KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > LUKUJONO 19

10136. Lukujono 19

Matti19.7.2019 klo 23:27
Aloitetaan lukujono 19 kevyellä geometrisella harjoituksella. Mikä on pienin neliö, johon mahtuu a x b -suorakaide? Siis suorakaiteen sivut ovat a ja b.
2. Jaska19.7.2019 klo 23:59
Joo ei raskas. Pitemmän sivun neliö.
3. Matti20.7.2019 klo 00:05
Ja kun nyt vauhtiin päästiin niin kysytään vielä, että mikä on pienin tasasivuinen kolmio, johon mahtuu tasakylkinen kolmio, kanta a ja korkeus b? Jaskan ratkaisu edelliseen on vajavainen.
4. Jaska20.7.2019 klo 00:06
Tietysti vain, jos sivut ovat yhdensuuntaiset. Jos ei, niin on raskaampi. Mietitään myöhemmin.
5. Jaska20.7.2019 klo 16:46
Kolmiotehtävälle järkeilin lenkillä kaavan, joka antaa tasasivuisen sivun pituudeksi noin 1,1547b.
6. Matti20.7.2019 klo 20:59
Jaskan tämäkin ratkaisu on vajavainen.
7. Jukkis20.7.2019 klo 21:20
Suorakaiteen pinta-ala on ab. Leikkelemällä suorakulmio sopivasti palasiksi se saadaan mahtumaan neliöön, jonka pinta-ala on ab eli jonka sivu on sqrt(ab).
8. ++juh20.7.2019 klo 22:00
Pienimmän neliön, johon mahtuu a x b -suorakaide, sivu on

min( max( a ; b ) ; (a + b) / sqrt(2) )
9. Jaska21.7.2019 klo 00:31
Matti, pinta-alaako kaipasit?
10. Jaska21.7.2019 klo 00:48
Ai joo, onhan se vajavainen. Ei tuo ilmoittamani päde, jos tasakylkisen kaksi kulmaa on alle 60 astetta ja yksi yli 90.
11. Jaska21.7.2019 klo 00:52
...jolloin käsittääkseni tasakylkisen kanta = tasasivuisen sivu. Nyt panen maata. En siis laita:)
12. Matti21.7.2019 klo 20:59
Jaska, myöskään ei päde, jos kanta on kovin lyhyt korkeuteen verrattuna. Tuossa yllä kai tarkoitit 1,1547h. Neliölle pinta-ala tai sivun pituus, sama se.
13. Matti21.7.2019 klo 21:26
++juhin hieman kryptinen muotoilu on aivan oikein. Avaan vähän.

Oletetaan, että a>=b. Toisessa ääripäässä b=0 ja suorakaide kutistuu janaksi. Pienin janan peittämä neliö on se, jonka diagonaali tämä jana on. Pint-ala on (a**2)/2. Toisessa ääripäässä a=b, ja suorakaide on neliö, ja se peittää itse itsensä. Pinta-ala on a**2.

Kun b=(sqrt2 - 1)a, ollaan taitekohdassa, ja on yhdentekevää, onko suorakaide neliön sivun vai sen diagonaalin suuntainen. Pinta-ala on a**2. Palataan kolmiotapaukseen myöhemmin.
14. Jaska.21.7.2019 klo 22:45
Matti, korkeutta tarkoitin, mutta onhan se myös b, eli ilmoittamasi tasakylkisen korkeus. Laskin siis vain tapauksen, jossa tasakylkisen kärkikulma on alle 60 astetta (10. yli 90 astetta p.o. yli 60 astetta.) Siihenhän ei kosinifunktiota tarvita. Kun em. kärkikulma on yli 60 astetta, tarkoitetun pienimmän tasasivuisen kanta on samanpituinen kuin tasakylkisen kanta, oletan siis.
15. Jaska21.7.2019 klo 22:52
Tasasivuisen kanta eli sen sivu.
16. Matti26.7.2019 klo 23:07
Olkoon peittävän tasasivuisen kolmion sivu s. Kun tasakylkisen kolmion kanta on nolla, sen peittävä pienin tasas. kolmio on se, jonka sivu on tasak. kolmion kylki. Pinta-ala on (s^2*sqrt3)/4. Kun kanta kasvaa, toinen kylki kulkee edelleen tasas. kolmion sivua pitkin, ja sen kärki on kiinni tasas. kolmion kärjessä.

Kun tasak. kolmion kärkikulma on 20°, siis kolmasosa tasas. kolmion kulmasta, ollaan taitekohdassa. On yhdentekevää, sijoitetaanko tasas. kolmio näin, vai symmetrisesti siten, että sen huippu jakaa tasas. kolmion huipun kolmeen yhtäsuureen kulmaan, kukin 20°. Pinta-ala on h^2(tan10°). Kun tasak. kolmion kärkikulma edelleen kasvaa, jatketaan symmetrisellä sijoittelulla, kunnes kärkikulma on 60°. Pinta-ala on silloin (s^2*sqrt3)4.

Kun kärkikulma edelleen kasvaa, tasak. kolmion kärki irtoaa tasas. kolmion kärjestä, ja sen kanta on sama kuin peittävän kolmion sivu. Pinta-ala on (s^2*sqrt3)/4. Lopulta, kun kärkikulma on 180°, päädytään lähtöasetelmaan. Degeneroitunut tasak. kolmio on peittävän kolmion sivu.

Aika tylsä on tällaista verbaalia kuvausta seurata. Pitäisi piirtää kuvia.
17. Jukkis19.3.2020 klo 16:59
0, 1, 2, 5, 22, 181, 5814, 1488565, ?

Aika haka on se, joka tämän ilman lisävinkkiä hoksaa.
18. Jukkis19.3.2020 klo 17:01
No pöh. Eipäs välttämättä olekaan haka, kun löytyy näköjään OEIS:stä. Hakuus jää kiinni hoksaamisväittäjän rehellisyydestä.
19. Jaska19.3.2020 klo 20:40
Hep. Valitettavasti Hesari torppasi mahdollisuuteni aika haka titteliin, sillä olin tavallaan luntannut siitä ratkaisevan vinkin jo etukäteen aamulla. Jäi siis epävarmuus, olisinko muuten onnistunut ennemmin tai todennäköisemmin myöhemmin.
20. Jaska19.3.2020 klo 21:03
Seuraava termi on 12 194 330 294.
21. Jukkis19.3.2020 klo 21:04
Juu, jos joku olisi tuon laittanut joskus aiemmin, niin ihan varma olen, että en olisi keksinyt, mistä on kyse. Paitsi huomaamalla että löytyy OEIS:stä. Ennen Hesarin artikkelia en ollut koskaan törmännyt tähän juttuun. Kaikkea jännää sitä on.
22. Matti19.3.2020 klo 23:51
Lunttasin heti. Rabbit sequence in decimals. Löytyi mielenkiintoista tarinaa Fibonacci-luvuista. Ikinä en olisi jonolle jatkoa itse keksinyt. Mistä lie, Jukkis, jonoon törmäsit?
23. Matti19.3.2020 klo 23:53
Siis, miten tää liittyy Hesariin, jonka joka aamu luen?
24. eol20.3.2020 klo 00:28
Nuo luvut saadaan, kun tulkitaan torstain HS:n sivun B8 vasemman alakulman taulukon merkkijonot binaariluvuiksi, jotka sitten esitetään desimaalimuodossa. Taulukon merkkijonot F(n) on generoitu seuraavasti:

F(1) = b
F(2) = a
F(n) = F(n-1)F(n-2) kun n > 2

Siten esimerkiksi F(5) = abaab, joka binaariluvuksi tulkittuna on 10110 eli desimaalilukuna 22.
25. Matti20.3.2020 klo 00:50
eol, ok, noinhan se meneekin. Kiitos.
26. Jaska20.3.2020 klo 11:34
Jonon muodostus eksponentiaalisesti 1:stä alkaen:

2^0 = 1
2^1*1 + 0 = 2
2^1*2 + 1 = 5
2^2*5 + 2 = 22
2^3*22 + 5 = 181
2^5*181 + 22 = 5814
2^8*5814 + 181 = 1488525
2^13*1488525 + 5814 = 12194330291
jne eksponenttien muodostaessa fibonaccin jonon.
27. Jaska28.4.2020 klo 13:33
Huu, huu, huhtikuukin jononsa väärti lie.

36, 144, 1764, 2304, 5184, 7056, 8100, 30276, 41606, 69696, 93636, 138384, 166464, 207936, 224676, 298116, 352836, 360000...

Määritelmä?
28. Jukkis28.4.2020 klo 15:11
Pitänee olla tuossa 41616, ei 41606.
29. Jaska28.4.2020 klo 16:54
Tietysti, kiitos. Oli taas kiire lenkille (tänään 7 km).
30. Jaska30.4.2020 klo 11:42
Kohtuullistetaan mahd. visaista tehtävää. Määrittelyä helpottaa, jos jakaa termit kahdella.

Testataanpa, olisiko seuraava helpompi, kenties jopa pehmis.

13, 17, 25, 28, 32, 38, 46, ?
31. Matti30.4.2020 klo 23:20
Jaska, mikä on 27n ratkaisu? Jos ottaa neliöjuuren ja jakaa kuudella, saa paljon siistimmän jonon: 1 2 7 8 ... 99 100. Mutta jonon rakennetta en silti hoksaa.
32. Jukkis1.5.2020 klo 10:00
Matti, löytyy OEIS:stä.
33. Matti1.5.2020 klo 15:46
No enpä olisi ikinä keksinyt.
34. Jaska1.5.2020 klo 17:25
Eilisestä kannattaa etsiä käänteistä elementtiä.
35. Jaska1.5.2020 klo 18:31
...eli ei ynnätä kahta alkulukua.
36. Jaska3.5.2020 klo 17:56
Auts, korjaan sorinan kera. Kyllä ynnätään kaksi alkulukua, mutta vain yhden ainoan kerran.
37. Jaska4.5.2020 klo 10:41
25, 27, 33, 35, 49, 51, 63, 65, 75, 77, 91, 93, ?
38. Jaska5.5.2020 klo 19:54
Toivottavasti kukaan ei viitsinyt syventyä kahteen edelliseen. Ne ovatkin vähemmän kiinnostavia, ja lisäksi ekasta puuttuu 43 ja tokasta 83, 85. Kyse on kokonaisluvuista, joiden summa sekä pienemmän että suuremman viereisen luvun kanssa ynnättynä ei ole alkuluku laskettaessa kahden peräkkäisen luvun summia kokonaislukujen jonosta 1, 2, 3.... Jonoon siis kuuluu myös 43, koska 42 + 43 = 85 ja 43 + 44 = 87. Jonoon kuuluvia lukuja on välillä 1-50 ehkä yllättävänkin vähäinen määrä 9 kpl (18%) ja välillä 1-100 25 kpl.
39. Jaska18.5.2020 klo 11:16
Tietyn jonoryhmän tietyllä tavalla muutettujen jonojen rakennemääritys haussa. Kolmannen jonon (viheettömät!) 10 ekaa termiä:

1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109

Mitkä ovat neljännen jonon 10 ekaa termiä?
40. Jukkis18.5.2020 klo 15:19
"Tietyn jonoryhmän tietyllä tavalla muutettujen jonojen rakennemääritys"

Että mitä ihmettä nyt taas?
41. Jaska18.5.2020 klo 17:40
Myönnetään hämäräperäisyys, mutta eihän siinä mitään ihmeellistä (enää) ole.

Kyseisistä alkuperäisistä jonoista käytetään tavallisesti termiä rivit. Ne ovat kaikille säikeeläisille alkupäästään tuttuja. Olen tehnyt niille operaation, jonka tuloksena alkuperäisen kolmannen rivin alku yllä. Kaikissa muissakin samoin operoiduissa jonoissa on vain parittomia lukuja.
42. Jukkis19.5.2020 klo 10:47
"...alkuperäisistä jonoista käytetään tavallisesti termiä rivit".

En taas tajua tästä mitään. Mistä lukujonoista käytetään ja kuka "tavallisesti käyttää" erityisesti termiä "rivit"? Syntyyhän siinä tietysti tekstiä rivi tai useampia, kun lukujonon lukuja luetellaan. Mutta entäs sitten?
43. Jaska19.5.2020 klo 11:31
Tarkoitin, että jokin nimikkeellä "rivi" tavallisesti mainittu lukujoukko voi olla täällä hyvinkin "jono" ketjun nimikkeen mukaan. Tämän viestissä 39. esittämäni jonon alkupään lähteen saat selville menneitä muistelemalla. Vaikkapa 11.3. 2020 20.55.
44. Jukkis19.5.2020 klo 13:08
Näköjään tuohon aikaa kirjoitin "Visa - 3" -säikeeseen tekstin, jossa on mm. linkki tähän "modifioituun Pascalin kolmioon":
https://aijaa.com/vF5LuP

Siellähän on tosiaan rivejä, ylimmäisellä rivillä 1, toisella 1 1, kolmannella 1 5 5 1 jne. Mutta enpä tuosta sen enmpää tähän yhteyteen irti saa.

Toinen samaan aikaan kirjoitettu viesti on TVJ:ltä säikeessä "Mukavia-pieniä-asioita-ketju 3", siinä todetaan että "Kokoomus ei ole mukana Perussuomalaisten välikysymyksessä ja siksi Liike Nytin Harkimo joutui seisomaan Halla-ahon vieressä Orpona". Että tästäkö sittenkin pitää lähteä tätä jono/rivi -hommaa miettimään?
45. Jukkis19.5.2020 klo 13:10
Oho, meni kolmion rivit sekaisin.
46. ++juh19.5.2020 klo 13:24
39.

Tuossa jonossahan peräkkäisten termien erotukset ovat 4, 6, 8, 10, ... Koska se on kolmas jono, niin toisessa jonossa erotukset voisivat alkaa kakkosella ja siis olla 2, 4, 6, ... ja ensimmäisessä jonossa vastaavasti 0, 2, 4... Neljäs jono muodostuisi samaan tapaan erotuksilla 6, 8, 10, ... eli

1, 7, 15, 25, 37, 51, 67, 85, 105, 127,  ...

Ei varmaankaan ole haettu jono.
47. Jaska19.5.2020 klo 16:39
Tietyllä tavalla entratusta Pascalin kolmiosta on siis kyse sekä Jukkiksella että minulla. Huippuna on minullakin 1, ja myös seuraavat vaakarivit 1 3 1 ja 1 5 5 1 ovat samat. Seuraavasta vaakarivistä alkaen vaakarivimme ovat erilaiset. Neljännen vaakarivin alku 1 7 on kyllä sama eli oikein ++juhilla, sitten tiemme erkanevat. Minulla on siis eri metodi rakentaa "Jascal" eli pelkkiä parittomia lukuja sisältävä kolmio. Kaava on yksinkertainen, ja sen kyllä hoksaa, kun paneutuu syvällisemmin Pascalin ja Jascalin vertailuun.
48. eol20.5.2020 klo 11:26
Tarjoan Jaskalle neljänneksi jonoksi:

1, 7, 19, 39, 69, 111, 167, 239, 329, 439, ...
49. Jaska20.5.2020 klo 13:59
Tarjous hyväksytty. Jätetään vielä muille viidennen haku.
50. Matti20.5.2020 klo 23:03
Jaskan kolmas jono on (n+2)(n+1) - 1, ja eolin neljäs (n+3)(n+2)(n+1)/3 - 3, kun n = 0, 1, 2, ... Vaan entäs sitten? Taidan olla hakoteillä.
51. Jaska20.5.2020 klo 23:30
Matti, kyllä olet liian mutkikkaalla tiellä. Ratkaisun kaavassa on vain neljä merkkiä sille asialle, mitä pitää tehdä Pascalille. Lisävinkki. Kaikki haettavat jonot ovat äärettömiä.
52. Matti21.5.2020 klo 22:41
Tarjoan sitten vitosjonoksi 1, 9, 37, 93, 187, 331, 539, 827, 1213, 1717, ...
53. Jaska21.5.2020 klo 23:05
1, 9 oikein, sitten etenit liian pitkin harppauksin. Kahden ekan jonon alut helpottanevat.

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1...
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...
54. Matti21.5.2020 klo 23:50
Ehdotuksellenikin löytyy perustelu. Mutta siis eri. Luovutan.
55. Jaska22.5.2020 klo 09:42
Matti, minä puolestani en keksi, minkä yhteyden Pascaliin keksit 37:stä alkaen. Ehkä tehtävä on liian vaikea. Paljastan ratkaisukaavan: 2n - 1.
56. Matti22.5.2020 klo 13:45
Aika kaukana harhailin aavalla merellä. Pascalin kolmio olisi toiminut majakkana.

Yleinen lauseke on siis: n-jonon i:s termi = 2((n+i-2) yli (i-1)) - 1.

(37:ssä, 4. 5. klo 10:41 en ollut vielä mukana lainkaan.)

(Pitäisi nyt jo muistaa, että jos Jaska kysyy lukujonoa, melkein aina on kyse alkuluvuista tai Pascalin kolmiosta.)
57. Jaska22.5.2020 klo 17:24
Pitihän yhteyden Pascaliin olla selviö Jukkiksen viestin 44. jälkeen. Viestissä 47. mainitsin lisäksi vinkkinä vaakarivin neljä kertaa tarkoituksella muistuttaa, että onhan kolmiossa myös pienistä luvuista vinottain alaspäin lähteviä rivejä eli niitä "syvällisesti" vertailtavia. Mutta ei murehdita sitä sen enempää. Palaan asiaan.
58. Jaska23.5.2020 klo 13:12
Matti oli oikeassa, alkuluvut kiinnostavat tässäkin. Pascalissa ne esiintyvät ainoastaan peräkkäisten kokonaislukujen diagonaaliriveissä. Niiden keskinäiset etäisyydet siis vaihtelevat näennäisesti vailla säännönmukaisuutta.

Jascalissa alkuluvut esiintyvät myös ensimmäisten ja toisten diagonaalirivien sisäpuolella sekä yksittäin että peräkkäin sarjoina. Peräkkäisiä esiintyy sekä vaakariveillä että diagonaaliriveillä. Esim. viestin 39. diagonaalirivissä on neljä peräkkäistä kahdesti. Kymmenensissä d-riveissä on alussa kuusi peräkkäistä: 1, 19, 109, 439, 1429, 4003, 10009...

Studeeraamani kolmion vaakariveillä esiintyy pitempiäkin putkia lukujen symmetristen tuplausten myötä:

1, 17, 71, 167, 251, 251, 167, 71, 17, 1
1, 19, 89, 239, 419, 503, 419, 239, 89, 19, 1

Noissa siis kaikki ykkösten sisäpuoliset ovat alkulukuja, kuten lähellä huippua olevat lyhkäisissä 1, 3, 1 - 1, 5, 5, 1 - 1, 7, 11, 7, 1.

Vain yksi alkuluku on vaakarivissä
1, 15, 55, 111, 139, 111, 55, 15, 1

Yhtään tapausta ilman ainuttakaan alkulukua vaakarivissä ei ole viimeiseen tsekkaamaani mennessä. Alkuluvuissa asteriski:
1, 43*, 461*, 3079*, 14629*, 52667*, 149225, 341067, 639479, 994923, 1293847, 1411727*, symmetria

Lopetin tähän, kun 7-merkkiset eivät tahdo kunnolla mahtua rakosiinsa. Ohjelmointitaitoisille on siis tarjolla töitä kysymysten ratkomisekisi, kuten mikä on ensimmäinen alkuluvuton vaakarivi (olettamuksella, että sellainen on), onko alkuluvuttomia diagonaalirivejä (varmantuntuinen olettamus - ei) löytyykö pitempiä putkia kuin yllä esitetyt, löytyykö vielä vaakarivejä, joi9ssa kaikki alkulukuja ykkösten välissä.

Jascalin rakentelu on siis lähes yhtä simppeliä kuin Pacalinkin, kahden peräkkäisen luvun summa + 1 seuraavalle vaakariville ko. lukujen väliin.

Jukkiksen kolmiosta (Jukscal?), jossa luku = yläpuolella olevan kolmion kolmen luvun summa, on tietysti myös hyvä tutkimuskohde.
KOMMENTOI

Pakolliset kentät merkitty tähdellä *