KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > JOULUPÄHKINÄ!

3172. Joulupähkinä!

airisto24.12.2006 klo 10:41
Kolme henkilöä (A, B ja C) ajautuvat vakavaan riitaan, johon he eivät löydä muuta ratkaisua kuin kaksintaistelun, tai siis tässä tapauksessa kolmintaistelun.

Kolmintaistelu on kaikkien tuntema menetelmä tällaisten erimielisyyksien ratkaisuksi: Henkilöt asettuvat tasasivuisen (sivun pituus 20m) kolmion kärkipisteisiin, yksi kuhunkin, tämän jälkeen taisteluun osallistujat ampuvat aseella valitsemaansa kohdetta. Ensin ampuu huonoin ampuja, sietten keskimmäinen ja viimeiseksi paras. Se joka viimeisenä on elossa voittaa. Aseen ammukset ovat sellaisia, että ne tappavat aina osuessaan, kukaan ei siis voi haavoittua.

Kyseiset henkilöt A, B ja C tuntevat hyvin toisensa yhteisistä ampumaharjoituksista. He kaikki tietävät, että kyseiseltä matkalta A osuu 100% varmuudella, B 66,666...% varmuudella ja C 33,333... varmuudella.

Henkilö C siis aloittaa ja ampuu valitsemaansa kohdetta, Sitten on B:n vuoro, jos hän on vielä hengissä ja sitten A:n vuoro, jos on hengissä ja sitten uudelleen C... Näin jatketaan kunnes vain yksi on hengissä.

Kaikki taistelevat itselleen parhaalla tavalla. Valitsevat aina kohteensa parhaalla mahdollisella perusteella.

Mikä on henkilön C kannalta paras mahdollinen taktiikka?
Mikä on henkilön B kannalta paras mahdollinen taktiikka?
Mikä on henkilön A kannalta paras mahdollinen taktiikka?

Mitä taistelussa tapahtuu?

Kenellä kolmesta on paras mahdollisuus (prosenteissa) selvitä hengissä?
2. Tinke24.12.2006 klo 11:54
Lisäpähkinä:

Mistä kaverukset tappelevat, kun riita on noinkin vakava?
3. Tinke24.12.2006 klo 14:43
Vastaus:

C:n kannattaa ensin ampua ohi
B:n kannattaa ampua A:ta ja jos B ei osu, niin A ampuu B:n koska A ajattelee, että B yrittää A:ta tod. näjöisemmin.

C ampuu sen, joka on hengissä.

A ei voi, kun rukoilla, ettei tule osumia.
B kuolee varmasti, kun kolmas ampuu.
C kuolee, jos ei osu toisella laakillaan, (eli viidennellä kiekalla)

Parhaat mahkut voittaa riita on C:llä
4. Matti25.12.2006 klo 17:33
En tiedä onko sama kuin Tinken esittämä, ehkä on.

C:n kannattaa ensin ampua ohi. B ampuu A:ta.

Jos Osui (todenn. 2/3), C ja B ammuskelevat toisiaan kunnes jompikumpi osuu. B jää henkiin todenn. 4/7 ja C todenn. 3/7.

Ellei osunut (todenn. 1/3), A ampuu B:n ja C ampuu A:ta. Jos osuu (todenn. 1/3), hän jää henkiin. Ellei osu (todenn. 2/3), A ampuu C:n.

Näistä voi räknätä, että henkiinjäämistodennäköisyydet ovat
A: 1/3*2/3 = 0,222
B: 0,381 2/3*4/7 = 0,381
C: 1/3*1/3 + 2/3*3/7 = 0,397

Aika yllättävä lopputulos.
5. Matti15.1.2007 klo 19:47
T&T:ssä oli ihan näpsäkkä loppiasenjälkeenpulma:

Kuusinumeroisen luvun ensimmäinen numero on 1. Kun se siirretään viimeiseksi, luku muuttuu kolminkertaiseksi. Mikä siis on tämä luku?

Vastauksella on outo mutta kiehtova yhteys lukuun 7.
6. Jukkis15.1.2007 klo 21:40
En viitsinyt vaivata aivoja, joten ohjelmoin tietokoneen etsimään. Löytyihän se. Tuosta 7-yhteydestä en keksi muuta kuin esittää se luku 7-järjestelmässä, jolloin se sisältää vain kahta eri numeroa. Mutta ei se kyllä ole kovin outoa eikä kiehtovaa.
7. Jukkis15.1.2007 klo 21:43
Eikun on se 7-järjestelmässä esittäminen sittenkin outoa ja kiehtovaa, kun esittää nuo molemmat luvut 7-järjestelmässä.
8. Jukkis15.1.2007 klo 21:44
Eipäs se sittenkään ole outoa ja kiehtovaa.
9. Olavi Kivalo15.1.2007 klo 23:15
Öh, seiska tulee kun kympistä vähennetään kolmonen
10. Matti15.1.2007 klo 23:25
Tsiigatkaa desimaalilukuja 1/7. Ja 2/7, ja 3 per ja ... 7/7.

Lähden tästä nyt Varkauteen. Mutta palataan.
11. Olavi Kivalo15.1.2007 klo 23:36
Hmm, tosiaan. Mutta oli niitä seiskoja kohdefunktiossakin.
12. Jukkis16.1.2007 klo 10:37
Aika jännä juttu.
13. tjn17.1.2007 klo 10:32
Yksinkertainen yhtälö antaa vastauksen Matin loppiaskysymykseen.

En minäkään keksi mitään 7-mystiikkaa vastauksessa. Vieläkö se Matti on siellä Varkaudessa?
14. Olavi Kivalo17.1.2007 klo 10:43
tjn: Ei se ole mystinen, mutta tosiaan outo, kiehtova ja aika jännä. Kuinka ratkot yhtälösi?
15. iso S17.1.2007 klo 11:53
Jos merkitään x:llä sitä ykkösen perässä olevaa 5-numeroista osaa, saadaan yhtälö
3*(100000+x)=10x+1
koska ykkösen siirtäminen loppuun tapahtuu niin että x-osuus kerrotaan kymmenellä (se siirtyy pykälän vasemmalle) ja näin saatuun lukuun lisätään yksi. Tämä ratkeaa näin:
300000-1=10x-3x
299999=7x
x=42857

Haettu ihmeluku saadaan kun laitetaan x:n eteen 1 eli haettu luku on 142857.
16. Olavi Kivalo17.1.2007 klo 17:40
Ratkaisin ongelman lineaarisella optimoinnilla (napin painalluksella), joka kertoo toisenlaisesta tavasta lähestyä ongelmaa kuin edellä oleva.

Yleisesti, liittymättä tähän pähkinään, ongelman määrittely on kiinnostavin vaihe, koska sen tekee ihminen. Se on myös useimmiten vaikein vaihe. Hyvin määritellyn ja matemaattisesti formuloidun ongelman ratkaisu voidaan etsiä tietokoneella ja se vaihe on usein pässinlihaa.
17. Jukkis17.1.2007 klo 19:59
Eipä tuo 7-yhteys sittenkään kovin outo ole. Tässähän on kyse siitä, että rationaaliluvun a/b (missä a ja b ovat kokonaislukuja) desimaalimuoto (tarkemmin sanottuna sen desimaaliosa) on aina jaksollinen, ja tietyillä kokonaisluvun N arvoilla rationaaliluvussa NA/b on sama jakso kuin a/b:ssä.

Sattuu olemaan niin, että kaikilla luvuilla N/7 (missä N ei ole 7:n monikerta) on desimaaliosassa sama jakso 142857 (tai yhtä hyvin 428571 tai 285714 tai ....).

Sen sijaan esim. luvuilla N/13 ei ole kaikilla sama jakso, vaan esim. 1/13:n jakso on 076923, ja luvuista 3/13, 4/13, 9/13, 10/13, 12/13 jne löytyy sama jakso. Sen sijaan lukujen 2/13, 5/13, 6/13, 7/13, 8/13, 11/13 jne. jakso on 153846. (Ja jännähköä on se, että 153846 = 2 x 076923.)

Joten voidaan esittää vaikka tämmöinen probleemi:
Kuusinumeroisen luvun ensimmäinen numero on 1. Kun se siirretään viimeiseksi, luku muuttuu 3,5-kertaiseksi. Mikä siis on tämä luku? (Vastauksella on outo mutta kiehtova yhteys lukuun 13.)
18. Olavi Kivalo17.1.2007 klo 20:07
Kun 6-numeroinen luku katkaistaan keskeltä ja puoliskot vaihtavat paikkaa, luku muuttuu kuusinkertaiseksi.
Mikä siis on tämä luku?

Vastauksella on outo mutta kiehtova yhteys lukuun 7.
19. tjn18.1.2007 klo 08:46
iso S ehti jo esitellä täsmälleen saman yhtälön, jota itsekin käytin. Eikä siinä mitään, hyvä näin. Nykyään kun muiden aktiviteettien takia piipahtelen näillä sivuilla perin satunnaisesti,vuorovaikutukseni jää lähinnä stokastiseksi.

Ei olisi lineaarinen optimointi ekana tullut itselleni mieleen tässä pähkinässä. Varmaan mielenkiintoinen toteutus.

Ja Jukkikselle nostan pipoani syvälle luotaavasta analyysistä lukujen maailmaan. Joku kun vielä kytkisi asian alkulukujen mystiikkaan, saisimme vielä lisää haipakkaa.
20. Matti1.2.2007 klo 23:23
T&T:n tuorein numero inspiroi ihan kivan pulman.

Otetaan kuusi samanmittaista narunpätkää, pannaan ne nippuun ja laskostetaan keskeltä kahtia siten, että edessä on 12 narunpäätä. Sitten sidotaan narunpäät summanmutikassa pareittain yhteen. Saadaan siis 6 solmua.

T&T pyytää piirtämään kolme eri tapaa, joilla nippu aukaisten syntyy yksi yhtenäinen rengas. OK, mutta mikä mahtaa olla tämän todennäköisyys?

Iisimpää on laskea, millä todennäköisyydellä ei synny yhtenäistä rengasta.
21. Jaska1.2.2007 klo 23:49
Miten niin iisimpää? Yhtenäisen renkaan ja muiden kombinaatioiden yhteinen todennäköisyyshän on 1. Sain renkaan todennäköisyydeksi päässälaskulla n. 0,07 = 64/924. Vaikuttaa tosin liian helpolta ollakseen oikein.
22. jupejus2.2.2007 klo 00:33
Tuo on muuten vanha "taika". Mustaa karhulankaa katkotaan noin, kuuteen yhtämittaiseen pätkään ja vain ne langanpäät nyrkistä näkyvillä (tosin kuusi päätä yhteen ja vaihdetaan puolta) ne solmitaan - ja jos menee renkaaksi niin se tietää...
23. Jaska2.2.2007 klo 15:04
No menihän se ajatus unenpöpperössä ilman kynää ja paperia kuuteen solmuun viime yönä, mikä tietysti oli tarkoituskin. Ratkaisu vain meni pieleen. Uusi yritys: yhtenäisen renkaan todennäköisyys = 64/8100 = 0,0079. Matemaatikot vahvistakoot tai dementoikoot.
24. Matti3.2.2007 klo 17:21
Asiaa uudelleen miettien iisimpää on laskea suoraan, millä todennäköisyydellä syntyy rengas.
25. Matti4.2.2007 klo 17:45
Lasketaan ensin kuinka monella eri tavalla päät voidaan solmia niin, että syntyy yksi rengas.

Merkitään naruja ja päitä seuraavasti:
A-B
C-D
E-F
G-H
I-J
K-L

Sidotaan ensin A. On 10 mahdollisuutta: C,D,E, ... ,L
Valitaan vaikka C, saadaan solmu AC. Sidotaan seuraavaksi vaikka B. On 8 mahdollisuutta: E,F,G, ... ,L. Valitaan vaikka E, saadaan solmu BE. Sitten on 6 mahdollisuutta, sitten 4 ja lopulta 2. Siis tapoja on 10*8*6*4*2 erilaista eri 3840 kpl.

Samanlaisella mutta helpommalla päättelyllä todetaan, että kaikenkaikkiaan päät voidaan yhdistää 11*9*7*5*3:lla eri tavalla. Näitä on siis 10 395 kpl. Jakolasku antaa kysytyksi todennäköisyydeksi noin 0,37.

Laskut on helppo yleistää useammankin köydenpätkän tapaukseen. Kun naruja tulee lisää, renkaan todennäköisyys pienenee, ja lähenee nollaa. Mutta hyvin hitaasti. Jos naruja on 20 ja päitä 40, renkaan todennäköisyys on edelleen 0,20. Tätä ei olisi osannut arvata.

Todennäköisyys lähenee nollaa narumäärän kasvaessa samaa vauhtia kuin lauseke 1/sqr(x) lähenee nollaa x:n kasvaessa. Siis hitaasti.
26. Jaska4.2.2007 klo 23:17
Tietenkin se on noin yksinkertaista kuin Matti esitti. Itse olin täysin muissa maailmoissa, esim. sain mahdollisten kombinaatoiden lukumääräksi 720 x 10395, vaikka solmujen sitomisjärjestys ei vaikuta todennäköisyyteen. Sarja kahdella, kolmella, neljällä ja viidellä narulla on siis 2/3, 8/15, 48/105, 384/945, 3840/10395.
27. Jukkis9.2.2007 klo 21:00
Joulu taisi kai jo mennä, mutta silti vielä tähän tämmöinen ongelma:

Kahdessa laatikossa on rahaa, toisessa määrä X ja toisessa 2X, eikä tiedetä kummassa on kumpi, tai mikä on X. Toisen laatikon sisältö on näkyvissä ja toisen ei. Saat pitää valitsemasi laatikon rahat. Kumpi kannattaa valita?

Tuota saa miettiä, tai sitten katsoa, miten sitä on jo muualla spekuloitu eestaas muutaman kymmenen viestin verran:

http://lyhytlinkki.net/?lawvulof
28. Jaska9.2.2007 klo 22:34
Ei tiedetä mikä on X? Sehän tarkoittaa, että rahoja ei pysty laskemaan, vaikka ne ovat näkyvissä. Tehtävän sanamuodosta ei myöskään ilmene, ovatko laatikot saman- vai erisuuruisia (muodoltaan ja tilavuudeltaan), ja ovatko kolikot ja/tai setelit kummassakin saman-/erisuuruisia mitoiltaan ja arvoltaan. Ilmeisesti suljetun laatikon painoa ei saa kokeilla? Mielestäni ratkaisu on selvä vain silloin, kun laatikot ovat samansuuruiset ja tiedetään, että niissä on vain yhtä sorttia rahoja. Jos auki oleva lodju on yli puolillaan, se tietenkin valitaan. Muutenhan valinta on onnen kauppaa. Paitsi jos kyseessä on jokin juju. Esim. olen itse rahaton ja janoinen, ja avatussa lodjussa on silmämmäräisesti ainakin tuopin hinta kulmapubissa.
29. iso S9.2.2007 klo 22:35
Tehtävän asettelussa ei kerrota onko peli rehellistä vai ei, eli onko avattuna satunnaisesti toinen laatikoista vai onko siinä jokin jekku. Esimerkiksi kokeen järjestäjä voi pitää huolen siitä että avattuna on nimenomaan pienemmän summan sisältävä (tai päinvastoin, suuremman sisältävä) laatikko. Tehtävän mielekkyys katoaa jos tilannetta ei oleteta satunnaiseksi.

Jos peli on rehellistä, laatikon vaihtamalla on yhtä suuri mahdollisuus tuplata tai puolittaa näkyvillä oleva raha. 100 prosenttia on enemmän kuin 50 prosenttia (muutoksen määrä), joten vaihtaminen keskimäärin kannattaa.

Jos avatussa laatikossa olevaa rahamäärää merkitään Y:llä, niin suljetun laatikon avaamalla odotusarvoksi tulee
(Y/2+2Y)/2=25Y/2=1.25Y
eli keskimäärin neljänneksen verran tienaa vaihtamalla.

Asiaa selventää jos käytetään todellisia lukuja. Jos näkyvissä on sata euroa, piilossa voi olla 50 tai 200 euroa. Molemmat ovat yhtä todennäköisiä, joten vaihtamalla saa keskimäärin (200+50)/2=125 euroa.

Sen spekuloiminen että sama pätee myös toisinpäin (vaihdetaan takaisin avattuun laatikkoon) on mumbojumboa vaikka sen pukisi miten tieteellisen näköiseen kaapuun. Avatun laatikon rahamäärä on Y eikä vekslaamisesta muutu.

Jos ja kun koe on kertaluontoinen, käytännössä tilanne voi olla toinen. Jos olen ostamassa esimerkiksi 200000 euron asuntoa ja avatussa lootassa on juuri tuo summa, en menisi vaihtamaan. Keskimäärin se kannattaisi ja hyvässä lykyssä minulle jäisi 200000 euroa ylimääräistä kalustamiseen, uuteen autoon ja pahan päivän varalle, mutta fifty-fifty mahdollisuus siihen että pitäisi ottaa 100000 euroa lainaa.

Riittävän pienillä summilla kannattaisi ilman muuta yrittää tuplaamista, koska mahdollisella puolittumisella ei olisi elämäntilanteeni kannalta merkitystä. Riittävän isoilla summilla voisi menetellä samoin, koska puolikaskin olisi enemmän kuin tarvitsen mihinkään oleelliseen lähitulevaisuudessa. Siinä välissä on tarkemmin määrittelemätön alue missä varovaisuus on viisautta.
30. Jaska10.2.2007 klo 11:27
Iso S:n päättely edellyttää, että maksimivoittosumma on nelinkertainen minimiin verrattuna. Sehän edellyttää iso Sn esimerkissä, että laatikkoihin on läntätty satunnaisesti joko 50 + 100 tai 100 + 200 euroa. Vaihtamalla voi siis voittaa 100 prosenttia tai hävitä 50 prosenttia. Näin päädytään lukemaan 1,25 vaihtamalla laatikko. Tai olemalla vaihtamatta. Ei se siitä mielestäni kummene. Itse lähdin siitä, että laatikkoparien summat (pitkässäkin sarjassa) ovat aina samat. Silloin päädytään odotusarvoon 1,5 riippumatta siitä vaihtaako vai ei. Odotusarvo kahden laatikon pitkän sarjan vakiosummilla ja -kertoimilla on aina sama, esim. isompi summa on 100*pienempi, odotusarvo 101/2 = 50,50. Jokohan olen totaalisen yössä, vai vieläkö taivaanrannalla erottuu viimeisen hiipuvan auringonsäteen himmenevä kajo?
31. iso S10.2.2007 klo 18:01
No, piileehän tuossa minun logiikassani melkoinen paradoksi ja totuus piilee ilmeisesti juuri siinä että laatikoissa olevat rahasummat on etukäteen kiinnitetty. Minun järkeilylläni tuloksen paraneminen olisi odotettavissa siinäkin tapauksessa että koehenkilö saa itse valita ensin avattavan laatikon - riippumatta siitä kumman valitsee ensin, kunhan sitten valitsee sen toisen!

Otetaan taas simppeli esimerkki: laatikoissa on todellisuudessa 100 ja 200 euroa. Näistä kumpi tahansa voi olla yhtä todennäköisesti avoimessa laatikossa. "En vaihda" -strategialla pelaajan odotusarvo on silloin (100+200)/2=150 euroa. Vaihtajan odotusarvo on vastakkainen, (200+100)/2=150 euroa. Tämä kuulostaa järkevältä.

Jos peli toimisi niin että avoimen laatikon summa on mikä on ja suljetun summa olisi arvottu (tupla tai puolet avoimesta), logiikkani toimisi.

Keskimäärin on siis samantekevää vaihtaako vai ei. Kertatilanteessa päätös riippuisi siitä kuinka tärkeää olisi saada saman verran lisää ja kuinka kamalaa olisi menettää puolet.
32. Matti10.2.2007 klo 20:45
Sanotaanpa että valitsemassani laatikossa on 100 euroa. Toisen laatikon arvo on satunnaissuure, joka todenn. 0,5 on 50 euroa, ja todenn. 0,5 on 200 euroa. Odotusarvo on siis 0,5*(50+200)=125 euroa. Koska se on suurempi kuin 100 euroa, minun kannattaa vaihtaa laatikkoa.

Helppo juttu, paitsi että lopputulos on järjenvastainen ja selvästi väärä. Nimittäin onhan se nyt ihan se ja sama vaihtaako vai ei, kuten ylläkin on moneen kertaan ja monella eri tavalla todettu.

Tehdään seuraava ajatuskoe: Ensin molemmat laatikot ovat suljettuja. Valitsen toisen, ja minulta kysytään haluanko vaihtaa. No ihan yks hailee. Juuri valitsin toisen, voin kai vaihtaa, tai sitten en, ei mitään väliä. Sitten valitsemani laatikko avataan - siellä on 100 euroa. Vaihdanko? Mitä sellaista lisäinformaatiota laatikon avaaminen minulle antoi, joka vaikuttaisi valintaani? Ei mitään.

Alussa esitetyssä päättelyssä on siis jotain mätää. Mutta mitä? Täytyy vielä miettiä.
33. Jaska11.2.2007 klo 00:38
Ei ole mitään mätää, tiedot vain ovat vaillinaiset. Oletetaan, että pelin alussa on valmiiksi avoin lodju, jossa on AINA sama summa, ja suljetussa siitä satunnaisesti arvottuna joko puolet tai tupla. Jos ei vaihda, tulos on taatusti aina 1, jos vaihtaa, odotusarvo on 1,25. Pelaaja siis tietää, että avoimessa lodjussa on keskimmäinen summa. Näinhän sen luulisi olevan tarkoitettu, koska jos pelaaja joutuu itse avaamaan toisen lodjun ja sen jälkeen tekemään vaihto/pitopäätöksen, hän ei enää tiedä varmuudella odotusarvoa. Näkyvissä oleva summa voi olla joko pienin, suurin tai keskimmäinen.
34. Ari21.12.2018 klo 14:29
Jukkis 9.2.2007 klo 21:00
http://www.sanaristikot.net/keskustelut/?id=3172#1 84992

Mikäli näkyvässä laatikossa oleva summa on pariton, tai se on niin pieni ettei väliä vaikka siitä valtaosan häviäisikin, kannattaa vaihtaa. Muuten kannattaa ottaa näkyvän laatikon rahat.
35. Jukkis21.12.2018 klo 22:27
Hieno nosto yli 11 vuoden takaa. Yhtään en muista, mitä tuolla 9.2.2007 klo 21:00 mainitsemani, nyt toimimattoman linkin takana oli. Mutta olen sitä mieltä, että ei ole väliä, kumman valitsee. Paitsi jo tosiaan toteaa, että avoimessa laatikossa on pariton senttimäärä rahaa.
KOMMENTOI

Pakolliset kentät merkitty tähdellä *