 13 3 23 24 4 14 15 5 25 26 6 16 17 7 27 28 8 18 19 9 29 22 21 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 43 40 41 42 44 45 46 47 48 49 54 50 51 52 53 55 57 58 59 56 60 61 62 63 64 65 66 68 69 67 70 71 72 73 74 75 76 77 79 78 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 99 98 108 107 106 105 104 103 102 101 100
Erotukset: 10 2 9 10 2 10 20 1 20 10 1 10 20 1 20 10 1 10 20 1 20 10 1 10 20 7 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 1 1 2 1 1 1 1 1 5 4 1 1 1 2 2 1 1 3 4 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1
Yhteensä: 382
85. Jaska17.8.2011 klo 17:57
Olin siis yöllä niin pöpperöinen, että vähensin 12-8 = 8. Onneksi en väittänyt tulosta oikeaksi. Olavi Kivalo voisi jo ilmoittaa minimin, jos se tiedossa on. 382 lienee sitä lähellä - tai on se!
86. Olavi Kivalo18.8.2011 klo 10:34
Minulla ei ole tiedossa kustannusta, joka olisi todistettavasti minimi. Kuitenkin luku, joka lienee minimi on hieman pienempi kuin 382. Siltä varalta, että tieto tästä kannustaisi yrittämään vielä, en paljasta tätä lukua vielä.
87. Jaska18.8.2011 klo 13:18
Seuraavan sain tosin vain yhdellä tarkastuksella vähän pienemmäksi:9, 19, 11, 1, 10, 12, 2, 20, 21, 22, 23, 3, 13, 14, 4, 24, 25, 5, 15, 16, 6, 26, 27, 7, 17, 18, 28, 29, 32, 30, 31... jatkuu kuten Matias Myyrän 282. 31:een saakka erotus on -4 M-M:n riviin, joten omani pitäisi olla yhteensä 278.
88. Matias-Myyrä18.8.2011 klo 14:01
Jaska: numero 8 puuttuu!
89. Matias-Myyrä18.8.2011 klo 14:13
Ilmeisesti 8 tulee 18 ja 28 väliin ja 32 pitää poistaa 31:n perästä.Minäpä tarkastan tämän taulukkolaskennassa.
90. Matias-Myyrä18.8.2011 klo 14:19
Jaskan mainitsemat 282 ja 278 piti vissiin olla 382 ja 378.Taulukkolaskenta antoi 14:13 korjausten jälkeen peräti 375.
91. Olavi Kivalo18.8.2011 klo 14:31
Luku, joka lienee minimi on 375.
92. Matias-Myyrä18.8.2011 klo 14:38
No sittenhän meillä lienee oikea ratkaisu. Laitan sen vielä selvyyden vuoksi tähän erotuksineen.Kustannukset: 9 19 11 1 10 12 2 20 21 22 23 3 13 14 4 24 25 5 15 16 6 26 27 7 17 18 8 28 29 32 30 31 33 34 35 36 37 38 39 43 40 41 42 44 45 46 47 48 49 54 50 51 52 53 55 57 58 59 56 60 61 62 63 64 65 66 68 69 67 70 71 72 73 74 75 76 77 79 78 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 99 98 108 107 106 105 104 103 102 101 100
Erotukset: 10 8 10 9 2 10 18 1 1 1 20 10 1 10 20 1 20 10 1 10 20 1 20 10 1 10 20 1 3 2 1 2 1 1 1 1 1 1 4 3 1 1 2 1 1 1 1 1 5 4 1 1 1 2 2 1 1 3 4 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1
Yhteensä 375
93. Olavi Kivalo18.8.2011 klo 14:47
Ratkaisuja on useampia. Tässä eräs.Järjestys: 108, 107, 106, 105, 104, 103, 102, 101, 100, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 90, 89, 88, 87, 86, 85, 84, 83, 82, 81, 80, 78, 79, 77, 76, 75, 74, 73, 72, 71, 70, 67, 68, 69, 66, 65, 64, 63, 62, 61, 60, 56, 58, 59, 57, 55, 54, 53, 52, 51, 50,
45, 47, 49, 48, 46, 44, 42, 40, 41, 43, 39, 38, 37, 36, 35, 34, 33, 31, 30, 32, 29, 9, 19, 18, 8, 28, 27, 7, 17, 16, 6, 26, 25, 5, 15, 14, 4, 24, 23, 22, 21, 20, 2, 12, 11, 1, 10, 13, 3
Kustannukset: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 20, 10, 1, 10, 20, 1, 20, 10, 1, 10, 20, 1, 20, 10, 1, 10, 20, 1, 1, 1, 1, 18, 10, 1, 10, 9, 3, 10
Yhteensä 375
94. Jaska18.8.2011 klo 19:28
Oli päivällä vähän hosu asioimaan, millä on hyvä puolustella 13:18 jonon virheitä. Oli se puuttuva kasi kyllä paperilla, josta tsekkasin, että jonossa on varmasti 32 ensimmäistä numeroa. Se kolkyttoka on siis 31. Jatkohan oli entinen siitä eteenpäin. Jonojen erotusten ynnääminen jäi päässälaskun varaan. En ole siinä näköjään enää niin hyvä kuin 60 vuotta sitten...Onneksi Matias-Myyrä todisti Excelin paremmuuden siinä hommassa, kiitos ja kunnia hänelle.
95. Matias-Myyrä18.8.2011 klo 19:32
Ei ole köyhällä varaa ostaa Exceliä. Ihan ilmaisella Open Officen laskurilla hoituu homma ihan yhtä hyvin. Kyllä varsinaisen ratkaisun kunnia kuitenkin kuuluu Jaskalle. Minä vain oioin pieniä virheitä.
96. Jaska18.8.2011 klo 23:10
No on se jaettava kuitenkin. Matias-Myyrähän havaitsetti, ettei ykkösellä ekana päästä minimiin.
97. Olavi Kivalo19.8.2011 klo 11:12
Kustannuksia aiheuttaa lähinnä yksinumeroisissa kaupungeissa käynti. Minimoinnin pääjuju on siinä kuinka niissä käyntinsä järjestää. Onnittelut onnistuneille, kiitokset osallistuneille.
98. Jukkis19.8.2011 klo 11:14
Tämä oli kyllä harvinaisen hyvä probleemi. Olin ihan varma, että saamani 404 on pakko olla pienin tulos. Noloa.
99. Wexi19.8.2011 klo 20:12
Seuraava ei ole mikään lukujono, mutta probleemi kuitenkin.Tekuaikana, ehkä -80, opettajamme antoi innokkaimmille pähkäiltäväksi tehtävän joka ei kuulunut meidän "ohjelmaan", ja isotöisyytensä vuoksi sopimaton kokeisiin. Itse ratkaisin sen yön pimeinä tunteina, etusormi punaisena (Silloin vielä kansakoulupohjainen pää toimi miten kuten).
Mielenkiinnolla seuraan onko mahdollista innokkuutta läsnäolijoilla:
On ympyrän muotoinen nurmikkoala. Ympyrän kehälle lyödään tappi pystyyn. Tappiin sidotaan naru. Naruun kytketään pässi. Pässi pystyy syömään nurmea täsmälleen narun pituudelta.
Mikä on Narun pituuden suhde ympyrän säteeseen (Narun pituus/r) silloin kun pässi pystyy syömään ympyrän pinta-alasta tasan puolet (50%)?
Sanotaan nyt vaikka kuuden desimaalin tarkkuudella.
100. Jaska20.8.2011 klo 00:07
Olen joskus jossain törmännyt tähän tehtävään, mutta en muista ratkaisua enkä jaksa nyt segmenttien pinta-alojen laskemista muistella. Aika pieni se suhde on, ei kovin kauas heittäne 1,15.
101. Wexi20.8.2011 klo 00:34
On aika lähellä, ilman pyöristyssääntöä vieläpä oikeat kaksiensimmäistä desimaalia.Kinkkistä (ainakin itselleni) oli häivyttää ylimääräinen tuntematon. Häivytin toisen segmentin keskuskulman (kolmion kulmien summa 180°-sääntö), josta alkoi vastenmielinen kaavamanipulaatio, algebraa inhosin.
Ja sitten se työ vasta alkoi.
102. Olavi Kivalo20.8.2011 klo 10:24
Siinä sinulle desimaaleja 1.1587284730181215
103. Wexi20.8.2011 klo 14:52
Noinhan se menee. 1.1587284730181215...Keskulman arvoa A hinkkasin Casion laskimella (patterit väsyneet jo vuosia sitten), kunnes pääsin lähelle nollaa.
(√(∏/2-(0,5(((2∏(180-A))/180)-(s in(2(180-A))))))/((∏A/180)-sinA)))-(cos(A/2) x2)=0
A=109.1883223...°, josta ratkaistiin yllämainittu.
Nykyään ilmeisesti osaavalle taulukkolaskentaohjelmat antavat helpotusta.
104. Hoss20.8.2011 klo 15:05
Tällainen yhtälö on jäänyt mieleeni 70-luvun alkupuolelta. Kynää ja paperia käyttäen kesäloman tuuraajana aikaa taisi mennä koko viikko.LYNDON x B = JOHNSON
Pitäisi löytää kirjaimia vastaavat numerot, että yhtälö toteutuisi
105. Wexi20.8.2011 klo 15:21
Epäreilua. Netti tarjosi suoraan:570140 x 6 = 3420840
106. Wexi20.8.2011 klo 23:07
Vanha klassikko, merkeillä ja symboleilla yhtälöt tosiksi:1 1 1 = 6
2 2 2 = 6
3 3 3 = 6
4 4 4 = 6
5 5 5 = 6
6 6 6 = 6
7 7 7 = 6
8 8 8 = 6
9 9 9 = 6
Esim: 2+2+2=6
107. Olavi Kivalo20.8.2011 klo 23:32
Pässiongelmassa on kaksi eritasoista haastetta. Ensin on geometrisella päättelyllä laadittava yhtälö, jossa on yksi tuntematon. Sitten, koska tämä yhtälö ei ratkea analyyttisesti, se on ratkaistava numeerisesti. Geometriseen päättelyyn ei pysty kone eikä pässi, joten se on ongelman arvokkaampi osa. Sensijaan yhtälön ratkaisuun ei tarvita parhaassa tapauksessa kuin napin painallus, jos on käytössä tietokone ja sopiva matematiikkaohjelma, joten se on ongelman triviaaliosa. Tarkoitan, että antamani desimaalit voisivat olla yhtä hyvin pässiltä.
108. Wexi20.8.2011 klo 23:53
Siitä arvokkaammasta osasta pidin.Toinen probleema olisi muistissa, joka oli työpaikan laatikossa vuosia, ennen kuin aukeni.
Mutta on hankalahko esittää. Geometrinen kuvio.
Tuottaa todellisen kaavahirviön, ainakin itselläni, jolle algebraosasto ja kaavamanipulaatio oli myrkkyä.
Kokeillaan kuitenkin:
Ajatellaan suorakulmaista oviaukkoa. Toisesta alakulmasta laitetaan nojalleen 100 cm pitkä keppi, ja toisesta alakulmasta 80 cm pitkä keppi.
Kepit leikkaavat toisiaan 25:n cm:n korkeudella.
Kuinka korkealla 80 cm:n kepin toinen pää on oviaukon alareunasta?
(Siis kaksi suorakulmaista kolmiota, joilla on yhtä pitkä viereinen kateetti möllöttävät vastakkaiset kateetit eri suuntaan. Hypotenuusat leikkaavat toisiaan 25:n cm:n korkeudella)
109. Antti21.8.2011 klo 08:32
(60+5/9) cm
110. Olavi Kivalo21.8.2011 klo 10:01
Tämä näyttää ratkeavan myös analyyttisesti. Tosin lauseke on melkoinen.Numeerisesti 38.501611283506726 cm.
En tiedä hutiloinko, kun oviaukosta tuli tuli vähän kapea, noin 70cm.
111. Wexi21.8.2011 klo 11:25
Et hutiloinut, kuvio on tuollainen, ja myös vastaus.Aikanaan ratkaistuani sen, pompin kolmen metrin loikilla himaan, ja kerrottuani innoissani iltatähtieni äidille tästä, hän tokisi: Sangen mielenkiintoista.
En muuten enään edes muista, miten ratkaisin tämän. Yhdenmuotoiskuviota hieromalla toinen kulma häivyttyi, jotenkin.
Tuo pässinnaru oli taas sen verran simppelimpi, että sen muistan ja osaan selvittää vieläkin.
(Ps. Olin töissä 20 v. keskisuuressa insinööritoimistossa mekaanisena suunnittelijana, ja pässinnarun selvitti yksi kaveri, ja tätä hypotenuusaa ei kukaan.)
100(sin(arctan((tan(arcsin(X/80)) (25/tan(arcsin(X/80))) x 25) / ((X-25) (25/tan(arcsin(X/80)))))))-
√(100² - (((X-25) (25/tan(arcsin(X/80))) /25) + (25/tan(arcsin(X/80))))²) = 0
112. Olavi Kivalo21.8.2011 klo 12:39
Ratkaisu saadaan myös ilman trigonometrisiä funktioita seuraavasta yhtälöparistay/25 == Sqrt[80^2 - x^2]/Sqrt[100^2 - 80^2 + x^2],
Sqrt[80^2 - x^2] - y)/25 == Sqrt[80^2 - x^2]/x}
Muuttuja y, joka on risteyskohdan korkeus, voidaan sijoittaa jälkimmäiseen. Kun ryhmitellään yhtälö ja korotetaan puolittain toiseen, saadaan neljännen asteen algebrallinen yhtälö
(x - 25)^2*(100^2 - 80^2 + x^2) == 25^2*x^2
Muuttujalle x, joka on lyhyemmän kepin yläpään korkeus, saadaan myös analyyttinen ratkaisu, neljä juurta, joista kaksi kompleksista ja yksi anatomisesti mahdoton.
113. Wexi21.8.2011 klo 13:43
Itselleni tänä päivänä tuo ratkaisu on, sekä kompleksinen, että anatomisesti mahdoton:-)
114. Olavi Kivalo21.8.2011 klo 18:46
Wexin vanhassa klassikossa ei taida olla enää virtaa, kun kukaan ei ole innostunut. Tässä pari, jotka eivät kuuluneet tuohon joukkoon
(0!+0!+0!)! = 6
(Sqrt(10-10/10))! = 6
115. Wexi21.8.2011 klo 19:05
Tuo "klassikko" perustui juuri kertoman käyttöön, sen hankalimman osalta(1 + 1 + 1)! = 6
Olavi Kivalo edellä täydensi vajavaisen listani.
116. Matti22.8.2011 klo 00:55
Kun Wexin ovitehtävässä valitsee tuntemattomat sopivasti, päätyy näinkin yksinkertaiseen yhtälöpariin:x^2 + y^2 = 5,78
1/x + 1/y = 1
Vaan kyllähän tämäkin johtaa neljännen asteen yhtälöön. Sille on olemassa analyyttinen ratkaisu, niinkuin kaikille neljännen asteen yhtälöille on, mutta turha olisi minun sen kimppuun hyökätä.
Kysytty mitta, 38.501611 = 25*y. Kun tästä lasketaan taaksepäin, saadaan x = 2,8516, ja y = 1,5401. Nämä arvot toteuttavat annetun yhtälöparin.
117. Antti22.8.2011 klo 07:58
Wexin 20.8.2011 klo 23:53 esittämän ongelman ratkaisuni on todettu vääräksi. Tarkistaessani saan (36+1/9) cm. Olen kiitollinen, jos joku näyttää, missä yhä erehdyn:Lyhyt keppi nojaa vasempaan ovipieleen, yläpää G:ssä ja alapää C.ssä. Pitkä keppi nojaa oikeaan ovipieleen, yläpää H:ssä ja alapää A.ssä. Keppien leikkauskohta on E. Sen kautta kulkeva vaakasuora kohtaa vasemman ovipielen D:ssä ja oikean F:ssä ja E:n kautta kulkeva pystysuora kohtaa kynnyksen B:ssä.
Kolmiot BCE ja ACG ovat yhdenmuotoiset. Siksi AB=0,8*BC.
Kolmiot GDE ja ACG ovat yhdenmuotoiset. Siksi DG=(11+1/9)cm.
118. Jukkis22.8.2011 klo 09:05
"Siksi AB=0,8*BC." Millä perusteella?
119. Antti22.8.2011 klo 10:00
Jukkis, siinäpä möhläykseni. Olin ottanut ison kolmion pystykateetiksi 80 cm, vaikka hypotenuusa on 80 cm.Kiitos, Jukkis.
120. Olavi Kivalo22.8.2011 klo 11:38
Matin sievässä yhtälöryhmässä muuttujat x ja y näyttävät olevan lyhyen ja pitkän kepin yläpään korkeuksien suhteet annettuun leikkauspisteen korkeuteen 25cm. Jos omassa yhtälössäni (josta siis y on jo eliminoitu) merkitään y:llä pitkän kepin yläpään korkeutta y=Sqrt[100^2 - 80^2 + x^2], saadaan:y^2-x^2=60^2
1/y+1/x=1/25
Jakamalla ylempi 25^2:lla ja kertomalla alempi 25:llä pitäisi tulla Matin ehdotus. Mutta minulla ylemmässä vasemmalla puolella on miinus ja oikealle tulee (60/25)^2=5,76.
121. Matti22.8.2011 klo 13:42
Olavi, en pidä lainkaan mahdottomana, että meidän molempien yhtälöryhmät ovat oikein. Miten sinun x:stä ja y:stä lasketaan 38.501611283506726?Näkyy toisessa yhtälössäni olevan kaksikin pränttivirhettä. P.o.
x^2 - y^2 = 5,76 = 2,4^2
122. Olavi Kivalo22.8.2011 klo 15:22
Pränttivirheiden korjauksen jälkeen yhtälöryhmämme ovat identtiset paitsi että sinulla x viittaa pitkään keppiin, jolloin y ja x tietysti vaihtavat paikkaa.Analyyttiseen ja numeeriseen ratkaisuun käytän Mathematica-ohjelmaa.
123. Matti22.8.2011 klo 15:59
Eläkööt harmonia ja sopusointu.
124. Matti22.8.2011 klo 17:15
Jos haluaa pyöritellä algebran lausekkeita, voi ratkaista seuraavan, suoraviivaisen tehtävän:Pitkän suorakulmaisen paperikaistaleen leveys on D. Yksi kärki taitetaan siten, että se osuu pitkälle sivulle kohdalle A. Sen etäisyys lähemmästä päädystä on pienempi kuin D. Mikä on taitosjanan pituus?
Johdettua lauseketta voi testata laittamalla A=D, jolloin janan pituuden tulee olla D*sqr2.
125. Jaska22.8.2011 klo 19:27
Taitosjana = taitoksesta syntyvistä kahdesta suorakulmaisesta kolmiosta isomman hypotenuusa. Isomman lyhyempi kateetti = pienemmän hypotenuusa, ja ko. sivu pituudeltaan > ½D, koska kärki ei muuten yllä pisteeseen A. Kolmioiden toinen yhteinen kärkipiste on B, ja pienemmän kolmion kolmas kärkipiste C. Näilläkö eväillä pitäisi siis ratketa paitsi suorakulmaisesti myös suoraviivaisesti? Siis ratkeaisi numeerisesti ilman minkään terävän kulman astelukua?
126. Jukkis22.8.2011 klo 20:43
No eihän siinä mitään numeerisesti ratkaista. Pythagorasta kun soveltelee, niin sieltä poikii kysytylle asialle lauseke A:n ja D:n funktiona.
127. Jaska22.8.2011 klo 21:31
Tarkoitin, että jos D:lle annetaan pituus lukuarvona, niin taitoksen pituuden lukuarvon laskemiseen tarvitaan jokin muukin lukuarvo, esim. terävän kulman asteluku?Korjaus: taitos synnyttöö kolme suorakulmaista kolmiota.
128. Jaska22.8.2011 klo 21:33
Korjauksen korjaus: synnyttää.
129. [Matias-Myyrä]22.8.2011 klo 21:39
[Minä jo aattelin, että ruppeeko se Jaska viäntämään savvoo. Synnyttää verbin perusmuoto on 'synnyttee' tai 'synnyttöö' riippuen missäpäin Savoa ollaan.]
130. Jukkis22.8.2011 klo 21:46
No tehtävässähän oletetaan, että D ja A tunnetaan. Tietysti noille molemmille pitää olla tiedossa lukuarvo, jos halutaan saada selville taitoksen pituuden lukuarvo, joka saadaan selville sijoittamalla D:n ja A:n lukuarvo taitoksen pituuden lausekkeeseen.
131. Olavi Kivalo22.8.2011 klo 23:56
D on leveys. A on kohta. Mitä tällöin tarkoittaa A=D?
132. Matti23.8.2011 klo 00:23
Anteeksi epäselvyys tehtävänasettelussa. A on paitsi kohta, myös sen etäisyys lähemmästä päädystä. Ja taitosjanan pituutta kysytään A:n ja D:n funktiona.Aika vähällä hyvällä tahdolla sen olisi osannut oikein tulkita, kuten Jukkis. Mutta parempi tietysti pyrkiä täsmällisyyteen.
133. Olavi Kivalo23.8.2011 klo 10:04
Kynnystä alkaa satsata vaativan tehtävän ratkaisuun alentaa oleellisesti varmuus siitä, että on ymmärtänyt tehtävän määrittelyn. Rohkenen pyytää lisää täsmennyksiä "aika vähällä hyvällä tahdolla".
Sijoitetaan arkki x,y-koordinaatistoon niin, että pitkä sivu on x-akselilla ja vasen alakulma origossa. "Kohta A" tarkoittanee muuttujaa x. Ymmärsin ensin, että D, jota kutsutaan leveydeksi, on annettu vakio x-akselilla eli xmax. Nyt taitaakin olla niin, että D tarkoittaa näin asetellun arkin korkeutta eli annettua vakiota y-akselilla (=ymax). Jos on näin, x voi siis saada vain arvot 0...D, jossa D on pienempi kuin xmax, joka on arkin oikean päädyn x-koordinaatti. Mitä tällöin tarkoittaa "A on [...] etäisyys lähemmästä päädystä"? Kun x lähestyy arvoa D, lähemmäksi päädyksi voi tulla xmax. "Etäisyys A" olisikin silloin xmax-x. Tätä tuskin tarkoitetaan. Miksei muuten x voi saada arvoja koko välillä 0...xmax?
134. Jaska23.8.2011 klo 12:01
Yritän nyt Matin suosittamalla vähällä hyvällä tahdolla tulkita tehtävänantoa. Lähin pääty tarkoittaa aina origoa, koska x ei saa ylittää annettua vakiota y.
135. Matti23.8.2011 klo 13:01
xmax siis tarkoittaa pitkän liuskan pituutta. Tätä ei tehtävässä tarvita. ymax=D. Taivutetaan paperi Olavin koordinaatistossa siten, että nurkka (0,D) osuu johonkin x-akselin pisteeseen välille (0,0) - (D,0), ja tämä piste on (A,0). Ja taittojanan pituutta A:n ja D:n funktiona kysytään."Miksei muuten x voi saada arvoja koko välillä 0...xmax?"
Niin, miksipä ei. Ajattelin että koska silloin taittojana kulkee pitkältä sivulta toiselle, tehtävä on liian helppo. (Tätä en ole tsekannut.) Mutta voihan tämänkin tapauksen laskea läpi.
136. Olavi Kivalo23.8.2011 klo 13:48
No miltä tämä vaikuttaa (D:lle on annettu numeerinen arvo 1)1/2 Sqrt[(1 + x^2)^3/x^2]
137. Antti23.8.2011 klo 14:31
Olen viime aikoina kunnostautunut erehtyjänä. Jatketaanko? Ensin mainitun rajoitteen pätiessä pituudeksi sain (A^2+D^2)/A.
138. Matti23.8.2011 klo 14:39
Antti, kun A=D, pitäisi pituudeksi tulla D*sqr2.
139. Matti23.8.2011 klo 14:46
Sain saman kuin Olavi:(1/2AD)*sqr[(A^2+D^2)^3]
140. Jaska23.8.2011 klo 17:56
Matti siis arveli, että tehtävä saattaa olla helpompi, kun A > D. Pikaisen yhden tarkastuksen kokeen perusteella kaava ei tässä tapauksessa päde. Onkohan pätevä kaava siis helpompi? Vai laskinko sittenkin väärin?
141. Olavi Kivalo23.8.2011 klo 19:46
Tuo kaava pätee vain alueella x = 0...D. Kaavan mukaan arvoilla x>D taittojanan pituus jatkaa kasvuaan sensijaan että alkaisi pienetä. Kun kohta x=D ylitetään, taittojanan pituus alkaa lähestyä nollaa ja saa arvon nolla, kun paperi on kokonaan käännetty ympäri. Seuraava tehtävä olisikin johtaa lauseke tälle tärkeälle tapahtumalle.
142. Matti23.8.2011 klo 20:10
Tapaus A>D vaatii omat laskunsa, ja antaa toisen lausekkeen taittojanan pituudelle:(1/2A)*sqr[A^4+6*(A^2)*(D^2)+D^4].
Kun A=D, tämäkin antaa pituudeksi D*sqr2, niinkuin tietysti pitääkin.
143. Jukkis23.8.2011 klo 20:40
En ollenkaan tajua, miten se janan pituus voisi nollaa lähestyä. Mun järki sanoo, että taittojanan pituus lähestyy D:tä kun A lähestyy ääretöntä, joten väitän, että Matin kaava on väärin.
144. Jaska23.8.2011 klo 22:37
Voisiko se nollaa lähestyminen perustua Olavi Kivalon mainitsemaan "kun paperi on käännetty kokonaan ympäri." Sitä en tosin ymmärrä enkä ryhdy arvailemaan. Alkuperäisen tehtävän mukaanhan vain paperin yhtä kulmaa käännetään siten, että A = max paperin leveys, jatkotehtävässä A o max paperin pituus. Näillä eväillä Jukkis on oikeassa.Matin kakkoskaavaa minäkin epäilen vääräksi. Kokeilin marketin tositteella, jonka leveydeksi annoin 1. Sen pituudeksi tuli 1.625 ja taitoksen pituudeksi 1,128. Matin kaava antoi taitoksen pituudeksi n. 1,93.
145. Jaska23.8.2011 klo 22:39
Annoin siis A:lle max-arvon 1,625.
146. Olavi Kivalo23.8.2011 klo 23:29
Tässä lähdettiin liikkeelle pitkulaisesta paperiarkista. Asetettuna x,y-koordinaatistoon pitkä sivu x-akselilla xmax voi olla vaikka kuinka pitkä suhteessa korkeuteen, mutta kuitenkin äärellinen. Kun vasenta yläkulmaa kuljetetaan tarpeeksi kauan pitkin arkin alareunaa ja (huom) lopuksi sen kuviteltua jatketta oikealle, tullaan tilaanteeseen, jolloin käännettävä loppuu eli arkki tulee käännetyksi kokonaan ympäri, siis alkuperäinen alapuoli ylöspäin. Taittojana siis kutistuu lopuksi nollaan. Sitten ei ole enää mitä kääntää.
147. Jaska23.8.2011 klo 23:34
Voihan sen paperin tosiaan teoriassa pyöritellä tötterölle siten, että ikäänkuin palataan x-akselilla maxA:n taitse takaisin origoon. Käytäntö on asia erikseen!
148. Olavi Kivalo23.8.2011 klo 23:40
Ajattelin pysytellä x,y-tasossa, mutta mikä estää tekemästä tötteröitä ja luoda 3D-haasteita.
149. Jukkis23.8.2011 klo 23:52
Aika hyvin OK yrittää tuolla "kuvitellulla jatkeella" paikata aiempaa erhettään "Kun kohta x=D ylitetään, taittojanan pituus alkaa lähestyä nollaa". Sehän alkaa lähestyä nollaa vasta kun x ylittää arvon, joka on vähän alle 2*liuskan pituus, siihen asti se kasvaa ja pääsee sitä lähemmäksi arvoa D, mitä pidempi liuska on.
150. Matti23.8.2011 klo 23:55
Jukkis ja Jaska, mun kaavan täytyy tosiaan olla väärin.Kun A->ääretön, taittojanan pituuden tulisi lähestyä D:tä. Mutta nyt se lähestyy ääretöntä. Pitää yrittää huomenna uudelleen paremmalla onnella.
Tehtävän asettelussa sanottiin, että paperikaistale on pitkä, mutta ei sanottu kuinka pitkä. Tarkoitin sillä, että niin pitkä, että sen pituus ei näyttele mitään roolia. Siis lim A->ääretön on ihan luvallinen raja-arvo.
151. Jukkis23.8.2011 klo 23:57
No nytpä tuli kirjoiteltua ihan höpöjuttua. Kyllähän se alkaa pienentyä jo aiemmin, kai tosiaan tuossa kohdassa A=D. Vai jossain muussa kohdassa? Paras lähteä nukkumaan.
152. Jukkis23.8.2011 klo 23:58
Matti tunki tuohon väliin. En tarkoittanut höpöjutulla häntä, vaan itseäni.
153. Jukkis24.8.2011 klo 00:29
Ei tullut uni silmään, piti piirrellä tuota taittelua paperille. Tulos:Taitoksen pituus = D*sqrt(1+D^2/A^2) silloin kun A >= D.
154. Matti24.8.2011 klo 00:59
Jukkiksen kaava antaa aivan oikein raja-arvoksi D:n, kun A kasvaa äärettömiin. Ja kun A=D, se antaa pituudeksi D*sqr2, niinkuin pitääkin.Jos liuskan pituus on kiinteä ja äärellinen, ja jos viedään pistettä A aina vaan x-akselilla eteenpäin, yli 2* liuskan pituuden, niin nollaanhan sen taitosjanan pituus lopulta menee, kun paperi on käännetty ympäri. Olen siis samaa mieltä "Lähettäjä: Olavi Kivalo 23.8.2011 klo 23:29" kanssa.
Näen sieluni silmillä, kuinka äijät taittelee keittiön pöydän ääressä paperiliuskaa otsa rypyssä ja pää mehiläispesänä. Minusta tämä on hienoa, aitoa nautintoa.
155. Olavi Kivalo24.8.2011 klo 15:19
Taitoksen pituuden riippuvuus kohdasta x muodostuu siis kolmesta x:n funktiosta1/2 Sqrt[(1 + x^2)^3/x^2], kun x=0...1,
Sqrt[1+1/x^2], kun x=1...xc,
(xmax-x)/(xmax-xc), kun x=xc...xmax
xc= Sqrt[(L^2+1)]
xmax= Sqrt[(L^2-1)]
L on arkin pituus.
156. Jukkis24.8.2011 klo 15:37
Jokin tuossa mättää. Kun x = xc, niin (xmax-x)/(xmax-xc) = 1.
Joka tuskin on oikea arvo.
157. Olavi Kivalo24.8.2011 klo 16:05
Mättää. Meni kiireessä väärinpäin nuo merkit.Pitää olla
xc= Sqrt[(L^2-1)]
xmax= Sqrt[(L^2+1)]
xc tarkoittaa kriittistä kohtaa, jonka jälkeen taitoksen pituuus alkaa pienetä lineaaristi kohti nollaa.
Ja kohdassa xmax arkki on kokonaan käännetty nurin.
D:n laitoin ykköseksi, koska sillä ei le roolia.
158. Jukkis24.8.2011 klo 16:47
Mutta edelleen kun x = xc, niin (xmax-x)/(xmax-xc) = 1.
Joka tuskin on oikea arvo.
159. Matti24.8.2011 klo 21:00
Sain nyt saman kuin Jukkis 24.8.2011 klo 00:29, kun vähän skarppasin.
160. Olavi Kivalo24.8.2011 klo 22:43
Joo, virheeni tuossa viimeisessä lineaarin vaiheen kaavassa on tiedostettu, mutta en ehdi korjata sitä tähän hätään.
161. Jukkis25.8.2011 klo 00:06
Miksi ihmeessä tuo taitoksen pituuden lauseke yhtäkkiä muuttuisi lineaariseksi?Tässä vihdoin oikeat kaavat Olavi Kivalon merkintätapaa käyttäen ja hänen tekstiään lainaten, tarkentaen ja korjaten:
1/2 Sqrt[(1 + x^2)^3/x^2], kun x=0...1,
Sqrt[1+1/x^2], kun x=1...xc,
Sqrt[1+1/x^2]*(1-x^2+2Lx)/2, kun x=xc...xmax
xc = L + Sqrt[(L^2-1)]
xmax = L + Sqrt[(L^2+1)]
L on arkin pituus.
xc tarkoittaa kriittistä kohtaa, jonka jälkeen taitoksen pituuus alkaa pienetä kohti nollaa, koska taitoksen alapää kohtaa paperin loppupään
Ja kohdassa xmax arkki on kokonaan käännetty nurin, eli taitokesn alareuna on kiivennyt paperin loppupäätä pitkin paperin yläreunaan asti
162. Wexi25.8.2011 klo 00:20
Sivusta seurannut taitoksen hahmottelua. Sen verran kiinnosti, että piti ottaa suikale paperia, ja alkaa ohjeitten mukaan käännellä ja väännellä.Vääntely ja ohjeitten lukua, ohjeitten lukua ja vääntelyä, jne.
Lopputulemana liukasta oli syntynyt kuusijalkainen Eiffelin torni:-)
163. Olavi Kivalo25.8.2011 klo 11:11
Lineaarin osan kaavastani puuttui yksi termi eli uc, joka on taitosjanan pituus kun x=xc. Näin kyseinen riippuvuus on ((xmax-x)/(xmax-xc))*Sqrt[1+1/xc^2], kun x=xc...xmax
Esim kun L=2, taitosjanan pituuden kulku on seuraava:
- Alkaa äärettömästä ja laskee noudattaen kaavaa 1 nopeasti minimiinsä 3*Sqrt[3])/4=1.29904 kohdassa x=1/Sqrt[2]=0.707107 ja nousee sitten arvoon Sqrt[2]=1.41421, kohdassa x=1.
- Siirtyy noudattamaan kaavaa 2 alkaen laskea loivasti alaspäin ja lähestyisi nollaa, jos arkin äärellinen pituus ei olisi esteenä. Pienenee arvoon 2/Sqrt[3]=1.1547 kohdassa x=xc=Sqrt[3]=1.73205.
- Laskee kaavan 3 mukaisesti lineaaristi nollaan, jonka saavuttaa kohdassa x=xmax=Sqrt[5]=2.23607.
Plotattuna näyttää ihan järkevältä.
164. Jukkis25.8.2011 klo 11:42
Vääräkin tulos voi tosiaan näyttää plotattuna järkevältä.Tee paperi, jonka leveys = 1 ja pituus 2. Laita paperi pöydälle niin että pitkä sivu menee vasemmalta oikealle. Taita tehtävän edellyttämällä tavalla. Mitä erikoista tapahtuu, kohdassa x = 1.73205? (Eli kun paperin yläreunaan taitettu vasen alanurkka on tuolla etäisyydellä paperin alkupäästä.
Vastaus: Ei mitään erikoista tapahdu tuossa kohdassa.
Joten miksi ihmeessä siinä kohdassa taitoksen pituuden yhtälö muka muuttuu?
Vasta kohdassa 3.73205 tapahtuu jotain mainittavaa, eli taitoksen alapää tavoittaa paperin vasemman pään.
Selitys: OK:lla on xc ja xmax laskettu väärin. Ne on määritelty oikein minun viestissä 25.8.2011 klo 00:06. Samoin minulla on yhtälöt oikein. Ne kanssa näyttää plotattuna ihan järkeviltä.
165. Jukkis25.8.2011 klo 12:22
Tässä siis oma ratkaisuni Olavi Kivalon tekstiä mukaillen:Esim kun L=2, taitosjanan pituuden kulku on seuraava:
- Alkaa äärettömästä ja laskee noudattaen kaavaa 1 nopeasti minimiinsä 3*Sqrt[3])/4=1.29904 kohdassa x=1/Sqrt[2]=0.707107 ja nousee sitten arvoon Sqrt[2]=1.41421, kohdassa x=1.
- Siirtyy noudattamaan kaavaa 2 alkaen laskea loivasti alaspäin ja lähestyisi nollaa, jos arkin äärellinen pituus ei olisi esteenä. Pienenee arvoon 2/Sqrt[3]=1.0353 kohdassa x=xc=2+Sqrt[3]=3.73205.
- Laskee kaavan 3 mukaisesti nollaan, jonka saavuttaa kohdassa x=xmax=2+Sqrt[5]=4.23607.
Plotattuna näyttää ihan järkevältä. Välillä x ... xmax plotti näyttää hyvinkin lineaariselta, mutta ei siis ihan tarkasti sitä ole.
Kaava 1: 1/2 Sqrt[(1 + x^2)^3/x^2]
Kaava 2: Sqrt[1+1/x^2]
Kaava 3: Sqrt[1+1/x^2]*(1-x^2+2Lx)/2
xc = L + Sqrt[(L^2-1)]
xmax = L + Sqrt[(L^2+1)]
166. Jukkis25.8.2011 klo 12:37
Siis oikeastihan meillä OK:n kanssa ainoa erimielisyys on kaavasta 3, kaavat 1 ja 2 on meillä samat. OK:n esittämät väärät xc ja xmax, joiden lausekkeesta puuttuu yksi L, lienevät pelkkä lapsus, joka ei vaikuta kaavoihin.Sain oman kaava 3:ni tutkimalla, millaisia kolmoita syntyy, kun x ylittää arvon xmax (eli kun taitoksen alapää saavuttaa paperin vasemman päädyn). Tuloksena lauseke, joka toteuttaa jatkuvuuden kohdassa x = xc ja menee nollaksi kohdassa x = xmax. Aika hämmästyttävän virheen olen osannut tehdä, jos tuo lauseke on väärin. Mutta mistäpä sen tietää.
167. Jukkis25.8.2011 klo 12:38
Eikun: ... kun taitoksen alapää saavuttaa paperin oikean päädyn
168. Jukkis25.8.2011 klo 12:46
Täällä plotti minun kaavoista, kun L = 2:_http://aijaa.com/v.php?i=002228559743.gif
169. Jukkis25.8.2011 klo 12:47
Pitäisköhän välillä tehdä jotain töitä?
170. Olavi Kivalo25.8.2011 klo 14:10
Se L:n puuttuminen jäi kummittelemaan vielä eräisiin numeerisiin arvoihin. Korjaukseni (siis kun L=2):"Taitosjanan pituus pienenee arvoon 2/Sqrt[2+Sqrt[3]]=1.0353 kohdassa x=xc=2+Sqrt[3]=3.73205"
"Laskee [...] nollaan, jonka saavuttaa kohdassa x=xmax=2+Sqrt[5]=4.23607"
Jukkiksen plotti näyttää identtiseltä omani kanssa. Mutta vain näyttää, sillä lauseke Sqrt[1 + 1/x^2]*(1 - x^2 + 2*2 x)/2 on lyhyellä pätevyysalueellaan xc...xmax lähes lineaarinen. Se on kuitenkin oikein, vaikka toisaalta lineaarisuus on hyvin perusteltu yksinkertaistus.
171. Jukkis25.8.2011 klo 14:57
Jep. Täältä näkyy, paljonko tuo kaava 3 poikkeaa suorasta:_http://aijaa.com/v.php?i=007478560656.gif
Ylempi viiva kaavan 3 kuvaaja, alempi on suora.
Oliskohan tämä tässä?
172. Olavi Kivalo25.8.2011 klo 15:17
Katsottaisko Matin käynnistämät paperintaittosulkeiset nyt päättyneiksi. Kivaa oli niinkuin sulkeisissa aina.
173. Matti25.8.2011 klo 20:10
Minun puolestani asia olkoon loppuunkäsitelty. (Ellen nyt sitten vielä intoudu johtamaan omaa versiota kaavasta 3, ja katsoa miten se suhtautuu täällä esitettyihin versioihin. Tuskinpa.)
174. Matti25.8.2011 klo 23:14
Sain kuin sainkin johdettua oman versioni kaavasta 3, ja se oli sama kuin Jukkiksen.Vielähän aihetta voisi rääppiä, jos motivaatiota piisaa. Äärettöman pitkän liuskan tapaus on nyt loppuunkäsitelty. Mutta äärellisen liuskan kohdalla puuttuu vielä tapaus, missä liikkuva nurkkapiste siirtyy ylös takareunaa, pisteestä (L,0) pisteeseen (L,1).
Vasta sitten maailma on täydellinen.
175. Jukkis26.8.2011 klo 10:36
Eihän tämä taitteluhomma vielä tullutkaan valmiiksi. Sekä Olavi Kivalon että minun ratkaisussa (jonka tekstiä kopsasin OK:lta soveltuvin osin) lukee, että"Esim kun L=2, taitosjanan pituuden kulku on seuraava:
- Alkaa äärettömästä ja laskee noudattaen kaavaa 1 ...."
Eihän se taitoksen pituus mistään äärettömästä voi alkaa, jos paperin pituus on L. Sehän tietysti alkaa L:stä. Kaava 1 siis ei ole oikein.
Voi olla, että en ehkä asiaa tämän tarkemmin enää tutki.
Ja eikös tuo Matin 25.8.2011 klo 23:14 esittämä jatkoprobleemi vaan tarkoita sitä, että liuskaa käännetään 90 astetta. Eli liuskan pituudeksi tulee D (joka meillä on ollut =1) ja leveydeksi L. Eli jos leveys on 1, niin pituus on 1/L. Sen jälkeen kyseessä on sama probleemi kuin jos käsitelty. Ja jonka koko ratkaisua ei vieläkään ole esitetty.
176. Olavi Kivalo29.8.2011 klo 13:11
Jukkis on kirotun oikeassa. Mutta se, että kaava 1 hyväksyttiin kritiikittä, johtunee historiallisista syistä. Tehtävä lanseerattiin ensin niin, ettei arkin pituudella ollut merkitystä, jolloin se sai lähestyä ääretöntä. Vasta tämän jälkeen nousi esiin arkin äärellisyys ja kaavat 2 ja 3.Kaava 1 siis pätee, mutta vasta lähtien kohdasta x=0.26795.
Kaava 0, joka pätee kun x=0...0.26795 osoittautui analyyttisesti aika hankalaksi. Eli sen johtaminen oli aivan johtamisen väärti. En tohdi laittaa sitä tähän, mutta taitosjanan pituuden x-riippuvuus tällä välillä ja siitä eteenpäin on seuraavanlainen:
- Alkaa arvosta 2 ja laskee noudattaen kaavaa 0 minimiinsä 1.98632 kohdassa x=0.08223 ja nousee sitten arvoon 1/2Sqrt[(1 + x^2)^3/x^2]=2.07055, kohdassa x=2-Sqrt[3]=0.26795.
- Siirtyy noudattamaan kaavaa 1 ...
Toisin sanoen, kun arkin pituus on 2, taitosjana ei koskaan kasva pidemmäksi kuin 2.07055, joka on siis sen globaali maksimi hienosti sanottuna.
177. Matti29.8.2011 klo 13:53
Taitaa siis nyt maailma olla tältä osin valmis.
178. Jukkis29.8.2011 klo 14:24
No eihän se vielä. Pakkohan tuota kaavaa 0 on jossain vaiheessa ruveta itsekin selvittelemään.
179. Matti29.8.2011 klo 22:45
Kerran vielä pojat!Kaavalle 0 sain lausekkeen L*sqr(x^2+1), ja se on voimassa kun 0>x>L-sqr(L^2-1). Alarajalla saadaan L, ja ylärajalla
sqr[2*L^4-2*L^3*sqr(L^2-1)]. Tämä on sama kuin kaava 1 kaavojen 0 ja 1 rajalla, ja on sopusoinnussa Olavin laskemien desimaaliarvojen kanssa, jolloin L=2.
180. Olavi Kivalo30.8.2011 klo 09:46
Mielenkiintoista. Päätepisteet täsmäävät, mutta minun 0-kaavani antaa minimin kun Matin on nouseva. Täytynee tarkistaa.
181. Olavi Kivalo30.8.2011 klo 11:20
Okei. Löysin virheeni. Nyt yhdyn Mattiin.
182. Olavi Kivalo30.8.2011 klo 12:13
Mitä maailman täydellisyyteen tulee, minusta tämä ongelma tulisi vielä jollain tavalla saada linkatuksi säikeen aiheeseen eli lukujonoihin. Seuraavassa eräs yritelmä.Aloitetaan kääntämällä arkin vasenta yläkulmaa kuten edellä kunnes arkki on kokonaan nurinpäin. Jatketaan tästä asemasta kääntämällä nyt nurinpäin olevan arkin vasenta yläkulmaa kuten edellä kunnes arkki on taas oikeinpäin, mutta nyt tietysti siirtyneenä jälleen uuteen asemaan. Jatketaan samaan malliin. Arkin rata on ympyränmuotoinen. Kysymys kuuluu: Millä suhteen L/D kokonaislukuarvoilla arkin oikea alakulma osuu kohtaan, jossa alkuperäisessä asemassa olleen arkin vasen alakulma sijaitsi?
183. Matti30.8.2011 klo 22:25
Ainoa käypä suhteen L/D kokonaislukuarvo näyttäisi olevan 1.
184. Olavi Kivalo30.8.2011 klo 23:17
Jee. Tosin lukujonossa on vain yksi termi.
185. Olavi Kivalo3.9.2011 klo 11:05
Jotta tämä yritys kytkeä Matin ongelma lukujonoihin ei lässähtäisi tähän, laajennetaan edellistä.Taittelemalla arkkia riitävästi edellä esitetyllä tavalla saadaan kuvioita, jotka sulkevat sisäänsä säännöllisiä monikulmioita. L/D:n arvolla 1 saadaan seitsemällä taitolla 8-kulmio. Yleisesti, sopivalla L/D:n arvolla, (n-1):llä taitolla saadaan n-kulmio.
Mitkä ovat ne kokonaisluvut n(i) eli n-kulmiot, jotka syntyvät L/D:n arvoilla, jotka ovat reaalisia algebrallisia lukuja?
186. Olavi Kivalo6.9.2011 klo 14:17
Vinkki: n(1)=4, kun L/D=0
n(2)=5, kun L/D=1/Sqrt[5+2*Sqrt[5]] = 0,324092
...
n(4)=8, kun L/D=1
Molemmat L/D:t ovat reaalisia algebrallisia lukuja eli kokonaislukukertoimisen polynomin reaalisia juuria.
Löysin lukujonon kahdeksan ensimmäistä(?) termiä eli monikulmiota. En tiedä onko niitä enemmän.
187. Matti6.9.2011 klo 21:11
Kysymys palautuu siihen, millä n:n arvoilla kulman 360/n trigonometriset funktiot ovat algebrallisia lukuja. Tästä voisi haeskella tietoa netistä. Tähän kai liittyy kysymys, mitkä monikulmiot ovat piirrettävissä vain harppia ja viivoitinta käyttäen. Esim. 5-, 7- ja 15-kulmiot ovat. 5- ja 15-kulmiot kuuluivat lukion geometrian kurssiin (vanhaan hyvään aikaan, eivät tietysti enää), mutta7-kulmio ei.
188. Olavi Kivalo7.9.2011 klo 00:02
Täsmällisemmin: millä n:n arvoilla Cot[2Pi/n] on reaalinen algebrallinen luku.Cot[2Pi/7] ei ole. Toisin sanoen 7-kulmio "toteutuu" vain kompleksisella juurella eli ei toteudu paperia kääntämällä.
Sensijaan 15-kulmio toteutuu.
Esim. 5-kulmio toteutuu kun L/D=Cot[2Pi/5]=Sqrt[1-2/Sqrt[5]], joka on polynomin 1 - 10 x^2 + 5 x^4 positiivinen juuri.
189. Matti7.9.2011 klo 13:17
Muistelin, että 7-kulmio voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella, mutta muistin väärin.
190. Olavi Kivalo7.9.2011 klo 15:58
Ainoastaan analyyttiset ratkaisut tuottavat täydellisiä n-kulmioita. Täten reaaliset algebralliset luvut, jotka ovat positiivisia desimaalilukuja ja saadaan polynomin numeerisella ratkaisulla, voidaan hylätä. Näin syntyy kiintoisa lukujono n(i). Toistaiseksi korkein, a(15), on 60-kulmio. (Ain't my arms tired!)
191. Matti7.9.2011 klo 18:48
Olavi, mistä nuo polynomit tulevat?
192. Olavi Kivalo8.9.2011 klo 14:31
Jos juuret ovat x1 ja x2, niin polynomi on (x-x1)(x-x2) = x^2-(x1+x2)x+x1x2 kuten rehtori aljantunnilla pauhasi. Tässä etsitään polynomia, jonka vakiot ovat kokonaislukuja. Esim. 5-kulmion tapauksessa 2. asteen yhtälössä näin ei ole, koska x1=Sqrt[1-2/Sqrt[5]] ja x1=-Sqrt[1-2/Sqrt[5]], josta seuraa polynomi x^2-(1-2/Sqrt[5]).
Tämä esimerkkipolynomi voidaan kirjoittaa muotoon y+2/Sqrt[5], jossa y=x^2-1. Tästä päästään y:n toisen asteen ja x:n neljännen asteen kokonaislukukertoimiseen polynomiin (y-y1)(y-y2) = y^2-4/5 = (5x^4 - 10x^2 +1)/5.
193. Matti8.9.2011 klo 18:29
Näyttäisi siltä, että kelvollinen n-kulmio saadaan, kun n=2^p*3^q*5^r,
missä p on mielivaltainen kokonaisluku, q on 0 tai 1, ja r on 0 tai 1. Tällainen kulmio voidaan piirtää harpilla ja viivoittimella.
Onko muunkinlaisia kelvollisia n-kulmioita, kuin ylläolevan kaavan antamat?
194. Olavi Kivalo10.9.2011 klo 10:43
Jos pysymme uskollisina alkuperäiselle tehtävälle, niin muodostuvista monikulmioista neliö ei ole kelvollinen, koska sen sivun pituudeksi tulee 0 eli se on vain abstrakti piste. Paperiarkki, jonka L/D=0, ei ole todellinen. Kolmiota taas ei voi konstruoida liikuttamalla arkin vasenta yläkulmaa pitkin arkin alareunaa tai sen jatketta oikealle. Lukujonon ensimmäiseksi termiksi tulee siis n(1)=5. Kun otetaan huomioon ylläoleva ja yhtälön x=Cot[2Pi/n] analyyttisen ratkaisun reaalisuusvaatimus, sain seuraavan päättyvän lukujonon n(i)=5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48,60. Tämä ei eroa siitä säännöllisten monikulmioiden listasta, minkä Eukleides sai selville harpilla ja viivottimella jo n. 300 e.a.a., paitsi että tuo lista alkaa 3,4,5,... ja jatkuu 60,64,80,... Eukleideen listalle on myös analyyttinen lauseke, tuo minkä Matti esitti. Se esiintyy OEIS:ssa nimellä Greek sequence (A051916)
OEIS antaa myös parannetun version Eukleidesin listasta (A003401). Alkuosassa on lisäksi termit 17,34,51,68,... Perusteluna on, että ympyrä voidaan jakaa tasan näin moneen osaan (vaan ei esim. seitsemään osaan).
Jos hyväksytään yhtälön numeeriset reaaliset ratkaisut, jonossa on tietysti enemmän termejä ja se on päättymätön. Sensijaaan niiden monikulmioiden joukko, joiden analyyttinen ratkaisu ei ole reaalinen, on pieni. Sain sille seuraavan lukujonon m(i)=7,9,14,18,28,36.
195. Olavi Kivalo12.9.2011 klo 21:07
Lukujono a(n), n=1,2,3,... muodostuu siten, että a(n) on pienin sellainen luku, jonka nimessä olevien kirjainten lukumäärä on kokonaisluvun n jokin monikerta. Esim. a(1) = 2, koska sanassa ’kaksi’ on 5=5*1 kirjainta.
Esim. a(2) = 10, koska sanassa ’kymmenen’ on 8=4*2 kirjainta.
Lukujono siis alkaa a(n) = 2, 10, ... Kuinka jatkuu?
196. Jukkis12.9.2011 klo 21:41
Hauska Excel-harjoitus. Oliskohan a(10) = 211.
197. Jukkis12.9.2011 klo 21:42
Paitsi että ymmärsinköhän nyt tehtävänasettelun sittenkään oikein? Ehkä en. Pitää miettiä
198. Jukkis12.9.2011 klo 21:45
Miksi ei ole a(1) = 1?
199. Jukkis12.9.2011 klo 21:48
Ja miksi ei ole a(2) = 9?Ihmeellinen tehtävä.
200. Jukkis12.9.2011 klo 22:02
Ja kun vielä hiukan miettii, niin miksi ei olea(1) = 1
a(2) = 1
No en kyllä enää mieti.
201. Olavi Kivalo12.9.2011 klo 22:28
Miettimättä ilmeisesti paras, koska a(10)=211.
202. Olavi Kivalo12.9.2011 klo 22:36
Mutta jos ruvetaan miettimään. niin tehtävän määrittelyyn tarvitaan täsmennys 'a(n)>n on pienin sellainen luku'.
203. Matti13.9.2011 klo 00:07
Palaan vielä edelliseen tehtäväkokonaisuuteen, asiaa lisää Wikistä lukeneena.Näyttäisi siltä, että kelvollinen n-kulmio saadaan, kun
n=2^p*3^q*5^r*17^s,
missä p on mielivaltainen kokonaisluku, q on 0 tai 1, r on 0 tai 1, ja s on 0 tai 1.
Nämä monikulmiot voidaan piirtää harpilla ja viivoittimella, ja näiden monikulmioiden keskuskulman kotangentti on algebrallinen luku.
Kaavan numerot 2, 3 ja 5 tiesi jo Eukleides vuonna kivi ja kirves (noin öbaut v. 300 eaa), mutta luvun 17 toi mukaan Karl Friedrich Gauss, vain 19-vuotiaana!
Jokohan nyt maailma olisi tältä osin valmis.
204. Olavi Kivalo13.9.2011 klo 07:44
Olisikohan a(11)=27?
205. Jukkis13.9.2011 klo 19:17
Tuo minun eilinen a(10) = 211 tuli siitä, että jostain syystä oletin, että lukujonon pitää olla kasvava, siis a(i+1) > a(i). Tuosta OK:n a(11) = 27 voi päätellä, että "monikerta" tarkoittaa "vähintään kaksinkertainen". Jos myös 1*x tulkittaisiin x:n monikerraksi, niin olisi kai a(11) = 12.
Onkos tarkoitettu jono nyt sitten tämä:
2, 9, 7, 9, 11, 22, 19, 90, 22, 91, 27, 99, 77, 199, 177 jne.
206. Olavi Kivalo13.9.2011 klo 23:47
Tehtävähän on sinänsä mutkaton välipalaksi. Se ei edellytä oivalluksia vaan pelkkää työtä. Mutta määrittelin sen ensin puutteellisesti ja annoin lisäksi vääriä vinkkejä ratkaisusta. Kuitenkin 'monikerta' on mielestäni selvä. 1 ei ole monta, mutta 2,3,4,..., on.Jukkiksen jono näyttää oikealta.
Ensiksi: a(2) = 9 (ei 10), koska sanassa ’yhdeksän’ on 8=4*2 kirjainta. Myös sanassa 'kymmenen' on 8 kirjainta, mutta 9<10.
Toiseksi: a(10) = 91 (ei 211), koska sanassa 'yhdeksänkymmentäyksi' on 20=2*10 kirjainta. Myös sanassa 'kaksisataayksitoista' on 20 kirjainta, mutta 91<211.
Seuraavaksi voidaanklin kysyä, mikä on niiden lukujen jono, jotka eivät voi koskaan esiintyä edellisessä lukujonossa. Ilmeisesti luvut 10 ja 211 ovat sellaisia.
207. Juhani Heino14.9.2011 klo 08:51
Matemaattisesti monikerta on määritelty näin:mathworld.wolfram.com/Multiple.html
Eli Jukkiksen tulkinta 1*x kelpaisi myös.
208. Olavi Kivalo14.9.2011 klo 09:23
Jukkis vaikuttaa niin tarkalta jätkältä, että pois se, että hän olisi tuossa väärässä. Toisaalta monikerran synonyymi on kerrannainen, jolle taas Nykänen antaa esimerkin '6:n kerrannaisia ovat 12,18,24 jne.' Riippuu siis siitä, kuinka matemaattisia halutaan olla. Edellisessä tehtävässä väitin, että neliö, jonka sivun pituus menee nollaan, ei ole enää neliö. Matemaattisesti se on degeneroitunut neliö - mutta myös degeneroitunut mikä tahansa monikulmio.Mielessäni oli voidaanko mielivaltaisesta luvusta sanoa kuuluuko se kyseiseen lukujonoon, konstruoimatta ensin kyseistä lukujonoa termi termiltä. Tai voidaanko sanoa, mikä on lukujonon n:s termi, etsimättä ensin n-1 edellistä termiä.
209. Jukkis14.9.2011 klo 12:22
Mikä on suurin määrä kirjaimia, joka luonnollisen luvun kirjoitetussa asussa voi olla? Tietysti luvun lähestyessä ääretöntä tuo lähestyy ääretöntä, koska nimi pitää rakentaa nimettyjen kymmenen potenssien avulla, eikä niitä ole kuin äärellinen määrä.Näköjään (Wikipedia) kaikki miljoonan potenssit 20:een asti on nimetty, miljoona^20 = 10^120 = vigintiljoona. Sen jälkeen on parille muulle isolle luvulle nimi, mutta eiköhän lukujen nimiä miettiessä järkevää ole pysytellä luvuissa jotka on < 10^126. Siis enintään 126-numeroisissa luvuissa. Muuten nimien rakentelu menee liian älyttömäksi.
Silloin pisin nimi on tietysti luvulla, jossa on pelkkiä seiskoja ja kaseja yhteensä 126 kpl. Sen nimeen näyttää tulevan 2097 kirjainta (plus välilyöntejä).
Rupesin miettimään, että voisi kirjoittaa ohjelman, joka antaa luvun kirjoitetun nimen, kun siihen syöttää luvun numeroina. Eli jos inputtina on vaikka
12345678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456789012345678901234567890 12345678901234567890123456
niin ohjelma tulostaa että
satakaksikymmentäkolmetuhatta neljäsataaviisikymmentäkuusi vigintiljoonaa
seitsemänsataakahdeksankymmentäyhdeksäntuhatta kaksitoista undevigintiljoonaa
kolmesataaneljäkymmentäviisituhatta kuusisataaseitsemänkymmentäkahdeksan duodevigintiljoonaa
yhdeksänsataayksituhatta kaksisataakolmekymmentäneljä septendekiljoonaa
viisisataakuusikymmentäseitsemäntuhatta kahdeksansataayhdeksänkymmentä sedekiljoonaa
satakaksikymmentäkolmetuhatta neljäsataaviisikymmentäkuusi kvindekiljoonaa
seitsemänsataakahdeksankymmentäyhdeksäntuhatta kaksitoista kvattuordekiljoonaa
kolmesataaneljäkymmentäviisituhatta kuusisataaseitsemänkymmentäkahdeksan tredekiljoonaa
yhdeksänsataayksituhatta kaksisataakolmekymmentäneljä duodekiljoonaa
viisisataakuusikymmentäseitsemäntuhatta kahdeksansataayhdeksänkymmentä undekiljoonaa
satakaksikymmentäkolmetuhatta neljäsataaviisikymmentäkuusi dekiljoonaa
seitsemänsataakahdeksankymmentäyhdeksäntuhatta kaksitoista noviljoonaa
kolmesataaneljäkymmentäviisituhatta kuusisataaseitsemänkymmentäkahdeksan oktiljoonaa
yhdeksänsataayksituhatta kaksisataakolmekymmentäneljä septiljoonaa
viisisataakuusikymmentäseitsemäntuhatta kahdeksansataayhdeksänkymmentä sekstiljoonaa
satakaksikymmentäkolmetuhatta neljäsataaviisikymmentäkuusi kvintiljoonaa
seitsemänsataakahdeksankymmentäyhdeksäntuhatta kaksitoista kvadriljoonaa
kolmesataaneljäkymmentäviisituhatta kuusisataaseitsemänkymmentäkahdeksan triljoonaa
yhdeksänsataayksituhatta kaksisataakolmekymmentäneljä biljoonaa
viisisataakuusikymmentäseitsemän miljardia
kahdeksansataayhdeksänkymmentä miljoonaa
satakaksikymmentäkolmetuhatta neljäsataaviisikymmentäkuusi
ja kertoo, että tuossa on 1551 kirjainta.
Tuota voisi sitten käytää generoimaan tuo Olavi Kivalon määrittelemä lukujono kokonaisuudessaan. Siis enintään 126-numeroisille luvuille.
210. Olavi Kivalo17.9.2011 klo 08:55
Vähemmälläkin pääsee. Etsityssä lukujonossa on tiettyjä lainalaisuuksia, jotka rajaavat hakuavaruutta oleellisella tavalla. Tässä operoidaan vain luvuilla 1, 2, 7 ja 9. Näiden lukujen nimien lisäksi tarvitaan sanat toista, kymmenen, kymmentä, sata, sataa, tuhat, tuhatta, miljoona, miljoonaa jne, joita yhdistelemällä voidaan konstruoida (luultavasti kätevimmin olio-ohjelmoinnilla) nimet kaikille luvuille.
Seuraavassa näyte lukujonosta.
a(54)=17.777.999
a(55)=17.777.779
a(56)=21.777.779
a(57)=22.777.777
a(58)=27.777.799
a(59)=27.777.777
a(60)=77.777.799
a(61)=77.777.777
Siitä ilmenee tiettyjä säännönmukaisuuksia, jotka voivat edesauttaa jonkinlaisten algoritmien löytämistä. Esim 7 ei voi seurata 9:ää ja 2 ei voi seurata 7:ää.
211. Olavi Kivalo23.9.2011 klo 00:26
Kun n>6, ’monikerta’ eli ’vähintään kaksinkertainen’ tarkoittaa ’kaksinkertainen’. Toisin sanoen luvun a(n) kirjainten lukumäärä on 2n eli parillinen, kun n>6. Kun n kasvaa, seiskojen osuus luvussa a(n) kasvaa. Pelkästään seiskoja sisältävien lukujen kirjainten lukumäärälle n7(i) on johdettavissa lauseke
n7(i) = 9i + 8Round[i/3] + 5Round[(i-1)/3] + m(i), i=1,2,3,…
Termi m(i) on päättymätön summa:
7Boole[i>3]+9Boole[i>6]+9Boole[i>9]+9Bool e[i>12]+10Boole[i>15]+…,
missä Boolen kertoimet tarkoittavat sanojen ‘tuhatta’, ’miljoonaa’, ’miljardia’, ’biljonaa’, ’triljoonaa’ jne kirjainten lukumäärää.
Apulukujono n7(i) alkaa näin
n7(i) = 9, 26, 40, 56, 73, 87, 105, 122, 136, 154, 171, 185, 203, 220, 234, 253, 270, 284
Täten esim n7(18) = 284, joka on luvun 777.777.777.777.777.777 kirjainten lukumääärä.
Jokainen luku, jonka kirjainten lukumäärä on parillinen n7, on jonon a(n) termi. Esim. a(n7(2)/2) = a(13) = 77, a(n7(3)/2) = a(20) = 777, a(n7(4)/2) = a(28) = 7.777 jne. Vastaus aiemmin tekemääni kysymykseen ”voidaanko sanoa, mikä on lukujonon n:s termi, etsimättä ensin n-1 edellistä termiä” kuuluu siis ”kyllä voidaan”. Etsitään lähin lukujonon n7(i) termi ja päätellään siitä.
Esim.1. Mikä on a(60)? Se on luku, jonka kirjainten lukumäärä on 2n eli 120. Lähin lukujonon n7(i) termi on n7(8) = 122, joka on luvun, jossa on 8 seiskaa, eli luvun a(61) = 77.777.777 kirjainten lukumääärä. Luku a(60) saadaan korvaamalla kaksi viimeistä seiskaa yhdeksiköillä, jolloin kirjainten lukumäärä vähenee kahdella ja on siis 120. Näinollen a(60) = 77.777.799.
Esim.2. Mikä on a(62)? Se on luku, jonka kirjainten lukumäärä on 2n eli 124. Lähin lukujonon n7(i) termi on edelleen n7(8) = 122. Etsitään pienin luku >77.777.777, jossa on kaksi kirjainta enemmän. Enemmän kirjaimia saadaan vain siirtymällä satoihin miljooniin. Kun lukuun a(60) lisätään eteen ykkönen, lisääntyy kirjainten määrä neljällä, joten a(62) = 177.777.799. Seuraava eli a(63) lienee 227.777.799, koska sanassa ’kaksisataakaksi’ on kaksi kirjainta enemmän kuin sanassa ’sataseitsemän’.
Enpä taida viedä tätä tämän pitemmälle. Ei liene sen väärti.
212. Jukkis23.9.2011 klo 09:07
Jännittävää. Mutta eipä tätä asiaa loppuun asti tutkimalla tosiaan taida lukuteorian saralla kovin suureksi tähdeksi päätyä.
213. Antti23.9.2011 klo 09:07
Edellisen kaltaiset ovat monille laskemattomia. Vaihteeksi ehkä hiukkasen ratkaistavampi:9, 16, -45, -192, -275, 144, 1911, ?
214. Antti28.9.2011 klo 15:34
6400a(j) = j^5 - 8*j^4 + 12*j^3 + 4*j^2
215. Jaska28.9.2011 klo 17:27
Ei ollut hiukkaakaan ratkaistavampi, vaan kerrassaan mahdoton olettamuksella, että kaikki jonon annetut luvut ovat oikein.
216. Antti29.9.2011 klo 05:22
Onkohan tämä edellisiä sopivampi?12, 24, 36, 50, 62, 74, 106, ?
217. Jukkis29.9.2011 klo 07:31
Onko 208?
218. Antti29.9.2011 klo 09:06
Jukkis, on mielessäni toinen luku.
219. Jukkis29.9.2011 klo 10:37
Ihan samalla periaatteella kuin edellisen tehtäväsi vastaus 6400 löytyi, löytyi tuo 208. Eli laskemalla peräkkäisten erotukset, sitten noiden erotusten erotukset, kunnes Excel-taulukon rivillä 6 on kaksi lukua, kumpikin sama. Silloin sääntö on löytynyt. Joku polynomi tässäkin siis on kyseessä.
220. Jaska29.9.2011 klo 11:32
Minä en onnistunut löytämään edellisen tehtävän ratkaisua peräkkäisillä erotuksilla. Ehkä tein jonkin virheen. Päättelemällä on taas minulle mahdotonta löytää ratkaisua mielivaltaisille pitkiin polynomeihin perustuville tehtäville. Onnekas arvaus on eri juttu, mutta ei minulla ole tuuria lotossakaan...
221. Antti29.9.2011 klo 11:38
En käy kiistämään. Kuitenkin toinenkin ratkaisu on. Siinä seuraava luku on 120.
Entä sitä seuraava?
222. Jaska29.9.2011 klo 12:07
Muudan päättely antaa luvun 132. Muitakin siis on, kuten Jukkiksella.
223. Antti29.9.2011 klo 12:24
Tämä oli mielessäni, 10, 20, 30, ... kahdeksanjärjestelmään muunnettuna.
224. Jukkis29.9.2011 klo 13:19
No sitten toi erotusmenetelmän toimiminen oli ihan sattuma.
225. Olavi Kivalo5.10.2011 klo 23:28
Näinkin voi luoda lukujonoja. Lähdetään siitä itsestäänselvyydestä, että lukujonossa luvut on erotettu toisistaan pilkulla. Mikä on sellainen lukujono a(n), jossa pilkun molemmin puolin olevien lähimpien numeroiden summa on pilkun molemmin puolin olevien lukujen erotus a(n+1)-a(n)>0?Esimerkiksi 0,1 on käypä alku, koska 0+1 = 1-0. Tämä jono ei kuitenkaan jatku. Mikä on pisin päättyvä lukujono? Onko päättymätön lukujono mahdollinen?
226. Jaska6.10.2011 klo 00:01
Siis esim. näin 9, 27, 41
227. Jukkis6.10.2011 klo 09:26
Pitää vissiin osata kiinnittää huomio sanoihin "numero" ja "luku"?Ymmärtääkseni Jaskan ehdotus ei toimi, koska 9+2 != 27-9.
0, 9, 19, 31, 35, 44, 53, 62, 71, 79, 97, 105, 111, 113, ...
Menikö oikein? Ei jaksa tutkia, mihin asti jatkuu.
228. Jukkis6.10.2011 klo 09:47
Ainakin sitten kun on päädytty jonossa vähän alle tuhanteen, voi olla edessä umpikuja. Esim. luvusta 992 ei voi jatkaa.
229. Jaska6.10.2011 klo 10:33
Kas, minulta unohtui "lähimmät numerot."
230. Olavi Kivalo6.10.2011 klo 11:16
Hyvin ollaan kärryillä. Jukkiksella ei liene kuitenkaan pisin. Jos vähän rukkaa etupäätä niin pitenee hieman. Ja umpikuja on tosiasia, mutta se tulee jo hieman aiemmin. Toisaalta aloittamalla eri tavoin voi umpikujan ohittaa.
231. Jukkis6.10.2011 klo 17:39
Koodasin vähän. Eka versio ottaa jonon seuraavaksi termiksi aina pienimmän mahdollisen. Silloin tyssää 989:ssä. Nyt sitten pitäis ohjelmaa kehittää niin, että se seuraavaksi ottaa 5:n sijaan 6 ja katsoo, mihin päätyy. Ja aina kun tyssää, palaa alkuun ja katsoo seuraavasta vaihtoehdosta lähtien taas homman loppuun. Tulee kyllä aikamista luuppaamista, joten voi olla että tämmöinen brute force -menetelmä ei ole paras mahdollinen.0, 5, 11, 13, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 79, 97, 105, 111, 113, 117, 125, 131, 133, 137, 145, 151, 153, 157, 165, 171, 173, 177, 185, 191, 193, 197, 206, 214, 220, 222, 226, 234, 240, 242, 246, 254, 260, 262, 266, 274, 280, 282, 286, 294, 301, 305, 313, 319, 331, 335, 343, 349, 361, 365, 373, 379, 391, 395, 404, 412, 418, 430, 434, 442, 448, 460, 464, 472, 478, 490, 494, 503, 511, 517, 529, 543, 551, 557, 569, 583, 591, 597, 610, 616, 628, 642, 650, 656, 668, 682, 690, 696, 709, 725, 737, 751, 759, 775, 787, 802, 812, 822, 832, 842, 852, 862, 872, 882, 892, 903, 915, 929, 947, 963, 975, 989
232. Olavi Kivalo6.10.2011 klo 20:33
Jos lähestyy jonon alkupäätä jostain sopivan suuresta luvusta lähtien, sanotaan 44, löytää eripituisia päättyviä haaraumia. (Tässä pitää summata pilkusta kauimmat numerot)44, 35, 26, 17, 13, 11, 5, 0 (8)
44, 35, 26, 17, 13, 6, 0 (7)
44, 35, 26, 22, 15, 7, 0 (7)
44, 35, 26, 17, 8, 0 (6)
44, 35, 31, 19, 9, 0 (6)
44, 35, 26, 17, 13, 11, 10 (7)
44, 35, 26, 22, 15, 12 (6)
44, 35, 26, 22, 20, 14 (6)
44, 35, 31, 24, 16 (5)
44, 40, 28, 18 (4)
44, 40, 28, 24, 21 (5)
44, 40, 28, 23 (4)
44, 40, 33, 25 (4)
44, 40, 33, 30 (4)
Näistä ylin on pisin. Näyttää ikäänkuin ainakin kaikista pienehköistä luvuista, lukuunottamatta 1, 2, 3, 4, alkavat haarat liittyisivät eri kohdissa tuohon Jukkiksen antamaan päättyvään jonoon. Mikä on alin luku, josta alkava jono ei liity, vaan ohittaa kohdan 989, ja mihin se jatkuu?
233. Jukkis6.10.2011 klo 21:01
Väitänpä, että pienin luku, josta lähtemällä pääsee yli tuhannen, on 962. Sen jälkeen tulee sitten vastaan 10000, josta ei pääse läpi, koska se vaatisi päätymistä johonkin näistä: 9962, 9972, 9984, joista yhteenkään ei voi päätyä, koska ei voi päätyä 9:llä alkavaan parilliseen lukuun.Joten ehkäpä: Kun aloittaa luvusta 10^n - 38, pääsee hiukka alle lukuun 10^(n+1). n voi olla kuinka iso vaan, joten jono kai voi olla kuinka pitkä vaan.
Voin kyllä olla väärässäkin.
234. Olavi Kivalo6.10.2011 klo 23:30
Väite 'pienin luku, josta lähtemällä pääsee yli tuhannen, on 962' on väärä. Se on helposti todistettavissa vaikkapa lähtemällä luvusta 1001 taaksepäin. Näin löytyy myös tuon jonon alin luku. Onko se absoluuttisesti alin luku, josta käsin pääsee yli luvun 989 ja sitä kautta yli tuhannen, en tiedä. Siihenkään minulla ei ole vastausta, kuinka pitkälle tuo jono jatkuu, mutta aika pitkälle kuitenkin.
235. Antti7.10.2011 klo 06:40
100, 104, 95, 103, 88, 100, 79, 95, 68, ...Kuinka mones luku alittaa ensimmäisenä 0:n?
Mikä tämä luku on?
236. Jukkis7.10.2011 klo 08:43
"...helposti todistettavissa vaikkapa lähtemällä luvusta 1001 taaksepäin". Näinhän minä eilen tein, ja metsään menin, kun en älynnyt, että noita polkuja taaksepäin on enemmän kuin yksi. Ei tämä ihan niin simppeli juttu ollutkaan kun eilen illalla kuvittelin. Jännä probleemi tämä kyllä on.
237. Jaska7.10.2011 klo 11:32
Antti 06:40 yhdeksästoista/-17
238. Antti7.10.2011 klo 11:39
Hyvä, Jaska!
239. Matti7.10.2011 klo 14:34
20. luku näyttää olevan 23. Perässä tullaan!
240. Antti7.10.2011 klo 15:38
Eikä tieltä ole eksytty.
241. Olavi Kivalo11.10.2011 klo 22:38
Mahdollisesti alin luku, josta käsin 1000 ylittyy, on 396. Siitä lähtevä jono jatkuu ja jatkuu. Tämän ongelman keskeiset kysymykset tulivat näin jo käsitellyiksi, joten päätän raporttini näihin tunnelmiin.
242. Olavi Kivalo20.10.2011 klo 10:48
Kokonaisluvut ovat toistensa anagrammeja, jos niissä on samat numerot. Esim. 230 ja 320 ovat toistensa anagrammeja, mutta 230 ja 023 eivät ole. Nolla-alkuisia ei siis lasketa.Kuinka alkaa lukujono, jonka termi a(n), n=1,2,3,... on pienin kokonaisluku, josta muodostuu n anagrammia?
243. Jaska20.10.2011 klo 11:17
12, 112, 102, 11112, 123, 1111112...
244. Wexi20.10.2011 klo 11:17
(tarkoitit; "023 ja 023 eivät ole...)
245. Jukkis20.10.2011 klo 11:24
Voiskohan mennä että1, 12, 112, 102, 11112, 123, 1111112, ...
Olettaen että myös luku itse lasketaan anagrammien joukkoon.
246. Jukkis20.10.2011 klo 11:25
Eli Jaska oletti, että luku itse ei ole itsensä anagrammi. Muutenhan meillä on samat.
247. Jaska20.10.2011 klo 11:34
Tarkoititko Wexi, että Olavi Kivalo ei tarkoittanut kirjoittamaansa?
248. Wexi20.10.2011 klo 11:42
[Lukihäiriö, sori. Puolisokeana hahmotin; 023 ja 032 eivät käytössä...Vähän pökrässä vielä, torkahtelin pari tuntia valvotun yön jälkeen...)
249. Olavi Kivalo20.10.2011 klo 16:31
Noin se alkaa. Jos luovutaan rajoitteesta, että a(n) on pienin kokonaisluku, olisikohan funktioita, jotka tuottaisivat lukujonon, jossa on pelkkiä n anagrammia tuottavia termejä?
250. Olavi Kivalo20.10.2011 klo 23:58
Yritin löytää jotain muuta kuin se triviaali, johon pääsee käsiksi tuosta jonosta a(n)= 1, 12, 112, 102, 11112, 123, 1111112, ...Se triviaali on f(n) = (10^n+8)/9, joka antaa f(n)=2,12,112,1112,11112,111112,1111112,...
Mahdollisuuksia on paljon, mutta en löytänyt muuta funktiota. Mutta en paljon etsinytkään.
Näyttää muuten siltä, että a(n) = f(n), kun n on alkuluku. Olisikohan näin ja jos on niin miksi?
251. Jukkis21.10.2011 klo 08:57
Oliskohan siksi kun a(n) = f(n) kaikilla parittomilla n:n arvoilla, siis myös alkuluvuilla.Perustelu syntyy varmaan jotenkin sen kautta, että n! on aina parillinen.
252. Wexi30.10.2011 klo 12:55
"Geokätkömysteeri""A1v2.0" (Geokätkön nimi)
Ylläolevasta pitäisi päätellä apuja koordinaatteihin, joista annetaan valmiiksi seuraava:
60 34.abc
24 47.def
Muita apuja ei ole.
(Tiedä nyt onko reilua tällainen avunpyyntö?
Tältä säikeeltä kun on löytynyt vastauksia jos vaikka mihin:-)
253. Jaska30.10.2011 klo 17:40
Jos valmiit luvut olisivat leveys- ja pituusasteita, kätkö löytyisi Rajamäen tehtaiden tienoilta, ja voittajalle palkintona laatikko vodkaa? Mutta ei kai se noin helppoa voi olla.
254. Jukkis30.10.2011 klo 18:20
Mistä "ylläolevasta"? Näyttää olevan vain maksaviile jäsenille tarkoitettu kätkö, joten ei pääse katsomaan tarkempia tietoja.
255. Wexi30.10.2011 klo 20:06
"A1v2.0"Vaihteeksi hiukan helpompi mysteeri. Pidennetty mikropurkki löytyy koordinaateista:
60 34.abc
24 47.def
Onnea ratkaisuun!
(Kätkö sijaitsee Hyvinkäällä.)
(Sitaateissa kätkön nimi. Sitä seuraa kätkön kuvaus kokonaisuudessaan.
Ei ole muita apuja ("Tatti98", nuorimmaiseni, on äitinsä tapaan premium-jäsen, joten pääsimme "kuvaukseen.))
(Ps. Tuon laatija on kuuluisa melko ruotoisista mysteereistä.)
256. Jukkis30.10.2011 klo 21:03
No minä pähkäilin tätä niin, että kun on olemassa mysteerikätkö A1, jossa aika helposti voi todeta että periaate on että suoraan aakkoset numeroiksi (eli A = 1, B = 2 jne), niin josko tässä A1 versio 2:ssa olisi sama periaate. Saadut koordinaatit ainakin vie paikkaan, joka kartassa näyttäis hyvinkin sopivalta kätköpaikalta.Mutta tuo arvaushan voi olla ihan päin seiniä. Mutta jos asuisin lähellä, niin kävisin katsomassa.
257. Wexi30.10.2011 klo 21:20
Kiitos Jukkis vihjeestä. Saattaa olla ihan noinkin "yksinkertainen". Poitsu mennee äitinsä kanssa nousuviikolla tsekkaamassa.
258. Antti15.11.2011 klo 13:18
3, 17, 115, 801, 5603, 39217, 274515, ?
259. Wexi15.11.2011 klo 13:40
Muistaessani, tuo taannoin peräänkuuluttamani "A1v2.0" oli noinkin yksinkertainen; Arkkikoko A1 = 594×841.v2.0 viittaa toiseen versioon aiheesta.
260. Jaska15.11.2011 klo 13:49
Yritin ratkaista päässälaskuna, mutta vikan kertolaskun oslata piti turvautua kynään ja paperiin: 1647086.
261. Matti15.11.2011 klo 20:05
Excelillä laskien saadaan 1921601.
262. Antti15.11.2011 klo 20:10
Jaska, jos vastauksesi oli tehtävääni annettu, en allekirjoita sitä.
263. Antti15.11.2011 klo 20:12
Matin kanssa olen samaa mieltä.
264. Matti15.11.2011 klo 21:32
Eli A(n)=(7^n+2)/3. Heti ei tule ajatelleeksi, että seitsemän potenssit mod3 = 1, mutta näinhän se menee. A(n) on siis aina kokonaisluku.
265. Jaska15.11.2011 klo 22:03
Juu, juu tietysti, mutta mahdoitteko lainkaan noteerata, että hajamielisyyttäni unohdin lisätä tulokseeni eli jonon lukujen seisemänteen erotukseen 1647086 jonon seitsemännen luvun 274515. Erotuksethan saadaan myös kertomalla edellinen seitsemällä.
266. Antti16.11.2011 klo 06:55
Niinpä. Jos täysin oikeasta vastauksesta saa 6 pistettä, matematiikan opettajalta olisit, Jaska, vastauksestasi voinut saada arvioni mukaan 4 pistettä.
267. Jaska18.11.2011 klo 16:32
Muistaakseni seuraava, mielestäni kiintoisa jono, ei ole vielä ollut:5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, ?
268. Wexi18.11.2011 klo 18:15
Jatkuuko tämä alkulukuporukka seuraavasti: ...1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613...("Centered square prime", yritin luntata, mutta kielipuolena jäi osin hahmottumatta.
Pohjustuksena ko. sivulla oli "Centered square number", joka oli ymmärrettävissä hyvin "lävistäjäkuviolla")
269. Olavi Kivalo18.11.2011 klo 19:12
Tämä on OEIS:ssa: a(n) = n^2+(n+1)^2, n=1,2,3,...
270. Wexi18.11.2011 klo 19:28
Tuo edellinen, "Centered square number", tarjoaa myös muita kuin alkulukuja: 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221...
271. Jaska18.11.2011 klo 21:46
Tuossa yritin pientä knoppia, kun kyssäriluvussa 3-1 rytmi ei enää toiminutkaan. Alkuluvut on siis peräkkäisten neliösummien osajoukko.
272. Olavi Kivalo20.11.2011 klo 11:33
OEIS:stä puheenollen, siellä lähestytään lukujonoa A200000. Sen johdosta on käynnistetty keskustelu siitä, mikä olisi niin merkittävä uusi lukujono, että se ansaitsisi tulla tuoksi 'merkkijonoksi'. Seuraava on saanut jo kannatusta:i^i^i^i..., jossa i=Sqrt[-1]; itse lukujono olisi niiden erilaisten ratkaisujen lukumäärä, jotka saadaan kaikilla mahdollisilla tavoilla käyttää sulkumerkkejä lausekkeessa, jossa i esiintyy n kertaa. Esim. a(4) = 3, koska on olemassa 5 mahdollista tapaa käyttää sulkuja, joista kuitenkin vain 3 antaa erilaisen arvon: i^(i^(i^i)), i^((i^i)^i) = ((i^i)^i)^i, (i^i)^(i^i) = (i^(i^i))^i.
Lukujonolle on löydetty 12 ensimmäistä termiä.
Olisiko tuo nyt riittävän juhlava jono? Jos pikaisesti löytyy parempi kandidaatti, niin ehtinee vielä mukaan.
273. Wexi20.11.2011 klo 13:12
[Ei pikaisesti:-)]
KOMMENTOI