10374. Visa - 3

Matti5.3.2020 klo 21:52
Siirrymme kombinatoriikan pariin. Pelikenttä on pistehila, jonka pisteet ovat XY - tason pisteet (m,n), missä m ja n ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja. Lähtöpiste on origo ja maali on piste (m,n). Lähdöstä maaliin edetään polkuja, jotka kulkevat pisteväli kerrallaan joko oikealle tai ylöspäin. Kysytään kaikkien lähdöstä maaliin johtavien polkujen lukumäärää N(m,n). Esim. N(1,1) = 2, N(1,2) = 3 ja N(2,2) = 6.
2. Jaska5.3.2020 klo 22:42
Siinähän on kyse kahden alkion kombinaatioista. Ei siis erityisen visainen tehtävä.
3. Matti6.3.2020 klo 00:27
Kuvittelisin, että nyt liikutaan Jaskan mukavuusalueella.
4. Jukkis6.3.2020 klo 17:24
Oliskohan esim. N(5,8) = 1287?
5. eol6.3.2020 klo 18:02
Minusta Jukkiksen tulos on oikea, ja toisena esimerkkinä tarjoan N(15,18) = 1037158320.
6. Jukkis6.3.2020 klo 19:31
Saman N(15,18):n saan.
7. Jaska6.3.2020 klo 21:47
Eli 33 yli 15 tai 18 = 1037158320
8. Matti7.3.2020 klo 21:14
Kyllä, noinhan se menee. Ratkaisu on binomikerroin ((m+n) yli m). Hilapisteeseen (m, n) pääsee tasan kahta tietä, joko pisteen (m-1,n) kautta tai sitten pisteen (m,n-1) kautta. Siis N(m,n) = N(m-1,n) + N(m,n-1). Tämä määrittelee Pascalin kolmion.
9. Jukkis8.3.2020 klo 10:44
Tuota en oivaltanut. Minä päädyin ratkaisuun niin, että ensin ihan väkisin selvitin pari pistettä lisää. Sitten äkkäsin, että nuohan on Pascalin kolmion lukuja. Ja kun ne luvut on simppeleitä kombinaatioita niin selvittelin, että miten ne kombinaatiot liittyy tähän. Ja sitten oivalsin:

Jos piste on (x,y), niin reitti koostuu x+y :stä ykkösen pituisesta pätkästä. Noistä pätkistä x kpl on aina vaakasuoria. Monellako eri tavalla nuo x vaakasuoraa pätkää voidaan valita x+y :stä pätkästä? Tietysti x+y yli x. Joka tietysti on sama kuin x+y yli y.
10. eol8.3.2020 klo 20:17
Entäpäs jos otetaan käsiteltäväksi täysin vastaava tehtävä 3-ulotteisessa avaruudessa: paljonko on N(m,n,p)?
11. Jaska8.3.2020 klo 22:14
Mielestäni p*N(m,n), vaikka vaikuttaa pelottavan simppeliltä.
12. Jaska8.3.2020 klo 22:22
No ei, tuohan on erityistapaus. Tarvitaan lisäksi yhteen- tai vähennyslaskua.
13. Matti8.3.2020 klo 22:41
Jukkiksen, 9, ratkaisu oli näppärä!
14. Matti8.3.2020 klo 23:01
Arvaus: N(m,n,p) = termin x^m*y^n*z^p kerroin polynomissa (x + y + z)^(m+n+p), siis (m+n+p)!/(m!n!p!). Jos on näin, yleistys korkeampiin dimensioihin on triviaali.
15. Jaska8.3.2020 klo 23:30
Tjaa, näyttää mutkikkaalta. Oma ajatukseni oli siis, että polkujen pituuden perusyksikkö on kuution särmä = 1. Kun nostetaan piste m,n,p "syvyyksistä" kaksiulotteseille pinnalle, lasketaan ensin kaksiulotteisten polkujen lukumäärä. Se kerrotaan syvyyslukemalla ja tuloon lisätään syvyyslukemaa vastaava kolmioluku. Jos syvyys on esim. 6, kolmioluku on 21. Olenko ihan yössä? No en vielä, vasta noin puolen tunnin päässä.
16. Matti8.3.2020 klo 23:36
Oma arvaukseni toteuttaa differenssiyhtälön N(m,n,p) = N(m-1,n,p) + N(m,n-1,p) + N(m,n,p-1), joten se lienee oikein.
17. Jaska8.3.2020 klo 23:49
Ja minä menin metsään kolmiolukuineni, siinähän kuuden eri pisteen lukemat. Jos syvyys on 6, tulos on tietysti 6*pintapolkujen lukumäärä + 6. Ei siis mitään vähennyslaskua.
18. eol8.3.2020 klo 23:53
Olen samaa mieltä kuin Matti.

Jukkiksen esittämään tapaan x-akselin suuntaisten askelien sijoittamiselle reitille löytyy ((m+n+p) yli m) eri vaihtoehtoa, ja kussakin niistä sitten y-akselin suuntaisten askelien sijoittamiselle vielä ((n+p) yli n) eri vaihtohtoa. (Loppuihin reitin positioihin tulee sitten kuhunkin z-akselin suuntainen askel.) Tästä sieventäen saadaan helposti N(m,n,p) = [(m+n+p)!/(m!*(n+p)!)] * [(n+p)!/(n!p!)] = (m+n+p)!/(m!n!p!). Yleistys korkeampiin dimensioihin vaikuttaa tosiaan triviaalilta.
19. Jaska9.3.2020 klo 13:12
Helposti tajusin nyt pilvisessäkin päivänvalossa kuinka pimeässä vaelsin yössä. En älynnyt laskea kaikkien erilaisten "sukelluskombinaatioiden" lukumäärää. Nyt havainnollistan asian esimerkillä. Olkoon kolmiulotteinen tila kuutio, joka koostuu 3^3 = 27:stä pienemmästä kuutiosta. Olkoon piste m.n.p 3,3,3 eli ison kuution "origon" vastakkainen kärkipiste. Polut kulkevat siis pikkukuutioiden särmiä pitkin. Tällöin lyhin matka kärkipisteiden välillä on 9 askelta, joista kolme askelta syvyyssuunnassa. Näillä kolmella on seuraavat järjestyskombinaatiot: 0-0-0-0-0-3 = 6, 0-0-0-0-1-2 = 30, 0-0-0-1-1-1 = 20, summa 56. Erilaisten polkujen lukumäärä on siis 20*56 = 1120. Stemmaako?
20. Jukkis9.3.2020 klo 14:02
"...lyhin matka kärkipisteiden välillä on 9 askelta."

Lyhin? Eikös kaikki matkat ole yhtä pitkiä.

Minusta tuo (m+n+p)!/(m!n!p!) on oikein, siitä (3,3,3):lle tulee 1680.
21. Jaska9.3.2020 klo 17:29
Kyllä kaikki 9 askeleen minimireitit ovat yhtä pitkiä. Nyt jos uskoisin olevani oikeassa, väittäisin tulokseen 1680 sisältyvän m yös mutkaisempia reittejä. Oleten kuitenkin tehneeni virheen kombilaskuissani. Etsin sitä sitten, jos saan uuden innoituksen.
22. Jaska9.3.2020 klo 22:27
Yht'äkkiä tajusin hölmön kombinaatiovirheeni, aarrgh. Jokaisella askelella on tietysti alku- ja loppupiste. Kaksiulotteisella reitillä on siis ko. pisteitä yksi enemmän kuin askelia. Korjatut luvut 7, 42, ja 35, summa 84. Polkujen lukumäärä siten +84*20 = 1680.
23. Jaska9.3.2020 klo 22:29
Ansaitsematon plussa pois.
24. Jukkis10.3.2020 klo 14:25
Entä jos muutetaan alkuperäistä 2-ulotteista niin, että matkalla origosta pisteeseen (m,n) on luvallista siirtyä pisteestä (x,y) myös pisteeseen (x+1,y+1) silloin kun se on mahdollista. Montako eri reittiä silloin on?

Hetken tätä tutkailin, mutta en mihinkään vastaukseen päässyt. Lieneekö tälle simppeliä vastausta?
25. Jaska10.3.2020 klo 21:34
Onhan se simppeli, jos uuteen pisteeseen on luvallista siirtyä vai pisteen (x,y) kautta. Meno-paluu 2+2 = 4 askelta, paluu siis luvallinen alas ja vasemmalle. Ratkaisu siis 4*(x,y) -reittien lukumäärä. Tai en ymmärtänyt kysymystä Jukkiksen tarkoittamalla tavalla.
26. Jaska10.3.2020 klo 21:40
Ja kolmiulotteisuudessa vastaava visiitti 9*alkup. reitit.
27. Jukkis10.3.2020 klo 22:19
Mä en ymmärtänyt tuosta mitään.
28. Jukkis10.3.2020 klo 22:20
... mutta jotenkin arvasin, että Jaska tekee tästä ihan oman käsittämättömän tulkintansa.
29. Jaska10.3.2020 klo 23:02
Tasapeliin on siis kummankin tyytyminen.
30. Jukkis11.3.2020 klo 15:18
Löytyihän tuolle minun laajennetulle polkujenhakuhommalle ratkaisu. Yleispätevää kaavaa en kyllä vielä ole saanut aikaan, mutta lukuarvoja on helppo laskea.

Esimerkiksi Matin alkuperäisessä 2-ulotteisessa N(6,4) = 210. Jos ylös ja oikealle siirtymisten lisäksi sallitaan myös 45 asteen kulmassa yläoikeaan siirtymiset, niin eri polkujen määräksi tulee 1289.
31. eol11.3.2020 klo 20:29
Jukkiksen luvulle J(m,n) voi ilmeisestikin muodostaa differenssiyhtälön ja alkuarvot seuraavasti:

J(m,n) = J(m-1,n) + J(m,n-1) + J(m-1,n-1), kun m > 0 ja n > 0
J(m,0) = J(0,n) = 1

Tuolla(kin) pystyy kyllä laskemaan yksittäistapauksia (varsinkin tietokoneen avulla), mutta yleisen kaavan saamiseksi pitäisi sitten osata ratkaista tämä differenssiyhtälö. Omat vähäisetkin sensuuntaiset taitoni ovat hieman ruosteessa ...
32. Jukkis11.3.2020 klo 20:55
Juu. Tuosta voi helposti rakentaa eräänlaisen muunnetun Pascalin kolmion. Sanoisin että tavallaan Pascalin kolmion konvoluutio itsensä kanssa:

https://aijaa.com/vF5LuP

Tuosta sitten voi poimia lukuarvoja.
33. Jaska11.3.2020 klo 21:51
Niin kuin arvasin, en ymmärtänyt tehtävää. Se olikin väistämätöntä, sillä minun (x,y)-pisteeni tarkoitti (m,n,)-pistettä. Eli laskin normaalia kahden askeleen matkaa pisteeseen (m+1,n+1) ja takaisin. Mainintaa 45 asteen oikaisusta kun ei siinä vaiheessa ollut. Ehkä se olisi olisi valjennut, jos mainitun luvallisuuden merkitystä olisi pysähtynyt funtsimaan.

Sekoilustani huolimatta tehtävän laajennus on kiinnostava. Tutkailen sitä huomenna ajan kanssa
34. Jaska11.3.2020 klo 22:47
Alustavasti näyttää siltä, että yleispätevää kombinatorista kaikki (m,n) tapaukset kattavaa kaavaa ei ole olemassa. Kaavoja voi johtaa, kun m,n-suhteet ovat samat, esim. (2,3), (4,6), (6,9) jne, mutta valitettavasti niitä on äärettömän monta erilaista. Ratkaisuni on täten: eolin pitää hankkia ruosteenpoistoainetta!
35. Matti12.3.2020 klo 01:06
Noin pitkälle minäkin pääsin, mutta en edemmäksi. Differenssiyhtälö analogisesti aiempien kanssa, OK, ja siitä sitten voidaan laskea rekursiiviisesti Jascalin kolmiota eteenpäin, kuten Jukkis teki. Onko differenssiyhtälölle suljetussa muodossa olevaa ratkaisua, kukapa tietää.
36. Jaska12.3.2020 klo 11:22
Ehkä kukaan ei vielä tiedä, mutta joku asiasta kiinnostuva matemaatikko saattaa sellaisen yleispätevän suljetun muodonkin keksiä. Itsenäisenä tapauksena jokainen (m,n) voidaan laskea kombinatorisesti ja useiden tapausten voidaan taulukoida systemaattsesti, eli ne ovat jonkin lukujonon termejä. Esimerkkinä Jukkiksen kolmio.
37. Jaska12.3.2020 klo 11:24
...useien tapausten ratkaisut...
38. Matti13.3.2020 klo 00:22
Vähän kevyempää välillä. Tuoreimman IS:n Tenavat-sarjakuvassa on tällainen tehtävä. Miehellä on tytär ja poika. Poika on 3 vuotta vanhempi kuin tytär. Vuoden päästä mies on 6 kertaa vanhempi kuin tytär nyt, ja 10 vuoden päästä 14 vuotta vanhempi kuin lastensa yhteenlaskettu ikä tuolloin. Minkä ikäiset isä, poika ja tytär ovat nyt? Charles M. Schulz ei kertonut vastausta.
39. Elva13.3.2020 klo 01:05
Tytär on 7, poika 10 ja mies 41 vuotta.
40. Matti13.3.2020 klo 01:54
Elva, just oikein!
41. Jaska19.3.2020 klo 13:40
Palataan Matin tehtävään ja Jukkiksen kolmannella alkiolla laajennettuun jatkotehtävään. Syynäilin nyt "Jascalin kolmiota" tarkemmin, mutta en päässyt jyvälle (mikä ei tietenkään ole mitään ihmeellistä). Oletin kolmion huipun 1 kuvaavan origoa, toinen rivi origosta ylös ja oikealle suuntautuvia askelia. Niiden summa 3 on siis myös ternaarinen (1,1) ratkaisu. Jatkossa ei kaikkien reittien lukumääriä ei kuitenkaan löydy?

Periaatteessa näiden ternääritapaustenkaan laskeminen ei ole erityisen mutkikasta, käsipelillä työlästä kylläkin kombinaatioiden pituuden kasvaessa. Lasketaan erikseen kombinaation kolmannen alkion eri lukumäärien mukaan, summataan ne ja binaarikombinaatioiden lukumäärä. Esimerkkinä tapaus (4,6), jonka ratkaisu on Jukkiksella 1289. Merkitsen kolmannen alkion vakioveikkaustyylillä ristillä.

binaari 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2, pituus 10, 210 kombinaatiota
ternaari X 1 1 1 2 2 2 2 2, pituus 9, 504 kombinaatiota
ternaari X X 1 1 2 2 2 2, pituus 8, 420 kombinaatiota
ternaari X X X 1 2 2 2, pituus 7,140 kombinaatiota
binaari pituus 6, 3 kombinaatiota eli 2 2 X X X X, 2 X X X X 2, X X X X 2 2, ei siis pystyaskelia.

Summa 1277. Koetan lenkillä funtsia, mikä mahd. meni pieleen.
42. eol19.3.2020 klo 14:22
Jaska, kohdan "binaari pituus 6" kombinaatioita on (6 yli 2) = 6!/(2!×4!) = 15. (Ei siis vain 3.)
43. Jaska19.3.2020 klo 18:26
Joo kiitos. Mulla taas kumma oikosulku, onneksi ei ollut eka kerta. 1277 + 12 = 1289.
44. Jukkis21.3.2020 klo 14:49
Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 3, 4 ja 5. Mikä on suurimman kolmion sisään mahtuvan ympyrän pinta-ala?
45. Jaska21.3.2020 klo 18:14
Arvaan 3,14159
46. Jukkis21.3.2020 klo 20:20
Arvaamalla ei paljon kunniaa heru.
47. Jaska22.3.2020 klo 00:31
Varmasti 3,14159
48. Jukkis22.3.2020 klo 10:24
Mahdollisimman simppeli todistus käyttäen tämän kuvan merkintöjä?

https://aijaa.com/0wKtYJ
49. Matti23.3.2020 klo 19:12
Ehdotan, että ensin vastaava antaa kolmannen, neljännen ja viidennen desimaalin, seuraava kolme seuraavaa, jne.
50. Matti23.3.2020 klo 20:02
Höh, Jaska jo antoikin 5 oikeaa desimaalia. Mun ratkaisu ei ollut varmaan kaikkein simppelein. Vähän geometriaa ja trigonometriaa tarvittiin.
51. Matti23.3.2020 klo 20:02
Höh, Jaska jo antoikin 5 oikeaa desimaalia. Mun ratkaisu ei ollut varmaan kaikkein simppelein. Vähän geometriaa ja trigonometriaa tarvittiin.
52. ++juh23.3.2020 klo 20:31
Merkitään Jukkiksen kuvan kolmion sivut BC = a, AB = b ja AC = c sekä ympyrän säde r.

Kolmion ABC pinta-ala = a b / 2.

Piirretään janat AP, BP ja CP, jolloin muodostuu kolme uutta kolmiota ABP, BCP ja CPA, joiden pinta-alojen summa on:
a r / 2 + b r /2 + c r / 2 = (a + b + c) r / 2, joka on kolmion ABC pinta-ala.

a b / 2 = (a + b + c) r / 2, joten
r = a b / (a + b + c) = 3 x 4 / (3 + 4 + 5) = 1.

Ympyrän pinta-ala on siis pii.
53. Jukkis23.3.2020 klo 21:19
Tai näin:

Kolmiot PCE jaa PCF on yhtenevät, joten CE=CF.
Kolmiot PAD jaa PAF on yhtenevät, joten AD=AF.

Joten AC=AF+CF=AD+CE=(AB-DB)+(CB-EB)=(4-r)+(3-r)
Ja koska AC=5, saadaan tuosta ratkaistua r=1.
54. Jaska23.3.2020 klo 21:21
Eikö se simppelein tapa ole laskea säteen pituus ja kertoa se piillä: (3 - r) + (4 - r) = 5, josta saadaan r = 1, eli 1*r = r.
55. Jukkis23.3.2020 klo 21:26
Ai meinaat että jos kolmion sivut olisi 6, 8 ja 10, jolloin r=2, niin pinta-ala olisi 2*pii?
56. Jukkis23.3.2020 klo 21:52
Vielä yksi tapa. Tätä kun tutkailin, niin tuli vastaan etäisesti tutulta tuntuva kolmion pinta-alan kaava:

A=(puolet kolmion piirin pituudesta)*(sisäympyrän säde)

Nythän A=6, joten 6=0.5*(3+4+5)*r=6*r eli r=1.
57. Jaska23.3.2020 klo 21:52
No ei, se on 4*pii. Hölmö virhe.
58. ++juh23.3.2020 klo 22:45
56. Jukkis
Vielä yksi tapa. Tätä kun tutkailin, niin tuli vastaan etäisesti tutulta tuntuva kolmion pinta-alan kaava:
A=(puolet kolmion piirin pituudesta)*(sisäympyrän säde)
Nythän A=6, joten 6=0.5*(3+4+5)*r=6*r eli r=1.
- - - - -

Tuon kaavanhan juuri yllä johdin: kolmion pinta-ala = (a + b + c) r / 2
59. Jukkis24.3.2020 klo 09:12
Joo, sori. En ymmärrä, miksi katsoin niin huolimattomasti tuo sinun ratkaisun. Ehkä ajattelin tyhmänä että "onpas mutkikkaan näköinen, mulla on yksinkertaisempi".
60. Jukkis24.3.2020 klo 12:52
Mitkä ovat kuvassa olevan yhtälön kolme ratkaisua?

https://aijaa.com/8Fgwcu
61. ++juh24.3.2020 klo 17:26
-3, 3 ja 21.
62. Jukkis24.3.2020 klo 19:21
Muut saa itsekseen miettiä, miksi näin.

Seuraava: Luettele joukko Fibonaccin lukuja niin, että luvuissa on yhteensä 10 numeroa ja kukin numero 0-9 esiintyy kerran.
63. Jaska24.3.2020 klo 20:03
2, 5, 34, 611, 987
64. Jaska24.3.2020 klo 20:05
Korjaan, 2, 5, 34, 610, 987
65. Jukkis24.3.2020 klo 20:41
Ristikko: https://aijaa.com/1HJ95Q

Ratkaisussa on 2- ja 3-numeroisia lukuja. Yhtäkään nollaa ei esiinny.

Vaakasuoraan:
vs1. Puolet ps2:sta
vs3. 2. ja 3. numero = edellinen mumero + 2
vs4. Numeroiden summa suurempi tai yhtäsuuri kuin vs1:n numeroiden summa + 3.

Pystysuoraan:
ps1. 1. ja 2. numeron (positiivinen) erotus on sama kuin 2. ja 3. numeron erotus
ps2. Ei vihjettä
ps3. Pariton luku

Jospa ei ratkaisun paljastusta, pelkkä hep vaan, jos haluaa asiasta kertoa.
66. Matti24.3.2020 klo 22:27
Jukkis 60. Pari ratkaisua: 21 ja 10/21. Kolmatta en löytänyt. Mutta ++juhin kera ratkaisuja on jo neljä, myös siis -3 ja 3.
67. Jukkis25.3.2020 klo 09:39
En kyllä keksi miten tuon 10/21 sait. Kerro.
68. Jaska25.3.2020 klo 10:36
Matille sattui laskuvirhe.
69. eol25.3.2020 klo 13:11
Hep: Jukkiksen numeroruudukko [65] ratkaistu. Ei pahis. (Yhtälön [60] suhteen saan saman ratkaisun kuin juh++ ja Fibonacci-joukon [62] suhteen saman kuin Jaska.)
70. eol25.3.2020 klo 13:15
Edellisessäni "saman ratkaisun kuin juh++" po. "samat ratkaisut kuin ++juh".
71. ++juh25.3.2020 klo 13:38
Matin toisessa ratkaisussa X on roomalainen numero ja I on tuntematon.
72. Jukkis25.3.2020 klo 14:20
Nokkelaa. Jos jollekin on vielä epäselvää, miksi 3 ja -3, niin kyllä se siitä iloksi kääntyy, kun riittävästi pyörittelee.
73. Jukkis25.3.2020 klo 14:21
Olis sitten tällainen:

Ilman että lasket kumpaakaan lukuarvoa, päättele kumpi on suurempi:
10! vai sekuntien määrä kuudessa viikossa.
74. ++juh25.3.2020 klo 15:21
73.

Kolme ratkaisua: 10! on yhtä suuri, pienempi tai suurempi.
75. Jukkis25.3.2020 klo 19:10
Karkaussekunti tosiaan, juu, en sitä tässä ajatellut soveltaa, mutta erittäin OK. Tosin ainakin Wikipedian mukaan negatiivista karkaussekuntia ei koskaan ole ollut. Ellei tuossa "suurempi"-tapauksessa ole kyse jostain muusta?
76. Jukkis25.3.2020 klo 19:14
Mutta siis jännästi sekuntien määrä = 6*7*24*3600 = 6*7*3*8*10*2*5*4*9 = 10!
77. Matti25.3.2020 klo 19:36
Aina vain sitä viisastuu. (Kolmosjuuretkin löytyivät Jukkiksen yhtälöön.,)
78. Jukkis25.3.2020 klo 19:49
Ristikko: https://aijaa.com/wVSamh

Ratkaisuna kokonaislukuja. Yhtäkään nollaa ei esiinny.

Vaakasuoraan:

vs1. Numeroiden summa = 12
vs3. Alkuluku
vs5. Kukin numero edellistä isompi
vs7. Kaikki numerot parillisia ja eri suuria keskenään; vasemmalta oikealle numerot joko kasvavat tai pienenevät
vs8. Kaikki numerot parittomia ja eri suuria keskenään
vs9. Numeroiden summa pienempi kuin vs1:n numeroiden summa
vs10. Kahden alkuluvun tulo

Pystysuoraan:

ps1. ps6:n kuutiojuuren monikerta
ps2. Numeroiden summa = 24
ps3. Alussa erään luvun neliö, ja sen perässä tuo eräs luku itse
ps4. Palindromi
ps6. Ei vihjettä
ps8. Parillinen luku
79. ++juh25.3.2020 klo 19:50
Kuusi viikkoa voi vielä olla 3600 sekuntia lyhyempi tai pitempi.
80. Matti25.3.2020 klo 19:53
Kuusi viikkoa voi olla 10! +1 sekuntia, ok, mutta miten se voi olla 10! -1 sekuntia?
81. Jukkis25.3.2020 klo 19:54
Äh, kesä/talviaika. Noloa.
82. Elva25.3.2020 klo 22:04
Jukkis,, 78., oisko näin?

vs 1 = 93
vs 3 = 29
vs 5= 12357
vs 7= 2468
vs 8= 59317
vs 9= 28
vs10= 69
83. Matti26.3.2020 klo 00:37
Ei kun siis joo, eihän ++juh koskaan ole väittänytkään, että kuusi viikkoa voisi ollla 10! - 1 sekuntia. Rauha maassa. Ja ihmisillä hyvä tahto.
84. Jukkis26.3.2020 klo 10:18
Suorakulmion piiri metreinä on kokonaisluku. Sen pinta-ala neliömetreinä on sama kokonaisluku. Suorakulmion jokaisen sivun pituus metreinä on irrationaaliluku. Mikä on pienin mahdollinen suorakulmion pinta-ala?
85. Jaska26.3.2020 klo 12:36
Hep
86. Jaska26.3.2020 klo 13:21
Hepin peruutus. Mietin lenkillä uusiksi.
87. Matti26.3.2020 klo 15:06
Hep.
88. Matti26.3.2020 klo 15:26
Laskekaa päissänne: Jos puolitoista kanaa munii puolitoista munaa puolessatoista päivässä, niin kuinka monta munaa yksi kana munii yhdessä päivässä?
89. Jukkis26.3.2020 klo 17:21
En ole päissäni mutta hep.
90. Uuge26.3.2020 klo 17:31
Miten voi munia puolitoista munaa ja miten puoli kanaa munii?
91. Matti26.3.2020 klo 22:05
Jukkiksen yhtälöön 60 löytyi vielä kaksi ratkaisua lisää: (91 + - sqrt(8681))/20. Tämä on tavallaan juurien + - 3 ja 10/21 kombo.
92. Jukkis27.3.2020 klo 11:35
Munimisjutun vastaus lienee 2/3 munaa.
93. Jukkis27.3.2020 klo 11:45
Matin viestiin 91 liittyen. Saman sain, mutta pitääköhän olla huolissaan, kun en osannut kirjoittaa toisen asteen yhtälön ax^2 + bx + c = 0 juurien kaavaa suoraan ulkomuistista? Taidanpa huolestua ihan pikkasen.
94. Jukkis27.3.2020 klo 12:07
On kuusinumeroinen kokonaisluku A. Siirretään tuon luvun viimeinen numero sen ensimmäiseksi numeroksi. Saadaan kuusinumeroinen luku B. Mikä on pienen A, jolle pätee B=4*A?
95. Jukkis27.3.2020 klo 12:08
Siis pienin A.
96. eol27.3.2020 klo 12:44
Hep. (Pienin A on jaollinen 9:llä.)
97. Jukkis27.3.2020 klo 15:59
Varmaankin 7+3+2=12

Mutta miten saadaan pitämään paikkansa tämä:
SEVEN + THREE + TWO = TWELVE
niin että eri kirjaimia vastaa eri numerot.
98. Jukkis27.3.2020 klo 17:29
Mikä englanninkielinen sanonta: A ...... B .................................................. .................................................. ....
99. HT27.3.2020 klo 18:11
Lainaus: 97. Jukkis 27.3.2020 klo 15:59
Varmaankin 7+3+2=12Mutta miten saadaan pitämään paikkansa tämä:SEVEN + THREE + TWO = TWELVE niin että eri kirjaimia vastaa eri numerot.

Näemmä kaksikin ratkaisua. Juu, en olisi itse keksinyt.
100. Jukkis27.3.2020 klo 18:51
Näköjään tuo löytyykin googlaamalla. Sieltä voi katsoa vastaukset jos ei huvita ratkoa.
101. Jukkis27.3.2020 klo 18:53
3x3-ruudukon jokaisessa ruudussa on eri numero (1...9). Vaakariveillä on
siis kolme kolmenumeroista lukua, ne ovat kaikki alkulukuja.
Pystysarakkeiden luvuista kaksi on alkulukuja ja yksi on kokonaisluvun
toinen potenssi. Täytä ruudukko.
102. Jaska27.3.2020 klo 21:20
Jopas Jukkis myrkyn lykkäs. On väännelty ja käännelty, aina tyssää yhteen lukuun. n^2-lukuun on tarjolla vain yksi luku ja sille kaksi mahdollista sijaintia. Sen viereinen luku on kummassakin tapauksessa yksi ja sama. Auki olevaan sarakkeeseen jää kolme numeroa, joiden kolmesta permutaatiosta ei mikään natsaa. Mikä mättää?
103. Jukkis27.3.2020 klo 21:24
No tarkistetaanpas täällä vielä ettei ole täällä päässä häikkää........ ........ Juu, kyllä siihen ihan vaaditun mukainen ratkaisu on. Sanos, mikä sulla se toinen potenssi on.
104. Jaska27.3.2020 klo 21:33
No niin taas, kuudesta tietenkin.
105. Jaska27.3.2020 klo 21:36
625 on ainoa mahdollinen, ja sen viereen 847. Numeroista 1, 3, ja 9 en saanut kolmea alkulukua. Vai olinko taas numerosokea?
106. Jaska27.3.2020 klo 22:25
Korjaan, vieruskaveri on siis 487.
107. Jaska27.3.2020 klo 23:13
Kahden ekan pystyrivin järjestykset:

64 46
28 82
57 75

Alavaakarivin ainoa mahdollinen täydennysnumero on kummassakin tapauksessa 1. Kolmannen pystyrivin numeroiksi jäävät siis 3 ja 9. 391 ja 931 eivät ole alkulukuja, joten tehtävä on ratkaisuton.
108. Jaska27.3.2020 klo 23:20
Ja kohta sen jälkeen, kun on painanut lähetysnappia, tajuaa taas yöllisyytensä. Eihän tehtävässä vaadita, että potenssin on oltava pariton. Sen siis täytyy olla parillinen. Sitten onkin kombinoitavaa niin paljon, että jätän sen huomiseen. Tai joku muu ehtii sen tehdä.
109. Jaska27.3.2020 klo 23:51
Enpä jätä kuitenkaan, kun hoksasin, että ainut mahdollinen parillinen on 256.

421
853
769

Toimii myös käännettyinä vaaka- ja pystyriveinä. Siis vaakaan 256 ja kaksi alkulukua, pysyyn kolme alkulukua.
110. Matti28.3.2020 klo 00:16
Jukkis, laitatko ratkaisun tehtävään 84. Pitemmän sivun ratkaisun 3., 4. Ja 5. desimaali ovat kai 6 0 6.
111. ++juh28.3.2020 klo 00:59
Kuinka monen tuopin jälkeen tulee krapula?

TUOPPI + ... + TUOPPI = KRAPULA
112. Jukkis28.3.2020 klo 10:34
Matti, en minä tuollaisia desimaaleja saa. Pinta-ala on 17. Sullako joku muu?
113. Jukkis28.3.2020 klo 10:38
Sun kannattais Jaska lukea tehtävät tarkemmin. Kun siinä lukee että "Pystysarakkeiden luvuista ... yksi on kokonaisluvun toinen potenssi", niin ei kyllä pitäis tällaisen "Eihän tehtävässä vaadita, että potenssin on oltava pariton" -oivalluksen kautta olla tarvetta mennä.

Tuoppimäärä tutkinnan alla.
114. Ritu28.3.2020 klo 10:54
Eihän krapulaan tarvitse yhtään tuoppia. Sen sisältö vaan :)
115. Jaska28.3.2020 klo 12:15
Join useita kertoja kaksi tuoppia enkä saanut krapulaa. Itse asiassa se on mahdotonta. Niinpä ratkaisu tehtävään 111. on todennäköisesti kolme tuoppia. Valitettavasti en nyt ehdi tarjoilla todistustuoppia.

Jukkis, harharetkeni johtui siitä virheellisestä päätelmästä, että kolmansilla riveillä on vain parittomia numeroita. Kun sitten hakkaa tarpeeksi päätään seinään, saattaa virheen yllättäen hoksata.
116. Jaska28.3.2020 klo 12:21
P.S. Jukkiksen tehtävä oli sinänsä hyvä ja vaikeahkokin. En usko, että tehtävää ennestään tuntematon ja alkulukujen alkupäätä ulkoa muistamaton sitä ihan suit sait pystyy ratkomaan.
117. Jukkis28.3.2020 klo 12:55
Krapula vaatii 7 tuoppia.
118. Jukkis28.3.2020 klo 13:07
Ja jos 7 tuopin jälkeen ei tule krapula, niin sitten 15 tai 23 tai 33 tai 40 tai 55 tai viimeistään 70 tuopin jälkeen.
119. Ritu28.3.2020 klo 13:30
Todennäköisesti huonolla viinapäällä varustetulle tulisi krapula heti kolmostuopin tai nelostuopin jälkeen. III-tuoppi aiheuttaisi ainakin oireita ja viimeistään IV-tuoppi pukkaisi tuon kaamean taudin päälle.
120. Jukkis28.3.2020 klo 13:41
Mitä erikoista on murtoluvussa 2143/22?
121. Jukkis28.3.2020 klo 14:51
Jos kiinnostaa, niin näin selvisi krapuloituminen:
https://aijaa.com/p8KZmi
122. Jukkis28.3.2020 klo 14:53
Tuloste:

70 138662 9706340
40 147662 5906480
55 172886 9508730
33 260443 8594619
23 427661 9836203
15 483991 7259865
7 813447 5694129
123. ++juh28.3.2020 klo 16:20
120.

2143/22 on likimain sen neliön neliö.
124. Jukkis28.3.2020 klo 16:40
Tai toisinpäin: 2143/22:n neljäs juuri on hämmästyttävän tarkasti (10 desimaalin tarkkuudella) se.
125. Matti28.3.2020 klo 21:27
Jukkis (112), mä sain 20, siis sulla on pienempi 17. Hain ratkaisua suorakaiteesta, jonka sivut ovat a+sqrtb ja a-sqrtb, missä a ja b ovat kokonaislukuja. Nyt piiri p=4a ja ala on A=a^2-b. Siis 4a=a^2-b, eli b=a^2-4a. Pienin A saadaan kun a=b=5. Siis A=p=20. Miten sait A=17?
126. eol28.3.2020 klo 21:57
Matti, kun vaaditaan
2x + 2y = n
xy = n
(missä n on positiivinen kokonaisluku ja x sekä y positiivisia irrationaalilukuja) niin saadaan
y = n/x
x = n/4 +(-) sqrt(n(n-16))/4
Tästä voi päätellä että n = 17 on minimi.
127. Jukkis29.3.2020 klo 11:58
Mikä on puuttuva luku: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, ?, 100, 121, 10000
128. Jaska29.3.2020 klo 13:10
Hep
129. Jaska29.3.2020 klo 16:20
Hoksasin ikäväkseni lenkillä paremmassa hapessa hätäilleeni. Meni siis hepitys peruutukseen:(
130. Jukkis29.3.2020 klo 19:42
Kuvassa on pelin pohja:
https://aijaa.com/vXIhzS

Tulosta tai piirrä tuo paperille sopivan kokoisena niin että kun sitten teet kahdeksan pientä lappusta, joissa on numerot 1-8, niin pelinappula mahtuu hyvin ovaalin sisälle. Asettele numerot soikioihin vasemmalta lähtien järjestykseen 7-5-6-8-2-1-4-3. Oikeanpuoleinen siis jää tyhjäksi. Sitten siirtele numeroita yksi kerrallaan niin, että ne lopulta ovat vasemmasta reunasta lähtien suuruusjärjestyksessä. Numeron saa siirtää vain merkittyjä viivoja pitkin kulloinkin tyhjänä olevaan soikioon. Ekana siirtona siis voi siirtää joko 1:n tai 3:n oikean reunan tyhjään paikkaan.

Monellako siirrolla saat numerot järjestykseen?

Tätä voi pelailla sitten jatkossa niin, että laittaa alkutilanteeksi mitä vaan ja vaikka kilpailee itsensä tai kanssaeristetyn kanssa siitä kumpi saa järjestettyä numerot nopeammin tai vähemmillä siirroilla.
131. Matti29.3.2020 klo 21:45
126 eol, noinhan se näkyy menevän. Omassa yrityksessäni oli turhan rajoittavaa vaatia, että a ja b ovat kokonaislukuja. Riittää että 4a ja a^2 - b ovat sellaisia.
132. Jukkis30.3.2020 klo 08:41
Tätä taannoin kyselin viestissä 98:

Mikä englanninkielinen sanonta: A ...... B .................................................. .................................................. ....

Tietenkin "Long time no see".
133. Ylläpito30.3.2020 klo 08:46
Mainio!
134. Jukkis30.3.2020 klo 10:34
No tässä sitten 53 muuta samantyyppistä:
https://aijaa.com/5x1qVc

Mitä englanninkielista lausahdusta tai sanontaa tai idiomia kukin esittää?

Aika hyvin saa englanti olla hallussa, jos edes suurimman osan noista pystyy avaamaan.

Laitan parin päivän päästä vastaukset. Silloin itse kukin voi kertoa, montako osasi.
135. Jukkis30.3.2020 klo 10:38
... siis tarkoitus on, että ette omia oivalluksianne noista tässä vielä paljasta, jotta muut (eli ne noin kolme muuta tätä aihetta seuraavat) saa rauhassa pohtia.
136. Elva30.3.2020 klo 12:10
134. Erään (noin kolmesta) mielipide: hauska, haastava tehtävä. Unohtui ristikot vähäksi aikaa.
137. Elva31.3.2020 klo 16:25
134. Jukkis, yritin avata tänään vähän lisää, mutta nyt luovutan. 24 avautui, joista pari on epävarmaa. Kerron mielelläni keksimäni, kun sen aika on.
138. Jukkis2.4.2020 klo 13:03
Tämä oli taannoin:

Mikä on puuttuva luku: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, ?, 100, 121, 10000

Vastaus on 31. Saa keksiä perusteen.
139. Jukkis2.4.2020 klo 16:03
On nelinumeroinen alkuluku ABCD. Myös luvut A, AB, ABC, BCD, CD ja D
ovat alkulukuja. (Eri kirjaimet eivät välttämättä vastaa eri
numeroita.) Mikä luku on ABCD? Kaksi vastausta.
140. Jukkis3.4.2020 klo 19:48
Viestissä 134 oli nämä:
https://aijaa.com/5x1qVc

Tässä vastaukset:
https://aijaa.com/pNGQzf
141. Matti3.4.2020 klo 22:26
Jukkis 138, joko voit kertoa, miten kysytyksi luvuksi tulee 31? En keksi.
142. ++juh3.4.2020 klo 22:42
Matti, ihan sama!

(Jonon loppuun voi kai lisätä vielä luvun 1111111111111111.)
143. Jaska3.4.2020 klo 23:31
Mulla jäi lisäksi hämäräksi viestin 139 suluissa oleva lause. Sen mukaan ne myös voivat vastata eri numeroita. Mutta ilmeisesti ei siis aina. Tehtävä olisi (helpommin) ratkottavissa, jos jokaisella kirjaimella A, B, C, D olisi oma pysyvä lukuarvonsa.
144. Jaska3.4.2020 klo 23:44
numeroarvonsa
145. Jukkis4.4.2020 klo 11:08
Viesti 138: Oli listattuna 10-järjestelmän luvun 16 arvot eri kantaluvuilla 16 ... 2. Kyssärin kohdalla kantaluku on 5.

Viesti 139: "Eri kirjaimet eivät välttämättä vastaa eri numeroita" tarkoittaa juuri sitä, eli että voisi olla esim. A = D = 4 (paitsi ettei tietenkään nyt ole). Siis voisi olla vaikka ABCD = 1234 tai yhtä hyvin ABCD = 5555 (paitsi ettei tietenkään nyt ole).

Eli tehtävä pidemmin selitettynä:

On nelinumeroinen alkuluku.
Myös sen ensimmäinen ja viimeinen numero ovat alkulukuja.
Myös sen kahden ensimmäisen numeron muodostama luku on alkuluku.
Myös sen kolmen ensimmäisen numeron muodostama luku on alkuluku.
Myös sen kahden viimeisen numeron muodostama luku on alkuluku.
Myös sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on alkuluku.

Ja kyllä, mikä tahansa tehtävä olisi helpommin ratkottavissa, jos se olisi helpompi.
146. Jukkis4.4.2020 klo 11:59
Äkkäsinpä, että molemmissa ABCD-ratkaisuissa myös BC on alkuluku.
147. Jaska4.4.2020 klo 12:03
Aivan, kiitos helpotuksesta, joka oli kiitettävän täsmällinen. Ratkaisut 3137 ja 3797.

138:sta helppo päätelmäni eri lukujärjestelmistä osui oikeaan. Kokeilemalla ilman tietokoneohjelmaa olisi teoriassa voinut päätyä ratkaisuun ennen langan katkeamista, jos pinna olisi kestänyt. Mutta ei se olisi.
148. Jukkis4.4.2020 klo 12:18
3x3-ristikko, johon tulee kuusi kolminumeroista lukua. Luvut eivät ole 10-järjestelmän lukuja, käytetty kantaluku on muuan välillä 3...9 oleva luku.

Vaakasuoraan:
vs1: Alkuluku, palindromi
vs4: Käytetyn kantaluvun neliö
vs5: Neliö

Pystysuoraan:
ps1: 3:lla jaollinen
ps2: Alkuluku
ps3: Neliö, palindromi
149. Jukkis4.4.2020 klo 14:44
Olis vielä tällainen. Oon yleensä jotenkin inhonnut näitä tällaisia, mutta kun oivalsin, että tämähän on ihan puhdasta binaarilukumatikkaa, niin totesin, että on mukava Excel-harjoitus. Siis:

Jokainen näistä on joko totta tai valetta:

1. Kohdat 2 ja 3 on joko molemmat totta tai molemmat valetta.
2. Tasan yksi kohdista 4 ja 5 on totta.
3. Tasan yksi kohdista 4 ja 6 on totta.
4. Tasan yksi kohdista 1 ja 6 on totta.
5. Kohdat 1 ja 3 on joko molemmat totta tai molemmat valetta.
6. Tasan yksi kohdista 2 ja 5 on totta.

Mitkä kohdat on totta?
150. eol4.4.2020 klo 15:14
Hep: totta olevien kohtien "summa" on 7 (ja valetta olevien siten 14).
151. Matti4.4.2020 klo 22:03
Jukkkia 145, kokeilin kyllä eri lukujärjestelmiäkin, mutta en silti hoksannut.
152. Matti5.4.2020 klo 00:04
Jukkis 149. Löysin kaksikin ratkaisua, niin kuin kai pitääkin, koska tehtävä oli toden ja valeen suhteen symmetrinen. Näistä kumpikaan ei ollut eol:n ratkaisu, jos nyt oikein tuon totta olevien "summan" tulkitsin. Minun "summat" ovat 10 ja 11. (Terveiset vaan Jukkkialle!)
153. Jukkis5.4.2020 klo 11:23
Oon kyllä eol:n kannalla. Kertomatta vastausta, näin itse tein:

Nimetään väiteluettelo numeroiden 1-6 sijaan kirjaimilla a-f. Silloin kaikki a-f on bittejä, siis joko 0 tai 1. Väitteet yhtälöinä:
a = !(b^c)
b = d^e
c = d^f
d = a^f
e = !(a^c)
f = b^e
Tässä ^ on looginen "exclusive or" ja ! on looginen "not".

Sitten pitää vaan etsiä sellaiset a-f:n arvot, että nuo yhtälöt antaa niille samat arvot. Esim. Excelillä onnistuu helpohkosti. Löytyy yksi ratkaisu.
154. Matti5.4.2020 klo 20:12
Jukkis, joo, mulla ajatusvirhe. Älä kerro vielä vastausta.
155. Matti5.4.2020 klo 22:26
No niin. Ratkaisuja on yksi. Valheiden neliösumma on 62.
KOMMENTOI

Pakolliset kentät merkitty tähdellä *