10435. Visa - 4

Jukkis29.4.2020 klo 10:35
Jospa avaan uuden osan tätä, kun kolmonen on aika pitkä.

Jokos kaikki on hoksanneet, miten tästä jatketaan:

1
1 1
2 1
1 2 1 1
1 1 1 2 2 1
3 1 2 2 1 1
1 3 1 1 2 2 2 1
1 1 1 3 2 1 3 2 1 1

Siis muut kuin ++juh, mikä on seuraava rivi? Ja jospa toistaiseksi ei vielä selitettäisi periaatetta.
2. Jaska29.4.2020 klo 18:48
Kovasti pinnistellessä näkyy merkkejä jonkin sortin lineaarisuudesta. Kokeillaan kepillä jäätä. Luultavasti hulahtaa läpi.
4 1 3 2 1 1 3 2 2 1
3. ++juh29.4.2020 klo 19:10
Jaska, toivottavasti vesi ei ole kovin kylmää.

Muunnelma Jukkiksen tehtävästä. Miten jatkuu:

1
1 1
2 1
1 1 1 2
3 1 1 2
2 1 1 2 1 3
3 1 2 2 1 3
2 1 2 2 2 3
4. Jukkis29.4.2020 klo 19:48
Eiköhän
1 1 4 2 1 3
5. ++juh29.4.2020 klo 20:24
Juu.

Huomasin muuten just, mitä "erikoista" on rivissä 13.
6. Jukkis29.4.2020 klo 20:59
Näköjään umpikuja.
7. Jukkis29.4.2020 klo 21:02
Tuo minun ei pääty umpikujaan, ja voidaan osoittaa, että siihen tulee vain numeroita 1, 2 ja 3.
8. Jukkis29.4.2020 klo 21:42
7-segmenttinumeronäytössä kukin numero 0 ... 9 muodostetaan sytyttämällä just oikeat segmentit:
https://www.iconspng.com/images/7-segment-display- numbers/7-segment-display-numbers.jpg

Tehtävä: Muodosta 7-segmenttinumeroista 10-numeroinen luku, jossa kaikki numerot on eri, ja jossa seuraava numero muodostuu edellisestä niin, että joko segmenttejä pelkästään sammuu tai sitten segmenttejä pelkästään syttyy. Seiskan jälkeen siis voi tulla esim. nolla tai ykkönen, mutta ei esim. kakkosta. Ja nelosen jälkeen voi tulla esim. yhdeksän, mutta ei esim. kolmosta. Jne.
9. Jaska29.4.2020 klo 23:33
Miten jatkuu

1
1 1
2 1
1 1 2 1
10. ++juh30.4.2020 klo 02:34
8. Näitähän on useita... esimerkiksi 3 7 0 1 4 9 5 6 8 2.
_ _ _ _ _

9. Vaikkapa näin:

2 1 1 1 2 1
1 3 1 1 2 1 2 1
11. Jaska30.4.2020 klo 11:33
Enpä tuosta ratkaisevasti hurskastunut. "Vaikkapa" tarkoittaa, että muullakin tavalla voi jatkaa. Kun rivit kääntää lopusta alkuun, eli loppuykköset ensimmäiseksi pystyriviksi, havaitsee seuraavissakin säännöllisyyttä. Lopussa numeroiden järjestys näyttää mielivaltaiselta. Epäselväksi jää esim. ensimmäisen kolmosen määräytyminen. Koska myöskään Matias-myyrä ja eol eivät ole juitsusta kärryille päässeet tai ehtineet/välittäneet siihen syventyä, ehdotan ratkaisun julkistamista.
12. Jukkis30.4.2020 klo 12:34
Taas putosin Jaskan kärryiltä. Selvästikin 10:ssä ++juh vastasi Jaskan 9:ssä olevaan tehtävään. Ja sitten Jaska ehdottaa tehtävän ratkaisun julkistamista, siis oman tehtävänsä. Joten noudatas Jaska omaa pyyntöäsi.
13. eol30.4.2020 klo 13:00
Jukkiksen jonojonoon yksi jono lisää:

1
1 1
2 1
1 2 1 1
1 1 1 2 2 1
3 1 2 2 1 1
1 3 1 1 2 2 2 1
1 1 1 3 2 1 3 2 1 1
3 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 2 1

++juhin jonojono tuohon umpikujaan asti:

1
1 1
2 1
1 1 1 2
3 1 1 2
2 1 1 2 1 3
3 1 2 2 1 3
2 1 2 2 2 3
1 1 4 2 1 3
2 1 1 2 1 3 1 4
4 1 2 2 1 3 1 4
3 1 2 2 1 3 2 4
2 1 3 2 2 3 1 4
14. Jaska30.4.2020 klo 13:14
Jukkis, ei 9. varsinainen tehtävä ollut. Tarkoitus oli saada lisävinkki sinulta tai ++juhilta sinun tehtäväsi ratkontaan. Sain sen, kiitos. Kun se ei kuitenkaan johtanut ratkaisuun ehdotin sen julkistamista. Kuvittelin erheellisesti, että asia oli helposti ymmärrettävissä.
16. ++juh30.4.2020 klo 13:46
Jaskan 9. ei siis ollut tehtävä, mutta 9. + 10. on. Eli miten jatkuu:

1
1 1
2 1
1 1 2 1
2 1 1 1 2 1
1 3 1 1 2 1 2 1
17. eol30.4.2020 klo 14:07
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1
18. ++juh30.4.2020 klo 16:35
Rivi 1 3 1 1 2 1 2 1 luetaan siis näin:

1 ykkönen
1 kolmonen
2 ykköstä
1 kakkonen
1 ykkönen
1 kakkonen
1 ykkönen

Vasen sarake on 1 1 2 1 1 1 1, jonka jälkeen tulee toinen sarake numeroina 1 3 1 2 1 2 1.
19. Jaska30.4.2020 klo 17:17
Laskeskelin lukumääriäkin, mutta älli ei riittänyt joka toisen rivin ideaan. Hieno tehtävä, ja kaikki kunnia sen ilman OEIS:iä kekanneille. Nostan teille virtuaalisimamaljan.
20. ++juh30.4.2020 klo 18:51
Tässä vielä Jaskan epätehtävän (9.) toinen "vaikkapa":

1
1 1
2 1
1 1 2 1
1 1 2 1 2 1
1 1 1 1 2 1 2 1 2 1
21. ++juh30.4.2020 klo 20:08
http://ristikkotuumin.fi/juh/kaupunki.png

Piirros esittää kerrostaloa yöllä. Missä kaupungissa se on?
22. Jukkis1.5.2020 klo 21:40
"Missä kaupungissa se on?"

Pakko sanoa että ei nyt ihan lähde.
23. Jaska1.5.2020 klo 22:01
Joo, aika vaikea. Jos kysymys olisi "missä kaupungissa se oli viisi minuuttia sitten" muuan oikeista vastauksista oli Vantaa. Piirros oli näet nokkani edessä ruudulla. Onhan se toki taas uudelleen, jos klikkaan sen esiin. Mutta ongelma on siinä, että se ei ehkä ole alkuperäinen piirros. ++juh voi tarkoittaa myös kaupunkia, jossa piirroksen sanoisinko virtuaalisesti esittämä kerrostalo seisoo kaiketi edelleen, ja ties kuinka pitkään ennen vuotta 2002. Totutusti seisoo myös järki, luovutan.
24. ++juh1.5.2020 klo 22:08
Kaupunkia pitää etsiä oikeasta suunnasta.
25. ++juh2.5.2020 klo 12:49
Tehtävää 21 kannattaa tarkastella toisesta näkökulmasta.
26. Jukkis2.5.2020 klo 14:24
Hups, keksinpäs kaupungin.
27. Jukkis2.5.2020 klo 14:47
Matin menetelmää soveltaen: Jos annetaan kirjaimille arvot A=1, B=2, C=3 jne, niin kaupungin nimen kirjaimien tulon neliöjuuren 4:s, 5:s ja 6:s desimaali on 565.
28. ++juh2.5.2020 klo 16:17
Jukkiksella on oikea kaupunki.

Sehän löytyy, kun noudattaa ohjeita 24 ja 25.
29. Elva2.5.2020 klo 19:08
Kaupunki on tiedossa, samat desimaalit kuin Jukkiksella.
30. Jaska3.5.2020 klo 12:29
Minulla eri ratkaisu. Simppeli duaali. Kirjainten tulossa viisi nollaa.
31. ++juh3.5.2020 klo 14:04
Kaupunki löytyy etsimällä sitä oikeasta suunnasta ja tarkastelemalla toisesta näkökulmasta:

http://ristikkotuumin.fi/juh/kaupunki-ratkaisu.jpg
32. Jaska3.5.2020 klo 18:07
Ruuduista tuli mieleen Ruutukolmio, mutta eihän kuvasta kolmioita löydy. Lasketin kuitenkin Jukkiksen ilmoituksen jälkeen Oulun desimaalit Calculatorilla, mutta väärin. Varmaan näppäilyvirhe. Väkinäinen sivuratkaisuni on Tornio. Talohan on korkeampi kuin sen leveys, sillä perusteella siis tornitalo. Kuvan kehys on puolestaan kulmikas o-kirjain.
33. Elva3.5.2020 klo 19:31
Päädyin päättelemällä että kaupunki on nelikirjaiminen, ja kun Oulun pyöreähköt kirjaimet sopivat siihen hyvin, niin tsekkasin desimaalit, jotka stemmasivat jo kerrottujen kanssa.
34. ++juh3.5.2020 klo 22:04
http://ristikkotuumin.fi/juh/sarja.png

Ruutuun 7 tulee jokin kuvioista A–G. Mikä?
35. Tarja4.5.2020 klo 14:18
Minä laittaisin kuvion A.
36. Elva4.5.2020 klo 18:25
34. Olen miettinyt ratkaisua tänään, mutta minä näen tässä sellaista mikä sotkee ajatukseni, enkä pysty kunnolla keskittymään. En tiedä kuuluuko se asiaan vai ei. Kerron sitten kun ratkaisu on kerrottu.
37. Tarja4.5.2020 klo 19:21
Minun perusteluni on hyvin yksinkertainen ja selkeä. Mutta en tietenkään voi olla varma, onko se haettu ratkaisu.
38. Jaska4.5.2020 klo 20:50
A seiskan alaosaksi. Muistakin numeroista näkyy vain alaosa.
39. Tarja4.5.2020 klo 21:23
Sama perustelu minulla.
40. Elva4.5.2020 klo 22:23
Nyt voinkin kertoa mikä ajatteluni sekoitti. Olin edellisessä tehtävässä jäänyt kiinni OULUun. Tässä huomasin siis oitis että ruudut 6-3 muodostavat pystysuunnassa sanan OULU. L-kirjain tosin oli väärinpäin. Mutta en enää pystynyt keskittymään, näin vain Oulua.
41. ++juh5.5.2020 klo 22:30
34.:n sarjan perustelu on siis näin:

http://ristikkotuumin.fi/juh/sarja-ratkaisu.png
42. Jukkis6.5.2020 klo 14:05
Tämä voi hyvinkin olla joku japanilainen hiroshaki- tai nagashima- tms. -niminen peli, ++juh varmaan tietää jos näin on.

https://aijaa.com/RXvzUO

Pitää asetella ruudukon alla olevat 11 nappulaa ruudukon valkoisiin ruutuihin niin, että kun lähdetään ruudukon vasemmasta ylänurkasta ja siirrytään aina nappulassa olevan ohjeen mukaan, niin käydään kerran kaikissa nappularuuduissa ja palataan vasempaan ylänurkkaan. Nappulassa siis kerrotaan, mihin suuntaan ja monenteenko ruutuun hypätään.
43. Elva6.5.2020 klo 18:06
42. on ratkaistu.
44. Jukkis6.5.2020 klo 19:23
Toinen samanmoinen:

https://aijaa.com/gdhSri
45. Jukkis6.5.2020 klo 19:31
Ai niin, tuossa jälkimmäisessä ei anneta lähtöruutua eikä päätösruutua. Kaikissa nappularuuduissa pitää käydä kerran.
46. Elva6.5.2020 klo 20:40
44. on ratkaistu. Tulkitsin sen alkavaksi oikeasta ylänurkasta ja päättyvän samaan nurkkaan, koska vasemman ylänurkan kolmosellahan ei muualle pääse.
47. Matti14.5.2020 klo 23:36
Pieni vaakapulma: Meillä on 4 päällepäin identtistä euron kolikkoa, joista tiedetään, että joko yksi niistä on manipuloitu muita painavammaksi tai kevyemmäksi, tai sitten kaikki ovat aitoja euron kolikkoja.

Meillä on myös orsivaaka, jolla voi verrata kahden kolikkopinon painoa keskenään.

Tehtävänä on selvittää kahdella punnituksella, mikä kolikoista on muita painavampi tai kevyempi, vai ovatko kaikki neljä samanpainoisia.
48. Matti14.5.2020 klo 23:38
Hepittäkää ensin, katsotaan vastaus myöhemmin.
49. Matti14.5.2020 klo 23:44
Yksi täsmennys vielä. On siis löydettävä se eripainoinen kolikko (jos sellainen on) ja selvitettävä onko se muita painavampi vai kevyempi.
50. Jukkis15.5.2020 klo 09:20
Kiinnostuneena odottelen ratkaisua, jossa tosiaan kaksi punnitusta riittää. Saatan joutua odottamaan aika kauan.
51. Elva15.5.2020 klo 10:23
Jollei punnuksia saa käyttää, niin ei onnistu.
52. Jaska15.5.2020 klo 10:29
Hep. Siis onnistuu.
53. Jukkis15.5.2020 klo 10:32
En usko.
54. eol15.5.2020 klo 10:46
Hep - mutta pienellä varauksella ratkaisun "laillisuuden" suhteen.
55. eol15.5.2020 klo 10:46
Hep - mutta pienellä varauksella ratkaisun "laillisuuden" suhteen.
56. Jaska15.5.2020 klo 10:52
En hiffaa varausta.
57. Jaska15.5.2020 klo 11:03
Oletan siis, että kolikot voi tunnistaa prosessin ajan muuten kuin painon osalta. Sehän on selviö, ettei niitä sekoiteta keskenään ekan punnituksen jälkeen.
58. Matti15.5.2020 klo 12:15
Kolikot on numeroitu huopakynällä 1 - 4.
59. Jaska15.5.2020 klo 12:52
Konkreettinen merkkaaminen ei kuitenkaan ole välttämätöntä.
60. Elva15.5.2020 klo 13:00
Hep!
61. Elva15.5.2020 klo 13:42
Minun ratkaisuni rakentuu kolikkojen merkitsemiseen.
62. Jaska15.5.2020 klo 13:48
Niin, mutta kuvitteellisesti:)
63. Elva15.5.2020 klo 13:53
Nehän on merkitty 1 - 4.
64. Jaska15.5.2020 klo 17:27
Matinkin merkinnät ovat kuvitteellisia. Hän ei siis huopakynäillyt numeroita 1-4 mihinkään. Mutta tehtävä on kuitenkin ratkottavissa ilman numeroitakin näin pienellä kolikkomäärällä.
65. Matti15.5.2020 klo 20:45
Tässä on jippo, joka saattaa herättää plääh- kommentteja. eol taisi siihen vihjatakin. Nimittäin tarvitaan ylimääräinen euron kolikko, aito, jonka ratkoja voi kaivaa lompsastaan. Nyt pitäisi ratketa.
66. Jukkis15.5.2020 klo 20:46
Plääh.
67. Elva15.5.2020 klo 21:03
En ymmärrä, eikö idea ollut kaksi punnitusta ja neljä kolikkoa, miksi tarvitaan viides?
68. eol15.5.2020 klo 21:36
Minun ratkaisuni tosiaan perustuu tuollaisen omasta lompakosta otetun viidennen kolikon käyttöön.
69. Elva15.5.2020 klo 21:48
Onko koko ajan punnituksissa tiedossa mikä kolikoista on se viides?
70. eol15.5.2020 klo 21:55
On. (Sen "identiteetti" on koko ajan samalla tavoin tiedossa kuin alkuperäistenkin kolikoiden identiteetit.)
71. Elva15.5.2020 klo 22:02
Yritän ratkaista viiden kolikon ongelmaa. Ehkä se onkin vaikeampaa kuin neljä kolikkoa. Tulkitsen eolin tarkoittaneen että viides kolikko sekoitetaan muiden joukkoon.
72. eol15.5.2020 klo 22:14
Kolikkoja *ei* sekoiteta, vaan kunkin kolikon identiteetti on koko ajan tiedossa: voidaan ajatella että ne on tussilla merkitty numeroilla 1 - 5, ja numero 5 on se lompakosta otettu.
73. Elva15.5.2020 klo 22:22
Mutta niiden muiden kolikkojen identiteetithän eivät ole tiedossa, tarkoitan etten tiedä mikä tai mitkä ovat kevyeempiä tai painavampia kuin muut. Mutta jos tiedän että numero 5 on enemmistön painoinen, niin se on ainoa varma tieto. Mutta yritän ratkaista tällä tietämyksellä.
74. Elva15.5.2020 klo 22:47
Selvisi tämä viidenkin kolikon juttu, ainakaan minun ratkaisuni ei ollut sen yksinkertaisempi kuin neljällä kolikolla.
75. Jaska15.5.2020 klo 23:30
Ratkaisu neljällä kolikolla ei ollut Jukkiksen mielestä mahdollinen. Entä Matin ja eolin?
76. Matti15.5.2020 klo 23:45
Ymmärtäisin, että ilman viidettä aidoksi tiedettyä kolikkoa tehtävä on mahdoton. Ratkaisu menee näin. Pannaan vasempaan vaakakuppiin kolikot 1 ja 5, ja oikeaan kolikot 2 ja 3. No 5 on se lompsasta otettu.

Jos vaaka on tasapainossa, syyllinen on no 4. Kun punnitaan se esim. ykkösen kanssa, sen painavuus/keveys selviää.

Jos vasen kuppi on painavampi, joko 1 on painava, tai 2 tai 3 on kevyt. Punnitaan siis 2 vs. 3. Tasapaino kertoo, että 1 on painava, epätasapaino taas kertoo, että kevyempi on syyllinen.

Jos eka punnituksessa vasen on kevyt, edetään tapauksen vasen on painava -tapauksen kanssa asymmetrisesti.
77. Elva16.5.2020 klo 00:00
Saako kertoa minun ratkaisuni neljällä?
78. eol16.5.2020 klo 00:13
Elva, kyllä saa ainakin minun puolestani!

P.S. Pieni kosmeettinen täsmennys (joka ei mitenkään vaikuta punnitusstrategiaan) tuohon Matin edellä esittämään "viiden kolikon ratkaisuun": Jos ensimmäisessä punnituksessa vaaka on tasapainossa, niin ainoa *mahdollisesti* eripainoinen kolikko on numero 4.
79. Elva16.5.2020 klo 00:16
Onko Matti ja Jaska ok? Minua jännittää onko meillä Jaskan kanssa sama ratkaisu.
80. Jaska16.5.2020 klo 00:24
Näköjään autuaasti unohdin, että ratkaisussa piti ilmetä kevyemmyys tai painavammuus. Sehän tarkoittaa, että tehtävässä on viisi oliota ja kolme alkiolajia. Minun ratkaisuni perustui kahden sortin alkioihin jakaumalla 3-1 ja kahteen punnitukseen 2 + 2 vaihtaen tokaan punnitukseen toisen kahdesta ekassa punnitsemattomasta. Elvalla lienee ollut jokin muu idea.
81. Elva16.5.2020 klo 00:34
Eka punnitus 2 ja 2. Merkataan muistiin mitkä kaksi ovat painavampia ja mitkä kevyempiä. Toinen punnitus 2 ja 2, mutta eri parit kuin ekalla kerralla. Samantekevää mitkä parit on kyseessä, kunhan eri parit kuin ekalla kiertoksella. Merkataan taas muistiin mitkä kaksi ovat painavempia ja mitlä kevyempiä. Lopputulos: kolmella lantilla on sekä kevyt että painava punnitus ja yhdellä lantilla on joko kaksi painavaa taikaksi kevyttä punnitusta. Jos lantilla kaksi kevyttä on lantti kevyempi kuin muut Ja jos kaksi painavaa kierrosta on lantti painavampi kuin muut.
82. Matti16.5.2020 klo 00:40
Vielä täsmennys: Jos vaaka on tasapainossa, syyllinen (jos sellainen on), on no 4. Kun punnitaan se esim. ykköstä vastaan, sen painavuus/keveys/samanpainoisuus selviää.
83. Matti16.5.2020 klo 00:42
Vaan johan eol 78 sen toikin esiin.
84. Jaska16.5.2020 klo 10:37
Elva, valitettavasti sinunkaan mallisi ei toimi. Esimerkki: ekassa punnituksessa vasempaan kuppiin 1 ja 2, oikeaan kuppiin 3 ja 4. Tulos: oikea kuppi painuu alas. Toinen punnitus: vasempaan kuppiin 1 ja 3, oikeaan 2 ja 4. Tulos: oikea kuppi painuu taas alas. Nyt ei ole varmuutta siitä, onko 1 muita kevyempi vai 4 muita raskaampi.

Otan syyllisyyden ikeen hennoille hartioilleni myös sinun virheestäsi. Provosoinhan sinut luopumaan alkuperäisestä oikeasta päätelmästäsi. Anteeksi.
85. Elva16.5.2020 klo 14:39
Jaska, olet oikeassa. En tiedä missä minun idioottivarmat laskelmani menivät pieleen, kun en enää osaa palauttaa niitä. Täytyy vielä miettiä asiaa, koska haluan todella tietää miten tarkalleen ajattelin. Missään tapauksessa sinulla ei ole osuutta minun mokaani.

Minähän laskin myös tuloksen viidellä kolikolla. En ole vielä ehtinyt tarkistaa tulosta. Mielenkiintoista onko siinä sama moka.
86. Matti3.6.2020 klo 23:37
Paavo ja Niilo pelaavat peliä, jossa pelikenttänä on lukusuoran kokonaislukupisteet, sekä plus- että miinusmerkkiset, ja origo. Pelimerkki asetetaan origoon ja heitetään rahaa. Jos tuli kruuna, pelimerkkiä siirretään oikealle plussuuntaan, jos klaava, niin vasemmalle miinussuuntaan. Sitten heitetään taas, ja taas, ja niin peli jatkuu.

Paavon tavoite on +10, ja Niilon tavoite -10. Se kumpi ensin pääsee tavoitteeseen korjaa koko potin. (Pelaajat ovat kumpikin satsanneet pottiin 50€.)

Koronaviruksen takia peli jouduttiin lopettamaan kesken, siinä vaiheessa kun pelimerkki oli kohdassa +3.

a) Miten potti tuli nyt jakaa siten, että oikeus toteutui?

b) Montako rahanheittoa, keskimäärin, jäi tekemättä?
87. Matti4.6.2020 klo 11:44
Täsmennän vielä sen verran, että rahanheiton jälkeen pelimerkkiä siirretään yksi pykälä, siis ykkösen verran. Jos esim. ollaan pisteessä +5, siitä siirrytään pisteeseen +6 tai +4 sen mukaan, tuliko rahanheitossa kruuna vai klaava, vastaavasti.
88. Jaska4.6.2020 klo 13:55
Ei vaikuta ihan simppeliltä, kun tilanteeseen johtava heittojen lukumäärä ei ole tiedossa. Niiden todennäköisyyksien keskiarvo on ymmärtääkseni ensin laskettava. Katsotaan lenkin jälkeen.
89. Jukkis4.6.2020 klo 14:45
Simulointi antaa ymmärtää, että N:n heiton jälkeen pelimerkin sijainnin odotusarvo = 0 ja keskihajonta sqrt(N). Tästä sitten varmaankin voi jotain laskea, katsotaan makkaralenkin jälkeen.
90. ++juh4.6.2020 klo 16:17
Jukkis, siis eikö pelimerkin sijainti simulaation missään vaiheessa ollut 10 tai –10?
91. Jukkis4.6.2020 klo 16:38
Oli tietysti. Jos vaikka heitetään sata kertaa, niin sijainti on välillä -100 ... 100 niin, että kun heitetään monta kertaa tuo sadan heiton sarja, niin saavutettujen loppusijaintien keskiarvo on 0 ja keskihajonta 10. En osaa sanoa, onko sijainnit binomijakautuneet vai Poisson-jakautuneet, mutta varmaankin sitä lähempänä normaalijakaumaa ollaan, mitä isompi on N.
92. Jaska4.6.2020 klo 16:58
Tänään lukemamme on 8 km. Nyt saunaan, mutta ilman lenkkiä. Eikä saunan jälkeenkään syödä epäterveellisesti. Lasketaan sitten tulkinnanvaraisia oikeudenmukaisuuksia binomijakaumilla perustuen jäljellä oleviin heittämättä jääneisiin heittomääriin haarukassa 4 - 16. Eli origotilanteesta masimiheittomäärä on 19.
93. Jukkis4.6.2020 klo 17:00
Heittelin kolikkoa ja otin talteen, monennellako heitolla päädytään pisteeseen 3. Tällaisia heittomääriä esim. tuli: 75, 57, 3, 1271, 279, 11, 9, 131. Heitin enintään 5000 kertaa, ja aina välillä ei päädytty 3:een ollenkaan.

Sama juttu uudestaan, monennellako heitolla päädytään pisteeseen 10. Tällaisia heittomääriä esim. tuli: 36, 46, 124, 162, 594, 2794, 684, 148. Jonkin verran enemmän tuli tapauksia, joissa 5000 heitollakaan ei päästy 10:een.

En minä ainakaan keksi, miten Matin kysymyksiin löytyy vastaus. Matilla varmaan taas on joku älyttömän yksinkertainen ratkaisu tähän.
94. ++juh4.6.2020 klo 17:06
Mutta pelihän loppuu, kun sijainti on +10 tai –10, jolloin sijainti tulisi palauttaa 0:aan ja jatkaa vasta sitten simulaatiota.
95. ++juh4.6.2020 klo 17:32
Ei kun simulaatio pitäisikin aloittaa +3:sta ja laskea, kuinka monta kertaa Paavo voittaa ja kuinka monta kertaa Niilo voittaa, ja kuinka monta heittoa kuhunkin voittoon vaadittiin.

a) potti jaetaan voittokertojen suhteessa
b) voittoon vaadittavien heittojen keskiarvo

Eikö?
96. Jukkis4.6.2020 klo 17:38
Minä en simuloinut tuota peliä, vaan pelkkää rahan heittelyä, jotta saisi jonkun käsityksen, mitä tuossa tapahtuu.
97. Jukkis4.6.2020 klo 18:10
Pelin simulointia. Lopetetaan sitten kun on päädytty joko -10:een tai 10:een. Vaikuttaa siltä, että keskimäärin peli kestää noin 100 heittoa. Ja kun vaihdoin 10:n 8:aan, niin pelin keskikesto näyttäis hyvinkin voivan olla noin 64 heittoa. Ja kun päättymiskriteeri on -15 tai 15, niin näyttäis peli keskimäärin kestävän noin 225 heittoa.

Eli simulointi viittaa, että pelin lopettava heittomäärä on päättymiskriteerin toinen potenssi. Aika jännää, jos tuon voi vielä todistaakin.
98. eol4.6.2020 klo 18:17
a) Keskeytystilanteessa +3 on Paavo selvästikin lähempänä voittoa. Jos peliä jatkettaisiin, niin hänen tarkka voittotodennäköisyytensä näyttäisi olevan 13/20 (yksinkertaisesti!). (Sen voinee laskea paljonkin yksinkertaisemmin kuin mitä minä tein.) Tämän mukaan Paavolle voisi katsoa kuuluvan 65 ja Niilolle 35 euroa.
99. Jaska4.6.2020 klo 18:23
Löyly kirkasti aivoja lukemaan säännöt aatoksen kera. Eli kombineeraukseni ratkoo eri asiaa kuin eestaashyppely.
100. Jukkis4.6.2020 klo 18:30
Simulointi vahvistaa, että tuo 13/20 voi hyvinkin pitää paikkansa.
101. Matti4.6.2020 klo 18:44
eol, miten pääsit tulokseen, joka on oikein?
102. Matti4.6.2020 klo 19:02
Jukkis, 100 heittoa keskimäärin on oikein. Montako heittoa peli jatkuisi kohdan +3 jälkeen? Ainakaan vielä mulla ei ole simppeliä selitystä tuloksiin. Pitää vielä funtsia. (Oikeat vastaukset löysin netistä.)
103. Jukkis4.6.2020 klo 19:21
"Montako heittoa peli jatkuisi kohdan +3 jälkeen?"

Saattaa olla että keskimäärin 91 kertaa.
104. Matti4.6.2020 klo 19:34
91 on oikein. 7x13=91.
105. eol4.6.2020 klo 20:47
Matti, sain tuon a-kohdan vastaukseni 13/20 hieman hankalan tapauskohtaisen iteraatioalgoritmin avulla (vähän kuin jakokulmalla). Tarkoitukseni on nyt tänään tai viimeistään huomisen kuluessa selvittää, löytyisikö elegantimpi ja yleispätevä ratkaisutapa. Hypoteesiksi voinee siis ottaa sen, että yleisesti voittotodennäköisyydet ovat P/(N+P) ja N/(N+P) sekä tarvittavan heittomäärän odotusarvo N*P, kun etäisyydet vastakkaisiin "maalipäätyihin" ovat N ja P.
106. Matti4.6.2020 klo 21:28
Pelimerkki suorittaa nk satunnaiskulkua lukusuoralla (random walk). Wikipediassa on artikkeli aiheesta random walk, jossa mm. todetaan nuo eolin (105) havainnot. Harmi vaan, että niitä ei lainkaan perustella. Mutta vaikuttaisi siltä, että tulosten yksinkertaisuudesta huolimatta niille ei simppeliä perustelua ole. Toivon, että joku osoittaisi luuloni vääräksi.

Jos otetaan järeämmät keinot käyttöön todetaan, että tehtävä on esimerkki absorboivasta Markovin ketjusta. Oppikirjoista ja Wikipediasta löytyy matriisiyhtälöt, joista vastaukset löytyvät, kun kirjoitetaan tehtävään liittyvän Markovin ketjun transitiotodennäköisyysmatriisi. Simppeliksi ratkaisua ei kukaan voine väittää. Ei siinä käsitteellisiä vaikeuksia ole, mutta paljon matriisien pyörittelyä. Paljon siihen nähden, kuinka simppelit ovat lopputulokset: N/(N+P) ja N*P. (Toisaalta: vanha totuus sanoo, että jos ongelman lopputulos on simppeli, sille löytyy myös simppeli ratkaisutapa.)
107. Matti4.6.2020 klo 22:53
Nyt löytyi oppikirjasta yksinkertainen ratkaisu a-kohtaan. Siirretään koordinaatistoa siten että maalit ovat origo 0 ja a. Olkoon q(z) todenn. sille, että 0 saavutetaan ennen a:ta, kun lähtöpiste on z. Saadaan differenssiyhtälö

q(z) = 0.5*q(z+1) + 0.5*q(z-1) ja reunaehdot q(0)=1, q(a)=0.

Ratkaisu on helppo: q(z)=(a-z)/a

Sijoitetaan nyt maaleiksi 0 ja 20. z=13. q(13)=0,35.
108. Matti4.6.2020 klo 23:01
Pelin kesto ratkeaa samanlaisella yhtälöllä. Olkoon pelin kesto D(z), kun lähtöpiste on z. Saadaan differenssiyhtälö

D(z) = 0.5*D(z+1) + 0.5*D(z-1) ja reunaehdot D(0)=0, D(a)=0.

Ratkaisu on D(z)=z(a-z).
109. Matti4.6.2020 klo 23:22
Jälkimmäisen differenssiyhtälön oikealta puolelta unohtui termi +1.
110. eol5.6.2020 klo 01:25
Matti esittikin jo mainiot yleiset ratkaisut, mutta ehkä minäkin vielä hahmottelen tääsä viestissä aiemmin mainitsemaani "kolhoa" a-kohdan ratkaìsuani.

Merkintä (-10, 3, 10) tarkoittaa peliä, jossa merkki on alkuhetkellä kohdassa 3 ja joka päättyy heti kun merkki saavuttaa joko kohdan -10 (Niilon voitto) tai kohdan 10 (Paavon voitto). Tämä peli (-10, 3, 10) voidaan hajottaa seuraavanlaiseksi äärettömäksi mutta jaksolliseksi kehitelmäksi peräkkäisiä osapelejä muotoa (x, x+d, x+2d), jolloin kussakin osapelissä kummankin alle sen viereen merkityn (osa)tuloksen todennäköisyys on triviaalisti 1/2:

(-4, 3, 10): peli jatkuu / Paavo voittaa
(-10, -4, 2): Niilo voittaa / peli jatkuu
(-6, 2, 10): peli jatkuu / Paavo voittaa
(-10, -6, -2): Niilo voittaa / peli jatkuu
(-10, -2, 6): Niilo voittaa / peli jatkuu
(2, 6, 10): peli jatkuu / Paavo voittaa
(-6, 2, 10) [sama kuin kolmas osapeli]

Kehitelmässä on siis ensin kaksi "aloittavaa" osapeliä ja sen jälkeen neljän osapelin jakso toistuu samanlaisena äärettömän monta kertaa.

Kun muistetaan äärettömän geometrisen sarjan summan kaava a/(1-q), missä a on ensimmäinen termi ja q kunkin myöhemmän termin suhde edelliseen, 0 < q < 1, niin Paavon yhteenlasketuksi voittotodennäköisyydeksi saadaan

1/2 + (1/8)/(15/16) + (1/64)/(15/16)
= 13/20
111. Jaska5.6.2020 klo 13:10
Nyt näyttää jo hyvinkin yksinkertaiselta. Tuskin olisin sitä kuitenkaan itsenäisesti keksinyt ainakaan alle kolminumeroisessa tuntimäärässä, mahdollisesti en jäljellä olevana elinaikanani.

Kaava on siis yleispätevä tapauksiin, joissa alkutilanne ei ole nolla eli 1/2 kummallekin todennäköisyys 0,5. Siis esim. rajapisteet +4/-4, alkupiste +1, plussan voittotodennäköisyys 0,75, heittoja keskimäärin 3*5 = 15. Vastaavasti +18/-18, alkupiste -6, miikan vt 0,667 (24/36), heitot keskimäärin 12*24 = 528.

Eiks je?
112. Jaska5.6.2020 klo 13:34
Knoppi. Missä tapauksessa ei ole keskimääräistä heittomäärää? Kun rajat ovat +/- 1. Heittoja aina 1*1 = 1.
113. Jaska5.6.2020 klo 16:35
Korjaan, ekan esimerkin tod.näk. po. 0,625 (5/8). 0,75, jos alku +2, heitot 12.
114. Matti6.6.2020 klo 00:45
eol, olen varma, että laskusi on oikein, mutta en pysty seuraamaan. Onko osapelit jotenkin ketjutettu niin, että edellisestä edetään seuraavaan? a/(1-q), q=(1/2)^4, siksikö, että neljän osapelin jälkeen palataan alkuun (kolmanteen osapeliin)? a=(1/2)^6? Peli jatkuu / Paavo voittaa, tai Niilo voittaa / peli jatkuu? En löydä punaista lankaa. Mielelläni kuulisin lisäselvennyksiä.
115. Matti6.6.2020 klo 01:03
Jaska, je! Paitsi että 12*24=288.
116. eol6.6.2020 klo 02:36
Matti, ok, yritän viikonlopun aikana saada aikaan selkeämmän esityksen algoritmista. (Huomasin muuten nyt myöhemmin, että samantapaisella menettelyllä näyttäisi syntyvän induktiotodistus alkuperäisen tehtävän a-kohdan yleistykselle, eli sille että esittämäsi differenssiyhtälönkin antama kaava voittotodennäköisyyksille pätee kaikille pelijanan pituuksille ja kaikille merkin alkupositioille. Mutta ei se tähän viikonloppuun ehdi.)
117. Jaska6.6.2020 klo 10:18
Omituinen päässälaskukömmähdys. Olen edelleen siinä hommassa nopea näin pienillä kerrottavilla, mutta virheitä sattuu liikaa. Ilmeisesti olen laskenut 20*24 + 4*12. Olisi heti pitänyt tajuta tulos vääräksi.
118. Jukkis6.6.2020 klo 11:08
Minäkin olen tosi nopea päässälaskija. Esim. 234*456 onnistuu sekunnissa, 236124. Virheitä tosin sattuu ihan liikaa.
119. Jaska6.6.2020 klo 12:11
Mahtaa pänniä.
120. eol6.6.2020 klo 20:49
Palaan tässä eilisiin "osapelikehitelmiini". Lopusta löytyy pari pientä tehtävää asiasta kiinnostuneille.

I Alkumääritelmiä ynnä muuta

Peli on kokonaislukukolmikko (X, M, Y), missä X < Y ja M on jokin välin X, ..., Y luvuista. X on pelin alaraja, Y yläraja ja M alkupositio.

Sanomme että "ylöspelaaja voittaa", jos edettäessä alkupositiosta askel kerrallaan aina kolikonheiton määräämään suuntaan yläraja saavutetaan ennen alarajaa, ja päinvastaisessa tapauksessa "alaspelaaja voittaa".

Peli (X, M, Y) on "aito" jos X < M < Y.

Jokaisella aidolla pelillä on yksikäsitteinen "osapelikehitelmä". Se on äärellinen tai ääretön ei-tyhjä jono aitoja pelejä, siten että kullekin jonon jäsenelle (x, m, y) pätee m = (y - x)/2. (Jäljempänä nähdään, miten osapelikehitelmä generoidaan.)

II Esimerkkipeli (0, 4, 8)

Symmetrian perusteella on triviaalia havaita, että ylöspelaaja voittaa tämän pelin todennäköisyydellä 1/2. Osapelikehitelmän pituus on 1 ja sen ainoa jäsen on sama kuin peli itse:

(0, 4, 8)

III Esimerkkipeli (0, 6, 8)

Nyt todennäköisyys sille, että yläraja 8 saavutetaan ennemmin kuin positio 4 on (jälleen symmetrian perusteella) tasan 1/2. Oletetaan sitten, että on juuri saavutettu positio 4: silloin todennäköisyys sille, että jatkossa yläraja 8 saavutetaan ennen alarajaa 0 on 1/2. Ylöspelaajan yhteenlaskettu voittotodennäköisyys on siten 1/2 + (1/2 * 1/2) = 3/4. Osapelikehitelmä on seuraava:

(4, 6, 8)
(0, 4, 8)

IV Esimerkkipeli (0, 2, 6) ja kehitelmän määritelmä

Nyt osapelikehitelmä on ääretön:

(0, 2, 4)
(2, 4, 6)
(0, 2, 4)
(2, 4, 6)
(0, 2, 4)
(2, 4, 6)
jne.

Yleisesti pelin (X, M, Y) osapelikehitelmä muodostetaan seuraavasti:

a) Ensimmäinen (osa)peli on saadaan seuraavasti: jos M - X on pienempi kuin Y - M, niin se on (X, M, X + 2M); muutoin se on (Y - 2M, M, Y).

b) Jos jollekin jonon (osa)pelille (x, m, y) pätee x = X ja y = Y, niin jono päättyy siihen. Muussa tapauksessa jonon seuraava (osa)peli saadaan seuraavasti: jos x on erisuuri kuin X, niin se on sama kuin pelin (X, x, Y) osapelikehitelmän ensimmäinen peli; muutoin se on sama kuin pelin (X, y, Y) osapelikehitelmän ensimmäinen peli.

Kummankin seuraavan proposition todistus on helppoa (mutta sivuutetaan tässä):

P1. Pelin (X, M, Y) osapelikehitelmän jokaiselle jäsenelle (x, m, y) pätee seuraava ehto: x = X tai y = Y.

P2. Jos osapelikehitelmä on ääretön, niin se on jaksollinen (eli ajautuu ikuiseen silmukkaan).

Esimerkkipelissämme (0, 2, 6) ylöspelaajan voittotodennäköisyys voidaan helposti päätellä pelin yllä olevasta osapelikehitelmästä. Se on

1/2 * 0
+ 1/4 * 1
+ 1/8 * 0
+ 1/16 * 1
+ 1/32 * 0
+ 1/64 * 1
+ ...

eli kyseessä on ääretön geometrinen sarja, jonka ensimmäinen jäsen a on 1/4 ja seuraavan jäsenen suhde edelliseen q on samaten 1/4. Sarjan summa on a/(1-q) = (1/4)/(3/4) = 1/3.

V Esimerkkipeli (0, 3, 7)

Osapelikehitelmä on nytkin ääretön, ja sen jakson pituus on 3:

(0, 3, 6)
(5, 6, 7)
(3, 5, 7)
(0, 3, 6)
(5, 6, 7)
(3, 5 7)
jne. (eli taas uudestaan jakson alusta)

Osapelikehitelmän perusteella pääteltävissä oleva ylöspelaajan voittotodennäköisyys on

1/2 * 0
+ 1/4 * 1
+ 1/8 * 1
+ 1/16 * 0
+ 1/32 * 1
+ 1/64 * 1
+ ...

Kyseessä on taas ääretön geometrinen sarja. Nyt q = 1/8 (eli 1/2 potenssiin jakson pituus) ja a = 1/4 + 1/8 = 3/8. Sarjan summa on a/(1-q) = (3/8)/(7/8) = 3/7.

VI Tehtäviä

Säikeen luonteen mukaisesti postaukseen on hyvä liittää tehtävä tai pari. Tällä kertaa ne kuuluvat näin:

1a) Generoi osapelikehitelmä pelille (0, 7, 10).
1b) Millä oleellisella tavalla se eroaa kohtien IV ja V esimerkkien osapelikehitelmistä?

2) Hahmottele todistukset kohdan IV propositioille P1 ja P2.
121. Matti6.6.2020 klo 23:48
eol, mielenkiintoista, täytyy perehtyä pitemmän ajan kanssa.
122. eol7.6.2020 klo 10:58
Korjauksia eiliseen viestiini:

I Alkumääritelmiä ynnä muuta
"kullekin jonon jäsenelle (x, m, y) pätee m = (y - x)/2"
po. "kullekin jonon jäsenelle (x, m, y) pätee m = (x + y)/2"

IV Esimerkkipeli (0, 2, 6) ja kehitelmän määritelmä
"jos M - X on pienempi kuin Y - M, niin se on (X, M, X + 2M); muutoin se on (Y - 2M, M, Y)"
po.
"jos M - X on pienempi kuin Y - M, niin se on (X, M, 2M - X); muutoin se on (2M - Y, M, Y)"
123. Jaska7.6.2020 klo 18:58
120. 1a): M-X ja Y-M kumpikin parittomia. Muuten osapelihomma meni yli ymmärrykseni. Pelihän kulkee niin, että joka heiton on tuloksen mukaan siirryttävä joko ylös kohti isompaa lukua tai tai alas kohti pienempää lukua, siis lukusuoralla oikealle tai vasemmalle. Minun mielestäni pelissä 0, 3, 7 ylöspelaavan tavoite on saavuttaa 7 ennen kuin alaspelaava ehtii maaliinsa 0. Ylöspelaavan voittotodennäköisyys on siis 4/7 eikä 3/7.

Jos pelikentän pituus on pariton luku, niin mielestäni symmetriaa ei alkuperäissäännön mukaan voi syntyä. Kuitenkin em. pelissä alkupositiota, jossa kentän pituus on 7, seuraa osapeli 0, 3, 6 kentän pituudella 6. Osapelien pituudet siis vaihtelevat jaksoittain 6, 2, 4. Homma ei aukene minulle ilman wattimäärältään ratkaisevasti kirkkaampaa valaistusta. Sitä saavat muutkin antaa, jos ehtivät ennen eolia.
124. Jaska7.6.2020 klo 19:28
No ei ihme ettei jakelu toimi. Alaspelaaja siis voittaa 4/7. Olin kai edellisten esimerkkien voittajien lumoissa. Toisen kappaleen ongelmaan siis selvennystä kaipailen.
125. Jaska7.6.2020 klo 19:39
En sittenkään. Kenttäkin voidaan tietysti jakaa osiin. Em pelissä voidaan olla asemassa 6, jolloin seuraavan heiton jälkeen ollaan joko asemassa 5 tai 7. (Uraa)
126. Matti9.6.2020 klo 00:02
Opettelin nyt tuon eolin proseduurin. Noinhan ongelma on ratkaistavissa. Omaperäinen ja mielenkiintoinen ratkaisutapa. Off the main stream.
127. Jaska9.6.2020 klo 13:45
Matti, mikä oli generointisi 1a?
128. Matti9.6.2020 klo 23:20
Jaska, generointi 1a on (10,7,0), (10,7,4), (8,4,0), (10,8,6), (10,6,2), 4,2,0), (8,4,0), ...
Ylöspelaaja voittaa todenn. 1/2 +(1/8 + 1/16)/(1 - 1/16) = 0,7.
129. Matti9.6.2020 klo 23:22
Tässä puuttuva sulku: (
130. eol11.6.2020 klo 16:12
Matti löysi haetun osapelikehitelmän - ja hänellä pelikentän alaraja on oikealla ja yläraja vasemmalla, kun minulla ne olivat päinvastoin, mutta tämä merkintätapojen ero on epäolennainen. Kyseisessä kehitelmässä on siis ensin yhden osapelin mittainen "aluke", minun merkinnöilläni (4, 7, 10), ja sen jälkeen äärettömän monta kertaa toistuva neljän osapelin mittainen silmukka. Ero aikaisempiin äärettömiin kehitelmäesimerkkeihin on nimenomaan tuo alukkeen mukanaolo.

Tarkastellaan sitten silmukoiden esiintymistä eri pituisilla pelikentillä. Edellä löydettiin 10 askeleen pituiselta kentältä yksi 4 osapelin mittainen silmukka. Kokeilemalla on helppo havaita, ettei tuolla kentällä esiinny mitään muita silmukoita, vaikka pelin alkupositioksi otettaisiin mikä tahansa kentän (ala- ja ylärajasta eroavista) positioista. Silmukat tulkitaan tässä samoiksi, jos ne ovat yhtä pitkiä ja jos niissä esiintyvät samat osapelit - silmukan "sisääntulokohdalla" ei siis ole väliä.

On suht helppo havaita, että jos kentän pituus on jokin 2:n potenssi eli 2, 4, 8, 16, 32 jne., niin kentällä ei esiinny ollenkaan silmukoita (vaan kaikki kehitelmät ovat äärellisiä). Selvää myös on, että yleisesti minkä tahansa silmukan pituus on aina vähintään 2 ja enintään kentän pituus vähennettynä yhdellä.

Seuraavassa vielä (kynällä ja paperilla pikaisesti etsimäni) silmukkojen pituudet kentänpituuksille 2 - 21 ja 77:

2: -
3: 2
4: -
5: 4
6: 2
7: 3, 3
8: -
9: 6, 2
10: 4
11: 10
12: 2
13: 12
14: 3, 3
15: 4, 4, 4, 2
16: -
17: 8, 8
18: 6, 2
19: 18
20: 4
21: 6, 6, 3, 3, 2
...
77: 30, 30, 10, 3, 3
131. eol11.6.2020 klo 17:43
P.S. Edellä silmukoiden olemassaoloa tarkastellessani pidän esimerkiksi pelin (2, 9, 12) kehitelmän silmukkaa samana kuin yllä kuvattua pelin (0, 7, 10) kehitelmän silmukkaa. Eli katson, että pelin "siirto" ylös- tai alaspäin (kuten tässä 2 askelta ylöspäin) ei oleellisesti vaikuta silmukkarakenteeseen. Tämän takia voidaan rajoittua (vaìkkapa) pelkästään sellaisiin "normalisoituihin" pelikenttiin, joiden alaraja on 0.
132. Matti11.6.2020 klo 21:23
Koko ajan olemme olettaneet, että jokainen peli päättyy joskus melkein varmasti eli todennäköisyydellä 1. Voisihan olla, että rajojen väliin loputtomasti jäävien polkujen todennäköisyyksien summa on p>0. Näin ei kuitenkaan ole, kuten nähdään esim. siitä, että rajoittamattoman satunnaiskulun paikka on binomiijakautunut. Rajojen väliin jäävien todennäköisyyksien summa lähenee nollaa, kun askelten määrä kasvaa rajatta. Näin on siitä huolimatta, että loputtomasti rajojen väliin jäävien polkujen lukumäärä on ylinumeroituvasti ääretön.
133. eol12.6.2020 klo 14:32
Matin viestin ansiosta huomaan, että tuolla suht yksinkertaisella "osapelikehitelmämenettelyllä" ei oikein ole edes kuriositeettiarvoa, ellei se saa tuekseen yhtä yksinkertaista todistusta sille, että jokaisen (määritelmäni 6.6. klo 20:49 mukaisen) pelin (X, M, Y) päättymisen todennäköisyys on, kuten Matti jo osoittikin, 1. Joku todennäköisyyslaskentaa korkeintaan pintapuolisesti tunteva ei ehkä pidä Matin argumenttia tarpeeksi yksinkertaisena, joten seuraavassa pyritään vääntämään sellainen rautalangasta.

Merkitään n:llä pelikentän pituutta Y - X ja tarkastellaan kolikonheittosarjaa H(n), joka määritellään seuraavasti:

1. Heitetään kolikkoa n kertaa.
2. Jos kaikki n viimeisintä kolikonheittoa tuottivat kruunan, niin lopetetaan heittosarja, muutoin jatketaan sitä menemällä uudestaan kohtaan 1.

Nyt jos H(n):n pituus on äärellinen todennäköisyydellä 1, niin myös alkuperäinen peli päättyy todennäköisyydellä 1, koska alkuperäisessä pelissä n perättäistä kruunaa johtaa varmasti siihen, että saavutetaan jompikumpi pelikentän rajoista. Helposti nähdään, että H(n):n pituus on k*n todennäköisyydellä

(1 - (1/2)^n)^(k-1) * (1/2)^n

missä k = 1, 2, 3, jne. Summaamalla k:n yll saadaan ääretön geometrinen sarja, jonka suhdeluku q = 1 - (1/2)^n on positiivinen ja pienempi kuin 1. Tämän sarjan summa antaa todennäköisyyden sille, että H(n) on äärellinen. Summa on

(1/2)^n / (1 - (1 - (1/2)^n))
= 1

mikä oli todistettava.

Loppukevennys: Onko olemassa sellaista (edellä mainitun määritelmän mukaista) peliä, jossa mahdollisia kumman tahansa pelaajan voittoon päättyviä (äärellisiä) polkuja on ääretön määrä ja jopa enemmän kuin mahdollisia (kummankaan pelaajan voittoon päättymättömiä) äärettömiä polkuja?
134. Jaska12.6.2020 klo 22:18
Vaihteeksi tarpeeksi keveä tehtävä minulle. Ei ole olemassa sellaista. Voittoon päättyviä äärellisiä polkuja ei voi olla enemmän kuin päättymättömiä polkuja. Poikkeuksena skaba, jossa vain yksi heitto, jos oletetaan kolikon reunalleen pystyyn jäämisen todennäköisyydeksi 0.
135. Matti13.6.2020 klo 00:09
Tarkastellaan peliä (-1, 0, 2). Ikuisesti jatkuvia polkuja ovat kaikki nolla-alkuiset äärettömät binäärijonot - ne, jotka sisältävät vain nollia ja ykkösiä. Jos laitetaan pilkku polun aloittavan nollan perään, jokainen tällainen jono voidaan tulkita välin [0 1] erään reaaliluvun binäärikehitelmäksi, siis 2-järjestelmäesitykseksi. Nyt saadaan kääntäen yksikäsitteinen rinnastus välin [0 1] reaalilukujen ja pelin (-1, 0, 2) ikuisesti jatkuvien polkujen välille. Koska edellämainittuja on ylinumeroituvasti ääretön määrä, niin samoin on myös jälkimmäisiä.

Jomman kumman pelaajan voittoon päättyvien polkujen määrä on puolestaan summa (n = 1 to N) S(n), missä S(n) on n:nnänteen heittoon päättyvien polkujen määrä, ja vielä tämän raja-arvo, kun N-> äärettömiin. Tämä on tietysti myös ääretön, mutta vain numeroituvasti ääretön. Näitä polkuja on yhtä paljon kuin on kokonaislukuja.

Ikuisesti jatkuvia polkuja on siis enemmän kuin päättyviä polkuja. Ja silti edellisten yhteinen todennäköisyys on 0, ja jälkimmäisten 1. Matematiikka on ihmeellistä. Ja vastaukseni eolin kysymykseen on sama kuin Jaskalla: ei ole.
136. eol13.6.2020 klo 00:33
Minä kyllä olisin sitä mieltä, että tuossa mainitussa pelissä (-1, 0, 2) on tasan yksi ääretön polku, nimittäin 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ..., ja että vastaava pätee kaikille sellaisille "aidoille" peleille (joiden alkupositio siis eroaa sekä ala- että ylärajasta), joiden kentänpituus on 3. Äärellisiä polkuja niissä minunkin ymmärrykseni mukaan on numeroituvasti ääretön määrä.
137. Matti13.6.2020 klo 00:53
Joo eol, olet oikeassa, täytyy taas funtsia. Ajauduin ihan väärälle ladulle.
138. Matti13.6.2020 klo 01:41
No niin. Peleissä joissa pelikentän pituus on 3, ikuisia polkuja on 2. Peleissä joissa pelikentän pituus on >3 ikuisia polkuja on ääretön määrä. Mutta! Numeroituvasti ääretön määrä. Nyt siis ikuisia ja päättyviä polkuja on yhtä paljon. Ja edellinen "binääriesimerkkini" osoittaa, että vastaus eolin kysymykseen onkin: kyllä.
139. Jaska13.6.2020 klo 10:44
Matti, mikä se toinen ikuunen polku 3-pituisilla on? Minät tulkitsen, että niitä on yksi. Olkoon kenttä 0-3 ja alkupositio 0-2-3. Ekan heiton jälkeen voittaa aina 1 tai 3 (1/2). Jos 3 voittaa peli päättyy. Peliin jatkuessa kaikki sarjat alkavat siis positiosta 1 päättymättön tietysti mukaan lukien. Äärettömiin jatkuu siis 12, 121, 1212, 12121.... jne. Jokaisella heittomäärällä on todennäkösyys 1/2 äärettömän polun jatkumiselle ja pelin päättymiselle positioon 0 tai 3. Kun ensimmäisen heiton 1 on myös äärettömän polun alku, on matsin päättymätön - päättyvä tulos tasapeli. Pitemmillä kentillä päättymätön voittaa aina.
140. eol13.6.2020 klo 12:20
Olen samaa mieltä kuin Jaska: Jos "aidon" pelin (jossa alkupositio siis eroaa sekä ala- että ylärajasta) kentänpituus on 3, niin äärettömiä (eli ikuisia eli koskaan päättymättömiä) polkuja on tasan 1. Mutta tämä saattaa olla tulkintakysymys: Matti ehkä viimeisimmässä viestissään tulkitsee tilannetta niin, että esimerkiksi (0, 1, 3) ja (0, 2, 3) ovat saman pelin eri "alkuasemia", kun taas ainakin minusta on selkeintä ajatella, että ne ovat kokonaan eri pelejä.

Jos taas aidon pelin kentänpituus on vähintään 4, niin kyllä äärettömiä polkuja silloin on ylinumeroituvasti ääretön määrä. (Sen sijaan kumman tahansa pelaajan voittoon päättyviä [ja siten äärellisiä] polkuja on [vain] numeroituvasti ääretön määrä.)

Tarkastellaan esimerkkinä peliä (-2, 0, 2). Reaalilukujen joukon ohella tunnetuimpia esimerkkejä ylinumeroituvasta joukosta on äärettömien binäärilukujonojen joukko (johon Mattikin yllä viittaa ja jonka osoittaminen ylinumeroituvaksi jopa suoraan diagonaalimenetelmällä olisi suht helppo tehtävä). Kuvataan kukin ääretön binäärilukujono b(0), b(1), b(2), b(3), ... äärettömäksi kokonaislukujonoksi i(0), i(1), i(2), i(3), ... siten, että jokaiselle ei-negatiiviselle kokonaisluvulle k pätee seuraava:

i(2k) = 0
i(2k+1) = -1 jos b(k) = 0
i(2k+1) = 1 jos b(k) = 1

Saadut kokonaislukujonot ovat kaikki keskenään erilaisia (eli kuvaus on injektio), ja jokainen niistä on yksi pelin (-2, 0, 2) äärettömistä poluista. Näin ollen tämän pelin äärettömien polkujen joukko on vähintään yhtä mahtava kuin äärettömien binäärilukujonojen joukko.
141. eol13.6.2020 klo 14:17
P.S. Lisätäänpä vielä yksi esimerkkipari tuosta edellä määrittelemästäni injektiivisestä kuvauksesta:

Ääretön binäärilukujono, jonka alku on

1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, ...

kuvautuu äärettömäksì kokonaislukujonoksi, jonka alku on

0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, ?1, 0, -1, 0, -1, 0, 1, 0, 1, ...
142. eol13.6.2020 klo 14:21
P.P.S. Edellisessäni ?1 po. -1.
143. Matti13.6.2020 klo 15:33
Jaska, se toinen ikuinen polku on tietysti se, joka alkaa ykkösestä: 101010 ...
144. Jaska13.6.2020 klo 20:56
Matti, luin nyt aatoksella viestisi 135. Pelin (-1)-0-2 polku alkaa siis kenttärajojen eli pelin raamin mukaisesti numerosta 0. Se alkaa numerosta yksi, jos raami on (-1)-1-2. Sulkeet selvyyden vuoksi. Yhteensä noissa kahdessa raamissa on siis kaksi päättymätöntä. Minä ja eol päädyimme tulkintaan, että kumpikin raami on itsenäinen peli, jossa on yksi päättymätön polku. Vrt. eol 140.
145. Matti14.6.2020 klo 00:02
Jaska, ok!

eolin esimerkki (140) on kekseliäs. Jos kentän pituus >3, polkuja siis on kuin onkin ylinumeroituvasti ääretön määrä.
146. eol14.6.2020 klo 21:46
Matti esitti (4.6. klo 22:53) kuinka pelin voittotodennäköisyyksien yleinen kaava saadaan differenssiyhtälön avulla. Sittemmin (6.6. klo 02:36) minä mainostelin induktiotodistuksen esittämistä tälle kaavalle. Tässä viestissä määrittelen tuon todistuksen esivalmisteluna apukäsitteen "pelin jonokehitelmä". (Itse todistus on tulossa huomenna.) Aiemmin määrittelemäni "osapelikehitelmä" on jonokehitelmän erikoistapaus, jolle sopivampi nimi olisi ehkä "tasakehitelmä".

Määritelmä: Ei-tyhjä äärellinen tai ääretön jono g(0), g(1), g(2), ... aitoja pelejä on aidon pelin G = (X, M, Y) jonokehitelmä, jos kaikki seuraavat ehdot täyttyvät jokaiselle jonon jäsenelle g(i) = (x(i), m(i), y(i)):

1a) ei ole niin, että x(i) < X tai y(i) > Y
1b) x(i) = X tai y(i) = Y
1c) konjunktio x(i) = X ja y(i) = Y on tosi jos ja vain jos jono on äärellinen ja g(i) on sen viimeinen peli

2a) m(0) = M
2b) jos i > 0 ja x(i-1) = X, niin m(i) = y(i-1)
2c) jos i > 0 ja y(i-1) = Y, niin m(i) = x(i-1)

Lisäksi sanomme, että jonokehitelmä on tasakehitelmä, jos m(i) = (x(i) + y(i))/2 kaikille jonon jäsenille g(i). (On suht helppo nähdä, että jokaisella aidolla pelillä on täsmälleen yksi tasakehitelmä, ja että jos tasakehitelmä on ääretön jono, niin se on jaksollinen.)

Esimerkkejä:

Pelin (0, 5, 7) jonokehitelmiin kuuluu (1, 5, 7), (0, 1, 2), (0, 2, 6), (4, 6, 7), (0, 4, 7), joka siis on 5 pelin äärellinen jono. Se ei ole tasakehitelmä.

Pelin (0, 1, 3) jonokehitelmiin kuuluu (0, 1, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 2, 3), ..., joka on ääretön mutta jaksollinen jono. Se on tasakehitelmä.

Pelin (0, 1, 4) jonokehitelmiin kuuluu (0, 1, 2), (1, 2, 4), (0, 1, 2), (1, 2, 4), ..., joka on ääretön mutta jaksollinen jono. Se ei ole tasakehitelmä.

Pelin (0, 11, 16) jonokehitelmiin kuuluu (6, 11, 16), (0, 6, 12), (8, 12, 16), (0, 8, 16), joka on äärellinen jono. Se on tasakehitelmä.
147. Matti15.6.2020 klo 00:36
eolin kuvaus (140) on ilmeisesti jopa bijektio. Mutta todistukseen riittää injektio.
148. eol15.6.2020 klo 12:03
Vielä tämäkin viesti sisältää pelkkää esivalmistelua (ja voit aivan hyvin ohittaa tämän ilman että menetät kokonaiskuvaa!):

Olen lupaillut induktiotodistusta pelaajien voittotodennäköisyyksien yleiselle kaavalle määritelmän (6.6. klo 20:49) mukaisissa peleissä. Todistus tulee hyödyntämään sitä tosiasiaa, että todennäköisyydellä 1 jokainen peli lopulta päättyy jommankumman pelaajan voittoon. Esitin tälle tosiasialle 12.6. klo 14:32 suht elementaarisen todistuksen, jota nyt vielä terävöitän parilla huomiolla.

1. Pelin (X, M, Y) määritelmä olisi syytä varustaa eksplisittisellä maininnalla siitä, että kruunalla siirrytään aina askel "ylöspäin" eli lähemmäs ylärajaa ja klaavalla vastaavasti aina askel "alaspäin". (Tämä mainittiin jo Matin alkuperäisessä tehtävänannossa 3.6. klo 23:37.)

2. Todistuksessani osoitin, että jos kolikonheittelyä jatkettaisiin tarpeeksi kauan, niin todennäköisyydellä 1 lopulta saataisiin Y - X perättäistä kruunaa. Ellei peli ole päättynyt jo aiemmin, niin viimeistään siinä vaiheessa saavutetaan yläraja Y, joten peli päättyy (ylöspelaajan voittoon).

P.S. Täsmennän tässä samalla ylinumeroituvuusargumenttiani 13.6. klo 12:20: puhun siinä "binäärilukujonoista", mutta tarkoitan binäärijonoja.
149. Jaska15.6.2020 klo 12:35
Ed. kohta 2. eol lienee tarkoittanut Y - M eikä Y - X? Peräkkäisten äärirajahan on (Y - X) + 2.
150. Jaska15.6.2020 klo 13:09
Tarkoitin tietenkin (Y - X) - 2 :-)
151. Jaska15.6.2020 klo 13:32
Ja edellinenkään tarkoitus ei ole peräkkäisten lukumäärä, vaan kentän osan pituus, jossa maksimimäärä peräkkäisiä esiintyy. Niiden lukumäärä on pituus + 1, eli (Y - X) - 1. Esim. kentällä 0 - 7 - 10:

ylös 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
alas 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0
152. eol15.6.2020 klo 15:23
Jaska, se kuinka monta perättäistä kruunaa tietyllä hetkellä pelin aikana tarvitaan pelin "suoraan" päättymiseen, riippuu tietysti siitä, missä positiossa merkki kyseisellä pelin hetkellä on. Maksimissaan tuo tarvittava kruunamäärä on kentän pituus, Y - X, vähennettynä yhdellä eli tosiaan Y - X - 1.

Mikäänhän ei kuitenkaan estä sitä, etteikö kolikonheittelyä voisi jatkaa vielä pelin päättymisen jälkeenkin. Eikä vara venettä kaada, joten L= Y - X on mukavan yksinkertainen lauseke ja riittävä (vaikkakin siis turhankin iso) määrä takaamaan seuraavan: jos pelin alussa aloitettu kolikonheittely lopetetaan vasta kun on saavutettu L perättäistä kruunaa, niin peli on varmasti päättynyt jo sitä ennen.

Edellisen viestini kohdassa 2 ei siis ole virhettä, vaikka toki siinä voisi käyttää lauseketta Y - X - 1 hieman yksinkertaisemman lausekkeen Y - X asemesta.
153. Jaska15.6.2020 klo 19:34
Ilta-Sanomien viiden palstan otsikko KIELTEINEN AJATTELU VOI ALTISTAA DEMENTIALLE säpsähdytti. Minullahan se on jo hyvässä vauhdissa, niin kuin viesteistä 149. ja 150. ja lukemattomista muista aikaisemmista ilmenee. Virheeni kirvoittivat synkkiä negatiivisia ajatuksia; tähänkö on jo tultu?

Jutun luettuani tajusin, että asioista löytyy aina positiivinenkin puoli, jos vain niin tahtoo. Eli onhan se +2 oikein, kun päättynyt peli jatkuu. Ja onhan peräkkäisten maksimilukumäärä tosiaan 8, kun tulkitaan peräkkäisyyden edellyttävän, että edeltävä merkki on aina sama. Kaikki kolme ratkaisuani olivat siis oikein. Minulla on vielä toivoa!
154. eol15.6.2020 klo 21:01
TODISTUS: JAKSO A

Tästä alkaa todistukseni sille, että mielivaltaisessa pelissä

G = (X, M, Y) = (X, X+n, X+n+p)

alaspelaajan voiton todennäköisyys on p/(n+p). Oletamme siis, että n ja p ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, joista ainakin toinen on erisuuri kuin 0.

Jos alaspelaajalle pätee edellä oleva, niin ylöspelaajan voiton todennäköisyys on triviaalisti n/(n+p), sillä oletamme tunnetuksi sen, että jokainen peli päättyy todennäköisyydellä 1. Samaa oletusta käytetään implisiittisesti useaan kertaan todistuksen myöhemmissäkin vaiheissa.

Todistus jakautùu kolmeen osan. Osassa 1 käsitellään ei-aidot pelit, osassa 2 ns. "symmetriset" pelit ja laajimmassa osassa 3 muut pelit. Tämä todistuksen jakso A (eli ensimmäinen viesti) kattaa vielä osat 1 ja 2.

OSA 1: EI-AIDOT PELIT

Pelin määritelmän mukaan ainakin toinen ei-negatiivisista luvuista n ja p on suurempi kuin 0. Jos toinen niistä on 0, niin kyseessä on ei-aito peli, joka päättyy jo ennen ensimmäistäkään lantinheittoa.

Oletetaan, että G on ei-aito peli. Jos n = 0, niin alaspelaajan voittotodennäköisyys on 1 = p/(0+p) = p/(n+p). Jos taas p = 0, niin alaspelaajan voittotodennäköisyys on 0 = 0/(n+0) = p/(n+p).

OSA 2: SYMMETRISET PELIT

Sanomme, että peli on symmetrinen, jos alkupositio on täsmälleen yhtä kaukana sekä alarajasta että ylärajasta. Symmetrisen pelin kentän pituus on siten parillinen positiivinen kokonaisluku.

Oletetaan, että G on symmetrinen peli. Tällöin n = p. Symmetrian perusteella alaspelaajan voittotodennäköisyys on 1/2 = p/2p = p(n+p).
155. eol15.6.2020 klo 21:07
P.S. Viimeiselle riville korjaus: p(n+p) po. p/(n+p).
156. eol16.6.2020 klo 02:27
TODISTUS: JAKSO B

OSA 3: MUUT PELIT

Nyt oletamme, että pelimme G = (X, X+n, X+n+p) on aito, eli n > 0 ja p > 0. Pyrimme osoittamaan, että G:lle pätee väitteemme, jonka mukaan alaspelaajan voiton todennäköisyys on p/(n+p). Täysin yhtäpitävää tämän väitteemme kanssa on se, että ylöspelaajan voiton todennäköisyys on n/(n+p).

Todistus suoritetaan täydellisellä induktiolla kentän pituuden n+p suhteen.

3.1 INDUKTION PERUSTA

Induktion perustaksi riittää se, että väitteemme pätee kaikille aidoille peleille, joiden kentänpituus on pienempi kuin 2. Sen todistaminen on erityisen triviaalia, koska kyseessä on tyhjä joukko, sillä jokaisen aidon pelin kentänpituus on vähintään 2.

3.2 INDUKTIOASKEL

Induktiohypoteesi: väitteemme pätee kaikille sellaisille aidoille peleille, joiden kentänpituus on pienempi kuin n+p.

Jos n = p, niin väitteemme pätee G:lle sen symmetrisyyden perusteella. Voimme siis jatkossa rajoittua tapauksiin, joissa n on erisuuri kuin p. Yleispätevyyttä menettämättä voimme olettaa, että n < p.

Muodostetaan pelillemme G = (X, X+n, X+n+p) seuraavanlainen ääretön mutta jaksollinen jonokehitelmä, jonka jakson pituus on 2:

(X, X+n, X+p)
(X+n, X+p, X+n+p)
(X, X+n, X+p)
(X+n, X+p, X+n+p)
...

Kumpikin osapelikehitelmässä esiintyvä peli on helppo havaita sellaiseksi aidoksi peliksi, jonka kentänpituus on p, eli pienempi kuin n+p, ja jonka alkuposition etäisyydet sen oman kentän rajoista ovat n ja p-n.

Induktiohypoteesin perusteella voidaan nyt helposti päätellä seuraavaa:

a) Jonon asemissa 0, 2, 4, ... esiintyvä peli (X, X+n, X+p) päätyy alarajaansa X, jolloin alaspelaaja voittaa G:n, todennäköisyydellä (p-n)/p ja ylärajaansa X+p, josta G jatkuu seuraavassa jonon pelissä, todennäköisyydellä n/p.

b) Jonon asemissa 1, 3, 5, ... esiintyvä peli (X+n, X+p, X+n+p) päätyy ylärajaansa X+n+p, jolloin ylöspelaaja voittaa G:n, todennäköisyydellä (p-n)/p ja alarajaansa X+n, josta G jatkuu seuraavassa jonon pelissä, todennäköisyydellä n/p.

Näin ollen alaspelaajan voittotodennäköisyydelle G:ssä saadaan ääretön summalauseke

(p-n)/p + (n/p)^2 * (p-n)/p + (n/p)^4 * (p-n)/p + ...

joka on suppeneva geometrinen sarja, jonka summaksi S = a/(1-q) saadaan

S = ((p-n)/p) / (1 - (n/p)^2)
= ((p-n)/p) / ((p^2 - n^2)/p^2)
= ((p-n)/p) * (p^2/(p^2 - n^2))
= ((p-n)/p) * (p^2/((p+n)*(p-n)))
= p/(p+n)
= p/(n+p)

mikä oli todistettava.

P.S. Pari relevanttia jonokehitelmäesimerkkiä on vielä tulossa vuorokauden sisällä.
157. eol16.6.2020 klo 20:32
Korjaus edelliseen viestini kohtaan "3.2 INDUKTIOASKEL", neljännen kappaleen alku: "Kumpikin osapelikehitelmässä esiintyvä peli" po. "Kumpikin jonokehitelmässä esiintyvä peli".
158. eol16.6.2020 klo 21:57
ESIMERKKEJÄ

Tässä tarkastellaan kahta esimerkkejä edellä olevan todistuksen mukaisista jonokehitelmistä. (Kyseisillä peleillä on luonnollisesti muunkinlaisia jonokehitelmiä.)

1. Jonokehitelmä (aidolle) pelille (0, 1, 4)

Nyt n eli alkuposition etäisyys alarajasta on 1 ja p eli alkuposition etäisyys ylärajasta on 3. Siten kentänpituus n+p = 4 ja n < p.

Todistuksessa käytettyä vastaava ääretön mutta jaksollinen jonokehitelmä löytyy seuraavasta (eli vasemmasta sarakkeesta):

(0, 1, 3) ..... 2/3 * 1
(1, 3, 4) ..... 1/3 * 2/3 * 0
(0, 1, 3) ..... 1/9 * 2/3 * 1
(1, 3, 4) ..... 1/27 * 2/3 * 0
(0, 1, 3) ..... 1/81 * 2/3 * 1
...

Jonon pelien kentänpituus on sama kuin p eli 3 ja siten pienempi kuin n+p = 4, joten niiden lopputulosten todennäköisyydet saataisiin todistuksen tapauksessa induktiohypoteesista. Alkuperäisen pelin alaspelaajan voittotodennäköisyys saadaankin laskemalla yhteen sen suppenevan geometrisen sarjan summa, jonka muodostavat ylle jonon pelien viereen oikealle merkityt todennäköisyydet:

S = 2/3 / (1 - (1/3)^2)
= 2/3 / 8/9
= 2/3 * 9/8
= 3/4

eli sama kuin p/(n+p).

2. Jonokehitelmä (aidolle) pelille (0, 3, 8)

Nytkin n = 3 < p = 5. Vastaavanlainen jonokehitelmä kuin yllä on nyt

(0, 3, 5) ..... 2/5 * 1
(3, 5, 8) ..... 3/5 * 2/5 * 0
(0, 3, 5) ..... (3/5)^2 * 2/5 * 1
(3, 5, 8) ..... (3/5)^3 * 2/5 * 0
(0, 3, 5) ..... (3/5)^4 * 2/5 * 1
...

Tällä kertaa alaspelaajan voittotodennäköisyydeksi alkuperäisessä pelissä saadaan

S = 2/5 / (1 - (3/5)^2)
= 2/5 / 16/25
= 2/5 * 25/16
= 5/8
159. Ari22.7.2020 klo 15:15
Ruotsalaisen juoman kaivuri?
160. Ari22.7.2020 klo 15:16
(7)
161. Ari22.7.2020 klo 20:02
Tämä visakysymys on nyt, sanottaisko, käytännön maanläheinen eikä pitäisi olla niin hilseen yli menevä kuin täällä on monilla tapana.
162. Jaska22.7.2020 klo 21:11
Åkerman
163. Ari23.7.2020 klo 07:31
Jaska, sepä juuri.
164. Jukkis27.7.2020 klo 20:11
Valitaan väliltä 1 ... 12 neljä lukua: a, b, c ja d.
Lasketaan uudet neljä lukua: e=|a-b|, f=|b-c|, g=|c-d|, h=|d-a|.
Jatketaan samalla periaatteella kunnes tuloksena on neljä nollaa.

Esimerkki:
3 1 9 12
2 8 3 9
6 5 6 7
1 1 1 1
0 0 0 0

Nolliin päädyttiin neljällä askeleella.

Tehtävä: Etsi ne luvut a, b, c ja d, joista lähtien nolliin päädytään mahdollisimman suurella askelmäärällä.
165. Jukkis27.7.2020 klo 21:45
Jos joku nyt tuota selvittelee, niin jospa ei saman tien kerro noita lukuja, vaan vain sen, mihin askelmäärään on päässyt.
166. Jaska27.7.2020 klo 21:50
Kuuteen, mutta oletan maksimiksi seitsemän.
167. Jukkis27.7.2020 klo 22:21
On se kyllä isompi.
168. Jaska27.7.2020 klo 22:26
Niin on, pääsin kahdeksaan. Jos on isompi, jätän muille funtsimisen.
169. Elva28.7.2020 klo 08:09
Sain yhdeksän.
170. Jukkis28.7.2020 klo 17:30
Joo, kahdella eri abcd-lukujoukolla pääsee yhdeksään.
171. Elva28.7.2020 klo 18:09
Kerronko luvut, vai yrittääkö joku vielä?
172. Jaska28.7.2020 klo 19:07
Onnittelut voitosta Elvalle. Pääsin tasoihin luvuilla, joiden summa on 24. Olen siis kunniaton kakkonen, koska rikoin sanani olla yrittämättä isompaa kuin 8.
173. Elva28.7.2020 klo 19:16
Jaska, tiesin että yrität vielä :) Onnittelut onnistumisesta. Minun summani on 30.
174. Jaska28.7.2020 klo 23:30
Niin kuin uumoilinkin, Elvan lukujen etäisyydet ovat minun vastaavien peilikuva. Nyt olen siis kunniaton voittaja sarjassa molemmat lukuyhdistelmät oikein:)
175. Jukkis29.7.2020 klo 07:02
Ootko Jaska ihan varma että se summa on 24?
176. Jaska29.7.2020 klo 10:00
Ärrr, huolettomuusirhe. Oikein on 22.
177. Jukkis29.7.2020 klo 14:04
Tulitikkutehtävä: https://aijaa.com/tWRIoD

Kahta tikkua siirtämällä pitää muuttaa laskutoimitus sellaiseksi laskutoimitukseksi, jonka vastaus on pariton luku. Ratkaisuja on useita. Ekaksi: Montako ratkaisua keksit? Hiukka myöhemmin sitten voidaan luetella niitä ratkaisuja.

Numerot muodostuvat tavallisten 7-segmenttinumeroiden tapaan:
https://www.iconspng.com/image/94084/7-segment-dis play-numbers
178. Elva29.7.2020 klo 15:40
Sain 12. Käsitin että poistetut tikut tuli käyttää uudelleen, en myöskään hyväksynyt miinusmerkkisiä laskutuloksia.
179. Jukkis29.7.2020 klo 16:00
Juu, "siirtäminen" ei tarkoita kokonaan pois siirtämistä, kaikki 13 tikkua pitää olla mukana lausekkeessa. Ja kyllä negatiivisetkin luvut on parillisia tai parittomia.
180. Elva29.7.2020 klo 18:09
Tyydyn sitten viiteentoista.
181. Jukkis29.7.2020 klo 19:54
Löytäiskö joku enemmän?½
182. Ari29.7.2020 klo 20:15
319
183. Jaska29.7.2020 klo 21:17
Tuomari saa päättää, suosrittiko Ari laskutoimtuksen. Minusta ei. Minä kerron 3 x 9 = 27. Se on laskutoimitus. Tulokseni on siis 1, johon tyydyn.
184. Jaska29.7.2020 klo 21:19
suorittiko
185. Elva29.7.2020 klo 21:30
Minulla on 7 miinuslasku-, 7 pluslasku- ja yksi kertolaskutoimitus.
186. eol29.7.2020 klo 21:51
Tuomari ratkaiskoon myös sen, saadaanko laskutoimitus, jos plusmerkin tikuista muodostetaan ylöspäin suuntautuva väkänen:

3 ^ 9 = 19683

(Esim. Wolfram Alpha hyväksyy tuon.)
187. eol30.7.2020 klo 01:20
Parittoman kokonaisluvun tuottavia kertolaskuja löydän tuon yhden eli Jaskan mainitseman (ja samaten potenssilaskuja tuon yhden).

Yhteen- ja vähennyslaskuja löydän "rehellisellä pelillä" kumpiakin 7, eli samat määrät kuin Elva. Lisäksi löytyy 3 sellaista yhteenlaskua ja 1 sellainen vähennyslasku, jotka kyllä saadaan aikaan jo pelkällä yhden tikun siirrolla, mutta periaatteessa myös siirtämällä peräkkäin kaksi eri tikkua uuteen paikkaankin (jolloin tosin jälkimmäisen tikun uusi paikka on sama kuin ensimmäisen tikun alkuperäinen paikka).

Jakolaskuja löydän yhden (jossa tosin jakoviiva "/" jää ehkä epäesteettisen pieneksi).
188. Jukkis30.7.2020 klo 11:57
"Kahta tikkua siirtämällä". Tottakai silloin nekin, jotka onnistuu yhdelläkin tikulla, on mukana, jos ne voi toteuttaa kahden tikun siirrolla.

Väitän että 21 ratkaisua, joista itse en keksinyt potenssiin korotusta enkä jakolaskua. Jos tuo Arin oivallus 319 otetaan mukaan, ja miksi ei otettaisi, niin 22.
189. Jukkis30.7.2020 klo 13:41
Tuli vielä mieleen tämä:
3 < 9
joka ohjelmakoodin if-lauseessa saa arvokseen 1.
190. Jukkis30.7.2020 klo 21:25
Sitten on vielä tämmöinen että kun muuttaa plussan pystyviivaksi:
3 | 9
niin siinä on yksi tapa merkitä looginen TAI-funktio, jonka arvo on nyt 11. Ja lisää noita saa muutaman, kun TAI-funktion symbolina on vain yksi pystytikku ja plussan toinen tikku sijoitellaan sopivasti.
191. Jukkis31.7.2020 klo 17:51
Helpohkoa geometriaa. On kaksi samankeskistä ympyrää. Isomman ympyrän piirin kaksi pistettä yhdistetään janalla, joka sivuaa pienempää ympyrää. Janan pituus on 10. Mikä on ympyröiden väliin jäävän renkaan pinta-ala?
192. Matti1.8.2020 klo 22:35
Tätä "pyyhkäisyteniikkaa" täällä jo käsiteltiin aiemmin. En nyt löydä tarkkaa paikkaa. Nimi oli joku Mamecon tai joku. Ala on pi*r^2, missä r=5.
193. eol1.8.2020 klo 23:05
Tuo sama vastaus saadaan aika helposti myös Pythagoraan lausetta soveltamalla, sillä ympyrää sivuava suora on aina kohtisuorassa sivuamispisteestä piirrettyyn saman ympyrän säteeseen nähden. Siten jos isomman ympyrän säde on R ja pienemmän S, niin R^2 = S^2 + 5^2, josta pi*R^2 - pi*S^2 = pi*5^2.
194. Matti2.8.2020 klo 21:32
Tuon "pyyhkäisytekniikan" eduksi on sanottava, että se antaa ratkaisun, vaikka Pythagoraasta ei olisi koskaan kuullutkaan. (Toisaalta aika keinotekoinen on kuitenkin sellainen asetelma, että ympyrän pinta-alan kaava on tuttu, mutta Pythagoraan lause ei.)
195. Matti3.8.2020 klo 00:50
Pyyhkäisytekniikasta on täällä keskusteltu säikeessä 4774 visa 2 alkaen puheenvuorosta 805, 2.2.2020.
196. Matti3.8.2020 klo 01:01
Katso myös esim. Wikipedia: Mamikon visual calculus.
197. Jukkis5.8.2020 klo 20:42
Pikkukysymyksiä.

1. Mikä kolmekirjaiminen kirjainlyhenne(*) sisältää neljä kirjainta?
(*) https://fi.wikipedia.org/wiki/Akronyymi_ja_kirjain lyhenne

2. Mikä kirjain puuttuu: H, O, X, Z, I, S.

Seuraavat vaativat tehtävän ajattelua soveltuvin osin englanniksi:

3. Miten jatkuu kirjainjono O, T, T, F, F, ...?

4. On aakkoset H, I, J, K, L, M, N, O. Mikä kemiallinen aine tuosta litaniasta saadaan?

Nämä toimivat vain kokonaan englanniksi:

5. This group of words is most unusual. Why? If you look at it, you will possibly find out, but a solution is not at all obvious.

6. What positive fraction smaller than one is equal to itself when inverted?
198. eol5.8.2020 klo 22:55
Kolme noista sain (ilman apuja) ratkaistua: 2, 3, 5.
199. Elva6.8.2020 klo 09:26
Tiedän 3. ja 4. ja minulla on hyvä arvaus kohtaan 1.
200. Matti7.8.2020 klo 01:27
Minulla on mielestäni ihan pätevä ja simppeli ratkaisu kohtaan 6. En vain ymmärrä, mihin siinä englantia tarvitaan.
201. Jukkis7.8.2020 klo 06:54
Miten kysymys 6 siis on suomeksi?
202. Jaska7.8.2020 klo 10:46
Mikä yhtä pienempi eliivarsinainen murtoluku on yhtä suuri kuin sen käänteisluku?

Eihän sellaista matemaattisesti ole. Matti on ehkä keksinyt jonkin muun selityksen. Englanniksi vastaus voisi perustua sanan fraction merkitykseen osa(nen) suuremmasta = bit. Se voi puolestaan tarkoittaa myös lanttia. Vastaus voisi olla siinä tapauksessa coin tai sixpence.
203. Jukkis7.8.2020 klo 10:54
Matilta sitä suomennosta kyselen.
204. Jaska7.8.2020 klo 11:01
Anteeksi, en asiaa tullut tajunneeksi.

Mainitsemiani parempi vastausvaihto olisi quarter (dollar). Sehän toimii myös merkityksessä murtoluku, -osa.
205. Jukkis7.8.2020 klo 11:13
Eipä mtn, hyvä että käänsit, koska tuo sinun käännös ei ole sama tehtävä kuin alkuperäinen.
KOMMENTOI

Pakolliset kentät merkitty tähdellä *